基于CEEMDAN和小波閾值去噪的混合積分位移算法

胡 超，毛寬民，張東峰，周嘉誠

(1.寧夏大學(xué)，寧夏銀川 750021；2.華中科技大學(xué)，湖北武漢 430074)

0 引言

隨著現(xiàn)代機(jī)械工業(yè)的發(fā)展，很多領(lǐng)域迫切需要位移測試技術(shù)不斷更新。利用加速度傳感器采集的加速度信號通過二次積分的方法，理論上能夠得到真實(shí)的位移信號。然而，在加速度傳感器收集振動信號的過程中，會受到自身設(shè)備及工況環(huán)境的影響，使得采集到的加速度信號包含噪聲。與此同時，設(shè)備的溫度變化等原因也會引入一定程度的低頻噪聲。使得加速度信號兩次積分后的位移信號漂移嚴(yán)重，信號毛刺較多。因此，為得到完整可用的位移信號，對加速度積分位移信號算法的研究很重要。

積分方式分為時域積分和頻域積分兩種。誤差趨勢項(xiàng)及直流分量是影響時域積分效果的主要因素，普遍的處理方式是先對加速度信號進(jìn)行去除均值處理，而后運(yùn)用梯形法、Simpson法等積分規(guī)則進(jìn)行一次積分得到速度信號，上述過程重復(fù)一次后即可得到位移信號，同時利用最小二乘法對趨勢項(xiàng)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，以達(dá)到減小信號漂移的目的。除了應(yīng)用最小二乘法多項(xiàng)式擬合外，使用差分法、低通濾波法、最小均方法[1]等也可減小誤差。

陸凡東等[2]利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)法對加速度信號的低頻和高頻部分分別進(jìn)行了處理，實(shí)現(xiàn)降噪去趨勢項(xiàng)的目的。同時，對有明顯漂移的分量采用分段最小二乘法(SLS)進(jìn)行處理。陳海龍等[3]提出一種基于EMD分解理論的積分誤差分離方法，可以有效處理積分誤差。仲志丹等[4]提出將自適應(yīng)噪聲的完備集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(CEEMDAN)自適應(yīng)降噪和極點(diǎn)對稱模態(tài)分解(ESMD)去趨勢項(xiàng)相結(jié)合，有效區(qū)分了噪聲分量與有效分量的分界點(diǎn)，為去除信號趨勢項(xiàng)及噪聲誤差提供了新的方法。

在頻域積分的過程中，低頻信號的幅值誤差將被放大，高頻信號的幅值誤差將衰減。要保證頻域積分的效果，關(guān)鍵在于控制低頻誤差的影響。許多學(xué)者對頻域積分算法進(jìn)行研究。Brandt等[5]對多種積分算法進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)的低頻截止算法對于低頻噪聲過濾效果較好，同時操作簡單。Yun等[6-7]運(yùn)用誤差最小化方法，通過推算加速度位移積分控制方程，得到傳遞函數(shù)的頻響表達(dá)式，引入趨勢項(xiàng)控制因子實(shí)現(xiàn)低頻衰減積分算法，從而對位移趨勢項(xiàng)進(jìn)行誤差控制。該算法對積分過程控制精度較高，但計(jì)算量偏大。胡玉梅[8]等在低頻衰減算法的基礎(chǔ)上，對積分精度誤差控制方程進(jìn)行了優(yōu)化處理，并研究了積分參數(shù)的選擇對該算法積分效果的影響。

本文提出一種基于CEEMDAN與小波閾值去噪的混合積分算法，對實(shí)測信號進(jìn)行預(yù)處理。通過先時域積分后頻域積分的方式，降低高低頻噪聲及漂移誤差對積分效果的影響。利用仿真方法分析了該算法的可行性，并搭建振動篩試驗(yàn)平臺進(jìn)行測試分析，采集加速度與位移信號，驗(yàn)證了本算法的有效性。

1 自適應(yīng)噪聲的完備集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解與小波閾值去噪

1.1 自適應(yīng)噪聲的完備集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)是一種利用三次樣條曲線擬合局部極值，將信號通過包絡(luò)線算法分解，提取其局部特征即本征模態(tài)分量(IMF)的方法，廣泛應(yīng)用于處理非線性、非平穩(wěn)信號。由于算法存在局限性，EMD分解易出現(xiàn)模態(tài)混疊及端點(diǎn)效應(yīng)[9]。集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EEMD)則是基于EMD分解的基礎(chǔ)上，添加均勻分布的白噪聲用于抵消模態(tài)混疊現(xiàn)象?；谧赃m應(yīng)噪聲的完備集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(CEEMDAN)在保留EMD、EEMD的完備性、分量調(diào)制性的同時，解決了EEMD加入白噪聲后引入的重構(gòu)誤差問題。CEEMDAN同時還具有一定的自適應(yīng)性[10-12]，輸入?yún)?shù)簡單，能夠控制迭代時間，具體算法步驟如下：

(1)向周期為T的原始信號a(t)中加入高斯白噪聲ωi(t)，構(gòu)造出新信號a′(t)=a(t)+βiωi(t)，其中βi為噪聲控制系數(shù)。利用EMD方法將新信號分解出I個IMF分量并求平均值，得到：

(1)

及一階殘差分量：

r1(t)=a(t)-IMF1(t)

(2)

(2)假設(shè)EMD分解后的第j個模態(tài)函數(shù)的算子為Ej(·)。則對信號r1(t)+β1E1(ωi(t))繼續(xù)進(jìn)行分解，經(jīng)I次重復(fù)后，得到：

(3)

(3)由步驟(1)和(2)的計(jì)算過程，可推得第K階的殘差分量為rk(t)=rk+1(t)-IMFk(t)，定義得到第K+1個模態(tài)分量為

(4)

(4)重復(fù)步驟(3)，直到殘差信號不能再繼續(xù)分解，最終即可得到K個模態(tài)函數(shù)分量IMFk(t)，最終的殘差分量為

(5)

原始信號為

(6)

1.2 小波閾值去噪

小波變換是非平穩(wěn)信號處理的常用方法之一。通過選擇小波基，在尺度上進(jìn)行伸縮、平移，能夠從信號的全貌中看到細(xì)節(jié)。小波閾值去噪是運(yùn)用小波變換，在選擇合適的小波基和分解層數(shù)的基礎(chǔ)上，設(shè)置閾值函數(shù)及臨界閾值進(jìn)行去噪，隨后進(jìn)行重構(gòu)得到去噪后的信號。小波基及閾值函數(shù)可依據(jù)信號本身特點(diǎn)擇優(yōu)選取。

使用本文算法對試驗(yàn)采集的信號處理后發(fā)現(xiàn)，選用sym6小波進(jìn)行5層分解，采用固定軟閾值效果較理想。固定軟閾值函數(shù)為：

(7)

2 基于CEEMDAN和小波閾值去噪的混合積分位移算法

2.1 預(yù)處理部分

CEEMDAN及小波閾值去噪能夠?qū)厔蓓?xiàng)及噪聲進(jìn)行很好的區(qū)分篩選。CEEMDAN算法將復(fù)雜的非平穩(wěn)信號分解為多個本征模態(tài)函數(shù)IMF及殘余信號，同時能夠?qū)MF分量按照頻率高低進(jìn)行排列,如式(6)中：IMFk(t)為K個本征模態(tài)函數(shù)；R(t)為殘余信號，即原信號中的趨勢項(xiàng)。

在時域積分之前，先對各個IMF分量去除趨勢項(xiàng)R(t)處理，然后去除信號的直流成分，即去均值化處理：

(8)

對分解得到的各個IMF分量進(jìn)行去均值化及去趨勢項(xiàng)的低頻處理后，還需進(jìn)行高頻去噪處理。此時，需對IMF分量進(jìn)行篩選，篩選IMF分量的方法有很多，可以通過自相關(guān)系數(shù)法、相關(guān)系數(shù)法等來判斷IMF與原信號的相關(guān)性。一般計(jì)算出相關(guān)系數(shù)圖后，對于相關(guān)系數(shù)小于0.1的分量即判斷為偽分量。相關(guān)系數(shù)大于0.1的IMF分量中，當(dāng)出現(xiàn)第1個局部極大值前的IMF分量為噪聲主導(dǎo)的分量，然后對噪聲主導(dǎo)的IMF分量進(jìn)行小波閾值去噪[13-14]。上述分解去趨勢項(xiàng)、去均值及去噪過程完成之后，將IMF分量進(jìn)行重構(gòu)即可得到預(yù)處理后的加速度信號。

2.2 混合積分部分

本文采用Simpson法對處理后的加速度信號x(i)進(jìn)行一次時域積分得到速度信號y(k)，N為采樣點(diǎn)數(shù)，積分規(guī)則如式(9)所示：

(9)

在進(jìn)行頻域積分之前，需要利用最小二乘法對時域一次積分得到的速度信號進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，降低頻域積分造成的影響。所使用的多項(xiàng)式擬合公式如下：

(10)

采用低頻截止法對擬合后的速度信號進(jìn)行二次積分。低頻截止法是在頻域積分過程中對信號的低頻誤差部分加以控制，即在頻域積分過程中引入函數(shù)φ(ω)：

(11)

頻域積分過程可表示為

(12)

式中:fT為低頻截止頻率；F(·)為傅里葉變換；F-1(·)為傅里葉逆變換。

低頻截止法頻域積分的關(guān)鍵在于對低頻截止頻率的選擇上。φ(ω)函數(shù)能夠?qū)⑿盘柕牡皖l部分置為零，以保證積分過程中低頻信號誤差不會影響到積分效果。同時，低頻信號所包含的信息也將被清零。低頻截止頻率的選擇需要根據(jù)信號特點(diǎn)進(jìn)行分析選取，一般要小于被測信號的第1個峰值。

混合積分完整流程，如圖1所示。

圖1 混合積分算法流程圖

3 仿真分析與試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 仿真分析

為驗(yàn)證本文混合算法的可行性，以Matlab為仿真軟件，采用諧波加速度信號進(jìn)行仿真分析。選取信號的采樣頻率為1 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1 000，組合諧波加速度信號為

a(t)=8sin(20πt)+25sin(50πt)+30sin(90πt)

對上式兩次積分后即可得到對應(yīng)的位移信號為

利用Matlab為加速度信號加入一定程度均勻分布的隨機(jī)高斯白噪聲，原加速度信號及加入高斯白噪聲的加速度信號對比如圖2所示。

(a)未加入隨機(jī)白噪聲

(b)加入隨機(jī)白噪聲圖2 加噪前后加速度信號對比

對加入高斯白噪聲的加速度信號進(jìn)行CEEMDAN分解，得到IMF分量及趨勢項(xiàng)。部分IMF分量如圖3、圖4所示。CEEMDAN分解所得到的趨勢項(xiàng)分量如圖5所示。

圖3 IMF1分量

圖4 IMF6分量

圖5 IMF8分量

利用式(13)計(jì)算各個分量的相關(guān)系數(shù)，得到的相關(guān)系數(shù)如圖6所示。

圖6 相關(guān)系數(shù)圖1

(13)

式中：x(n)、y(n)為時間序列相同的信號。

由于CEEMDAN的自適應(yīng)性，能夠?qū)MF分量從高頻到低頻進(jìn)行排列。從相關(guān)系數(shù)圖可以看出，相關(guān)系數(shù)先升高后降低，IMF1、IMF7和IMF8為偽分量，包含的有效原始信號分量較少。IMF3處有一局部最大值，即出現(xiàn)局部最大值前的IMF1和IMF2分量包含有高頻噪聲。對含高頻噪聲分量的IMF進(jìn)行小波閾值去噪后與剩余分量重構(gòu)，并剔除趨勢項(xiàng)和均值，即可得到去噪后的加速度信號。

對去噪后的加速度信號采用Simpson積分公式進(jìn)行一次時域積分，從而能夠得到速度信號。此時，時域積分算法將會產(chǎn)生誤差，導(dǎo)致速度信號端點(diǎn)部分基線發(fā)生漂移。利用最小二乘法進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，擬合過程中發(fā)現(xiàn)選取多項(xiàng)式階數(shù)為6時得到的速度信號效果最佳。如圖7所示，速度信號中不存在明顯的噪聲毛刺和漂移。

(a)時域一次積分后的速度信號

(b)多項(xiàng)式擬合后的速度信號圖7 速度信號對比

對一次時域積分所得到速度信號，利用低頻截止法進(jìn)行一次頻域積分后，即可得到原加速度信號所對應(yīng)的位移信號。將混合積分所得到的位移信號與原位移信號進(jìn)行對比，如圖8所示。

圖8 混合積分前后位移信號對比

從圖8可以看出，位移信號的開始部分和結(jié)束部分有一定程度的積分處理所產(chǎn)生的端點(diǎn)效應(yīng)。但總體上，位移吻合度較高。采用平均絕對誤差(MAE)和均方根誤差(RMSE)對該混合積分算法所得到的位移信號進(jìn)行評價，平均絕對誤差和均方根誤差越低，表明信號還原度越好。計(jì)算公式如下：

(14)

(15)

通過計(jì)算得到的平均絕對誤差為0.000 114，均方根誤差為0.000 159。本文設(shè)計(jì)的混合積分算法積分仿真可行，位移信號還原度高。

3.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

本文利用搭建的卷簧振動篩試驗(yàn)臺，通過仿真及錘擊模態(tài)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其做垂直振動的模態(tài)頻率為8.2 Hz。通過在振動臺頂部安裝電機(jī)驅(qū)動偏心質(zhì)塊，使偏心質(zhì)塊在492 r/min的轉(zhuǎn)速下做圓周運(yùn)動。在偏心質(zhì)塊離心力的作用下，不斷給予振動篩激勵，振動臺則在垂直模態(tài)下不斷在豎直方向上振動。通過安裝激光位移傳感器、加速度傳感器以及LMS信號采集系統(tǒng)，實(shí)測加速度及位移信號，驗(yàn)證本算法。試驗(yàn)場地搭建如圖9所示。

圖9 試驗(yàn)現(xiàn)場

加速度傳感器的采樣點(diǎn)數(shù)為6 144，采樣頻率為1 024 Hz；位移傳感器的采樣點(diǎn)數(shù)為6 144，采樣頻率為1 024 Hz。所測得的加速度信號如圖10所示。

圖10 加速度原始信號

對采集得到的加速度信號進(jìn)行CEEMDAN分解，得到的15個IMF分量如圖11所示。由圖11明顯看出，IMF分量包含很明顯的高頻噪聲，IMF7分量處顯現(xiàn)出原始信號的波形。

圖11 CEEMDAN分解得到的模態(tài)分量

利用式(13)，計(jì)算前14個IMF分量與加速度信號的相關(guān)系數(shù)圖，如圖12所示。

圖12 相關(guān)系數(shù)圖2

由圖12可知，前5階和后5階IMF分量為偽分量。有效分量中第1個局部最大值拐點(diǎn)出現(xiàn)在分量IMF7處，即前6階IMF分量是含有噪聲的。

對含有噪聲的IMF分量進(jìn)行小波閾值去噪后與其余分量進(jìn)行重構(gòu)，并去除趨勢項(xiàng)IMF15和均值，即得到預(yù)處理去噪后的加速度信號。去噪前后加速度信號的頻譜對比，如圖13所示，主頻能量基本沒有損耗。

(a)原加速度信號

(b)去噪后的加速度信號圖13 加速度信號去噪前后頻譜對比

CEEMDAN和小波閾值能在一定程度上有效的剔除度加速度信號中的高低頻噪聲，防止后續(xù)由噪聲引起的積分誤差擴(kuò)大。對上述去噪后的加速度信號，采用本文混合積分算法進(jìn)行運(yùn)算。同時，將本積分算法處理結(jié)果與EMD結(jié)合SLS時域積分算法結(jié)果和文獻(xiàn)[15]的算法結(jié)果進(jìn)行對比，利用式(14)和式(15)建立評價方式。積分后的結(jié)果如圖14所示,局部放大如圖15、圖16所示。誤差評價計(jì)算結(jié)果如表1所示。

圖14 積分位移算法對比

圖15 局部放大圖1

圖16 局部放大圖2

由圖14可知，EMD結(jié)合SLS時域積分后的位移信號存在較嚴(yán)重的漂移誤差，峰值誤差較大，信號還原度最差。文獻(xiàn)[15]的算法較兩次時域積分效果好，但仍存在較高的峰值誤差。本文提出的混合積分算法不存在漂移，峰值誤差較小，信號擬合程度較高。

由表1可知，本文提出的基于CEEMDAN和小波閾值去噪的混合積分算法的MAE、RMSE均最小，能夠在一定程度上解決位移信號漂移、誤差嚴(yán)重的問題。

表1 誤差計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)論

設(shè)計(jì)的基于CEEMDAN和小波軟閾值去噪的加速度混合積分算法，從仿真分析及試驗(yàn)測試結(jié)果可以看出，利用CEEMDAN算法的自適應(yīng)性及模態(tài)分解的高辨識度局部特征，可以有效分辨噪聲分布情況。同時，結(jié)合小波閾值去噪進(jìn)行預(yù)處理的方法，能夠避免采集的加速度信號中存在的高低頻噪聲干擾，影響積分信號的還原效果。先進(jìn)行一次時域積分，避開兩次時域積分造成的誤差項(xiàng)放大現(xiàn)象，并與采用低頻截止算法的頻域積分相結(jié)合，能有效避免低頻誤差對積分效果的影響。但是，本文算法在計(jì)算速度及去噪范圍上仍存在一定的局限性，處理的信號須具有一定長度的帶寬。頻域算法對于頻率較低的信號處理效果不是很好，信號能量有一定損失。本文設(shè)計(jì)的混合積分算法為后續(xù)工程應(yīng)用提供了參考。