一種組稀疏高階變分的圖像復原模型

王 鴻，陳明舉，熊興中，張勁松，楊志文

(1.四川輕化工大學 人工智能四川省重點實驗室，四川 宜賓 644000;2.四川輕化工大學 自動化與信息工程學院，四川 宜賓 644000)

0 引言

從退化圖像中復原出真實的圖像是一個不可逆的病態(tài)問題，基于圖像梯度正則化的變分技術(shù)能在實現(xiàn)圖像復原的同時增強圖像的細節(jié)信息，獲得較好的圖像復原性能[1-2]。然而，在圖像的平滑區(qū)域，變分技術(shù)會誤將噪聲當作圖像的細節(jié)進行增強，從而產(chǎn)生階梯現(xiàn)象[3]，其圖像復原性能有限。為了有效消除變分模型的階梯現(xiàn)象，一些學者利用高階梯度能有效區(qū)分噪聲強度的特點，將圖像的高階梯度作為變分模型的正則化項，提出了一些高階變分圖像復原模型，例如拉普拉斯高階變分模型[4]、基于四階梯度的變分模型[5]以及增強高階非凸全變分模型[6]等。高階變分模型在增強圖像邊界的同時，有效減弱階梯現(xiàn)象，但高階梯度忽略了圖像弱紋理與細節(jié)信息，造成圖像部分細節(jié)信息的模糊[7]。為有效利用低階變分與高階變分的優(yōu)點，一些學者建立低階梯度與高階梯度相結(jié)合的正則化變分模型[8-9]，通過調(diào)節(jié)低階梯度與高階梯度權(quán)重，有效地實現(xiàn)圖像邊界與細節(jié)信息的增強，但該變分模型仍然基于圖像的梯度信息，不可避免地在圖像平滑區(qū)域產(chǎn)生階梯現(xiàn)象[10]，圖像復原性能有限。

另一方面，一些學者將稀疏技術(shù)引入到變分模型，對變分模型的正則化項加以稀疏限制，利用圖像的稀疏性與自相似性實現(xiàn)圖像信息的重構(gòu)[11]，從而減弱了圖像平滑區(qū)域階梯現(xiàn)象的產(chǎn)生，例如基于稀疏限制變分模型(Sparse Total Variation，STV)[12]、低秩稀疏變分模型(TV Regularized Low-Rank Matrix，LRTV)[13]以及組稀疏變分模型(Group Sparse Total Variation，GSTV)[14]等。研究表明，與稀疏技術(shù)相比，組稀疏技術(shù)不僅實現(xiàn)圖像的稀疏表示，更能體現(xiàn)圖像中隱藏的結(jié)構(gòu)相似性[15-16]，若將組稀疏技術(shù)應用于高階變分模型中，勢必進一步提高變分技術(shù)的圖像修復性能。

為了更好地利用圖像的稀疏性與結(jié)構(gòu)相似性，建立更有效的正則化圖像復原變分模型，本文將組稀疏技術(shù)引入到高階變分模型中，建立一種非凸的組稀疏高階變分模型(Group Sparse Higher-order Total Variation，GSHOTV)，并將迭代修正權(quán)值l1方法與極小化最大值算法引入到交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM)中，以實現(xiàn)該非凸性組稀疏高階變分模型的優(yōu)化求解。

1 組稀疏高階變分模型

1.1 組稀疏高階變分模型的建立

為減弱基于一階梯度l1范數(shù)變分模型的階梯現(xiàn)象，并同時增強圖像的邊界，Bredies等人[4]將二階梯度作為正則化項，建立自適應lp(0

(1)

式中，f為退化圖像；K為線性退化函數(shù)；u為真實圖像；0<ω為正則化參數(shù)；?c(u)為特征函數(shù)，以確保HOTV存在極點，其取值為：

(2)

式中，C為圖像像素值取值范圍。由于HOTV采用lp范數(shù)的非凸性，Lyu等人[17-18]引入迭代修正權(quán)值l1算法(Iterative Re-weightedl1Algorithm，IRL1)將lp范數(shù)變分模型轉(zhuǎn)換為l1范數(shù)變分模型，通過IRL1實現(xiàn)HOTV的迭代求解的方程為：

(3)

式中，權(quán)值參數(shù)ω的更新為：

(4)

式中，τ為接近0的正數(shù)。HOTV采用二階梯度增強圖像的邊界，減弱了平滑區(qū)域階梯現(xiàn)象的產(chǎn)生，但同時模糊了圖像部分較弱的細節(jié)信息。

組稀疏技術(shù)利用自然圖像相似的圖像塊在稀疏系數(shù)分布上更相近或相似的特性，對相似的稀疏系數(shù)進行分組，從而更多地考慮圖像的結(jié)構(gòu)相似性，以更好地重構(gòu)圖像的結(jié)構(gòu)與紋理信息。為提高正則化變分技術(shù)的圖像復原性能，Liu等人[14]將組稀疏技術(shù)引入到變分模型中，建立GSTV模型：

(5)

式中，Du表示圖像u的梯度；φ(u)表示對u的組稀疏表示：

(6)

對于GSTV模型的求解，可以采用收斂性較快的極小化極大值迭代(Majorization Minimization，MM)進行求解[19]，其極小化優(yōu)化迭代求解u迭代步驟為：

(7)

式中，Λ為對角矩陣;對角值Λ(u)n,n為：

(8)

圖像的平滑區(qū)域通常存在自相似性，組稀疏技術(shù)利用圖像的自相似性實現(xiàn)圖像平滑區(qū)域的重構(gòu)，從而克服階梯現(xiàn)象的產(chǎn)生。對于圖像的孤立區(qū)域，無法找到相似信息對其進行重構(gòu)，GSTV模型會造成孤立區(qū)域模糊[20]。

為有效利用高階變分增強圖像邊界、組稀疏變分重構(gòu)圖像相似信息的優(yōu)點，在自適應范數(shù)的二階變分模型基礎上，對圖像一階梯度進行組稀疏限制，建立一種GSHOTV，以便獲得更好的圖像復原性能，建立的GSHOTV為：

(9)

1.2 組稀疏高階變分模型的求解

交替方向乘子法結(jié)合對偶法的可分解性與高效收斂性，在多變量范數(shù)的凸優(yōu)化中表現(xiàn)出較好的穩(wěn)定性與收斂性[21-22]。另一方面，GSHOTV模型中涉及到u,u與2u多個變量的求解，可以采用ADMM方法分解成各個變量的子問題，進而引入IRL1與MM算法對子問題的優(yōu)化求解，最終實現(xiàn)GSHOTV模型的求解。

引入ADMM輔助參量v,w與z三個參數(shù)，GSHOTV模型可進一步轉(zhuǎn)換為：

(10)

其對應的拉格朗日方程為：

(11)

式中，μ1,μ2,μ3為拉格朗日參數(shù)；ρ為逼近算子。

GSHOTV模型的極小化求解可以分解成u,v,w與z三個子問題的求解。

u的子問題為：

(12)

通過梯度極小化可以實現(xiàn)u的求解：

uk+1=(λKTK+ρT+ρ(2)T2+ρI)-1·

(λKTf-Tμ1+ρTv-(2)Tμ2+ρ(2)Tw+ρz)，

(13)

式中，KTK，T與(2)T為BBCD循環(huán)矩陣，若直接計算出各循環(huán)矩陣的值，計算量較大。由于循環(huán)矩陣可以表示為正逆傅里葉變換矩陣與傅里葉變換系數(shù)矩陣相乘的形式[23]。因此，通過2FFT求出BCCB矩陣特征值矩陣，再與正交矩陣相乘，從而實現(xiàn)BCCB矩陣的快速求解[24]。

v的子問題為：

(14)

v的極小化問題實質(zhì)上是一個GSTV模型，采用極小化極大值MM迭代進行求解可進一步轉(zhuǎn)化為：

(15)

w的子問題可以引入IRL1方法，轉(zhuǎn)化為：

(16)

式中，ti為權(quán)重參數(shù)，其值為：

(17)

w的極小化可以通過閾值收縮得到：

(18)

z的極小化問題：

(19)

上述極小化問題可以進一步轉(zhuǎn)換為：

(20)

zk+1可以通過下式求得：

(21)

拉格朗日乘子可以通過下列算子更新：

(22)

(23)

(24)

綜上分析，GSHOTV模型采用引入IRL1與MM算法的ADMM優(yōu)化求解過程如下：

GSHOTV模型ADMM優(yōu)化求解步驟初始化:u0=f,μ01=μ02=μ03,λ=ρ=0.01,ω=0.1,k=1;While‖uk-uk-1‖2/‖uk‖2>ERR按式(13)更新uk+1;按式(15)更新vk+1;按式(18)更新wk+1;按式(19)更新zk+1;按式(22)～式(24),分別更新拉格朗日乘子μk+11,μk+12與μk+13;k=k+1;endwhile

2 結(jié)果與討論

為證明本文提出的組稀疏高階變分模型GSHOTV圖像復原的性能，將GSHOTV模型修復后的結(jié)果與HOTV、GSTV模型修復的結(jié)果進行對比。實驗中退化函數(shù)K分別選取均值退化、高斯退化與運動退化，均值退化與高斯退化模板hsize大小設置7×7，運動退化的尺度len設置為9，方向為水平；加性噪聲為高斯噪聲，方差為σn。采用測試的部分圖像如圖1所示，其性能的客觀指標采用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)和結(jié)構(gòu)相似性(Structral Similarity Index，SSIM)如表1所示。

(a) 女生

表1 不同退化圖片采用3種模型復原后性能比較(PSNR,SSIM)Tab.1 Restoration results of different models based on different degraded images (PSNR,SSIM)

圖1中，圖像采用不同方式進行退化模糊，再分別采用3種模型實現(xiàn)圖像的復原。從表1中可以看出，本文的GSHOTV圖像復原模型獲得最高的PSNR與SSIM。與HOTV結(jié)果相比，GSHOTV的PSNR提高約0.3～1.5 dB。表1數(shù)據(jù)說明，本文的GSHOTV模型將組稀疏技術(shù)與高階變分相結(jié)合，消除了階梯效應的影響，同時保留高階變分增強圖像邊界的優(yōu)點，復原后的圖像更接近原始圖像。

為分析本文GSHOTV模型的收斂性能，將迭代停止條件設置為ERR≤0.01，分別記錄3種模型達到收斂時的運行時間t與迭代次數(shù)k。表2給出“女生”圖像在不同退化情況下，采用3種模型復原所花的時間與迭代次數(shù)。

表2 女生圖像在不同退化環(huán)境采用3種復原模型運行時間分析Tab.2 Operation time of different models based on different degraded girl image

從表2數(shù)據(jù)可以看出，本文的GSHOTV模型耗時與迭代次數(shù)遠低于GSTV模型，其迭代次數(shù)和運算時間與HOTV相當，說明將IRL1與MM算法引入到ADMM迭代中，可以高效實現(xiàn)GSHOTV模型的求解。在主觀評價方面，分別對3種模型實現(xiàn)復原后的圖像結(jié)構(gòu)與細節(jié)信息進行對比分析。為便于觀察，圖2與圖3分別給出了平滑圖像“Woman”在高斯退化下(hsize=9×9,σn=20)與強紋理圖像“Zoneplate”在移動退化下(len=9,σn=30)，采用3種模型復原后的結(jié)果與差值圖像。

(a) 原真實圖

(a) 原真實圖

從圖2和圖3可以看出，HOTV有效地增強了圖像的邊界，但把平滑區(qū)域的部分噪聲當作邊界實現(xiàn)了增強，從而產(chǎn)生階梯現(xiàn)象；GSTV雖然有效減弱了平滑區(qū)域的階梯現(xiàn)象，但模糊圖像的部分邊界與細節(jié)；本文提出的GSHOTV模型差值圖像灰度值最小，不僅有效地克服了平滑區(qū)域階梯現(xiàn)象的產(chǎn)生，且更好地復原圖像的細節(jié)信息。圖2和圖3實驗說明，GSHOTV模型中組稀疏項有效地利用圖像相似信息實現(xiàn)平滑區(qū)域與相似細節(jié)的重構(gòu)，同時高階變分項實現(xiàn)圖像細節(jié)的增強，從而獲得更好的圖像復原性能。

為了進一步從主觀上說明GSHOTV模型具有更好的圖像修復性能，圖4～圖7給出圖1中4幅圖像在不同退化情況下的復原后的圖像，為便于對比復原的效果，在各個圖的右上角給出綠色區(qū)域的放大圖。

(a) 移動退化圖像

(a) 均值退化圖像

(a) 均值退化圖像

(a) 運動退化圖像

從圖4～圖7可以看出，HOTV模型較好地復原了圖像的邊界，但在平滑區(qū)域存在階梯效應；GSTV模型較好地去除圖像的干擾噪聲與階梯現(xiàn)象，但同時模糊了圖像的細節(jié)；本文的GSHOTV模型在實現(xiàn)圖像干擾消除的同時，更好地復原與增強了圖像的紋理與細節(jié)信息，如“女生”圖片中的橘子紋理、“蝴蝶”圖像中的斑點、“水果”圖像中花紋以及“汽車”圖像中的車標信息都較好地實現(xiàn)了復原。以上分析再次說明，本文的GSHOTV模型中的組稀疏項有效利用圖像的相似信息消除階梯現(xiàn)象，高階變分項增強圖像的細節(jié)信息，從而獲得更好的圖像復原性能。

3 結(jié)束語

針對變分模型在圖像復原中的性能進行相應的分析，低階變分和高階變分有各自的優(yōu)缺點，將二者相結(jié)合的正則化變分模型，在復原性能上也有局限性，為了更好地實現(xiàn)圖像信息的復原并增強圖像的紋理結(jié)構(gòu)信息，將圖像表示的組稀疏技術(shù)引入到高階變分模型中，能提高變分技術(shù)的圖像修復性能，建立一種非凸的組稀疏高階變分模型，并將迭代修正權(quán)值l1算法與極小化最大值的方法引入到交替方向乘子法中，實現(xiàn)建立的非凸的組稀疏高階變分模型的優(yōu)化求解。通過對比實驗，證明本文提出的非凸的組稀疏高階變分模型有效地復原圖像的細節(jié)與紋理信息，消除了階梯現(xiàn)象，獲得更好的圖像復原效果，使變分技術(shù)的圖像修復性能進一步提高。因此，本文提出的組稀疏高階變分圖像復原模型具有很好的應用前景。