王立興,吳文兵,,楊曉燕,張?jiān)迄i,王奎華
(1.中國地質(zhì)大學(xué) 工程學(xué)院,武漢 430074;2.浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心,杭州 310058)
樁基沉降計(jì)算是樁基工程設(shè)計(jì)中非常重要的部分。學(xué)者們對(duì)樁基沉降進(jìn)行了廣泛而深入的研究,得到了很多有價(jià)值的單樁沉降計(jì)算方法,如荷載傳遞法[1-7]、剪切位移法[8-10]、彈性理論法[11-13]、規(guī)范法[14]和數(shù)值計(jì)算法[15-17]等,其中,荷載傳遞法因可通過不同的樁土相互作用模型來反映樁土共同作用、地基層狀特性而被學(xué)者廣泛運(yùn)用??偟膩碚f,基于荷載傳遞法的樁-土相互作用模型主要有理想彈塑性模型[1,4-6]、雙折線硬化模型[3,18]、三折線模型[19]及雙曲線模型[7],通過選取不同的樁-土相互作用模型,可以較準(zhǔn)確地得到不同土性中單樁的沉降,具有較好的工程適用性。
上述研究采用荷載傳遞法計(jì)算樁基沉降時(shí),均將樁端土對(duì)樁的支撐作用簡化為彈簧模型,彈簧參數(shù)可結(jié)合樁端土硬化特性、非線性特性等根據(jù)實(shí)測(cè)的樁端反力-位移曲線反演確定。然而,這種彈簧支撐模型存在一些不足:無法考慮樁端土體的層狀特性;無法建立樁端土層物理力學(xué)性質(zhì)與彈簧參數(shù)之間的相互關(guān)系;且無法反映持力層內(nèi)及以下土體性質(zhì)的變化對(duì)單樁沉降的影響[20]。為此,Wu等[20-21]提出了虛土樁模型,并用于樁基縱向和扭轉(zhuǎn)動(dòng)力特性分析。隨后,王奎華等[22]率先將虛土樁模型應(yīng)用于層狀地基中的單樁沉降計(jì)算分析,并提出采用錐型虛土樁模型來考慮樁端應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng)對(duì)單樁沉降的影響[23],辛冬冬等[24]將虛土樁模型推廣到層狀地基中的群樁沉降分析。盡管虛土樁模型能很好地考慮樁端層狀特性對(duì)基樁靜動(dòng)力學(xué)特性的影響,且能在一定程度上考慮樁端應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng),但虛土樁的合理長度及應(yīng)力擴(kuò)散影響范圍到底多大仍不得而知。
為了更好地分析樁端土性質(zhì)對(duì)單樁沉降的影響,筆者基于Boussinesq解提出了一種應(yīng)力泡形虛土樁模型來考慮樁端應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng),并基于荷載傳遞法對(duì)樁側(cè)土采用雙折線模型、對(duì)樁端土采用應(yīng)力泡形虛土樁模型,考慮樁端土中實(shí)際附加應(yīng)力的分布情況,推導(dǎo)得到了成層地基中的單樁樁頂沉降計(jì)算公式。
根據(jù)Boussinesq解可知,樁端土體中附加應(yīng)力大致的分布規(guī)律為:在徑向上隨著徑向半徑的增加逐漸減小,在豎向上隨著深度的增加也逐漸減小,在整體空間中呈橢球型泡狀分布,即應(yīng)力泡。假設(shè)樁端對(duì)土體的作用力為均布荷載形式,根據(jù)Boussinesq解可以求出樁端土中應(yīng)力分布形式的解析式,然后建立應(yīng)力泡形虛土樁模型。建立如圖1所示的軸對(duì)稱坐標(biāo)系,基于Boussinesq解,通過積分可以求得圓形均布荷載作用下地基土體中任意一點(diǎn)的豎向應(yīng)力分布[25]。
圖1 樁端附加應(yīng)力計(jì)算模型Fig.1 Calculation model of additional stress at pile
(1)
將式(1)求解得到的相同數(shù)值的豎向應(yīng)力等值線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周就形成一系列以z軸為中心的三維應(yīng)力等值面,將等值面以內(nèi)的土體看作是受荷主體,即為應(yīng)力泡形虛土樁的主體部分,如圖2所示。
圖2 應(yīng)力泡形虛土樁模型Fig.2 Stress-bubble fictitious soil pile
樁周土采用雙折線模型,如圖3所示,荷載傳遞函數(shù)為
圖3 樁周土本構(gòu)模型Fig.3 Constitutive model of soil around
(2)
式中:u為樁周土的位移;ub為樁周土的彈性極限位移;fs為單位長度樁周側(cè)摩阻力;λ為理想彈塑性模型的彈性抗剪切剛度系數(shù),kN/m2。
樁端土采用應(yīng)力泡形虛土樁模型,把樁端至基巖之間的應(yīng)力泡形土體看成“土樁”,即所謂虛土樁,其參數(shù)分別取各實(shí)際土層參數(shù),而變形按類似于樁的平面假定。根據(jù)樁端土層成層性情況及樁端土體性質(zhì)和受力環(huán)境是否變化而把實(shí)體樁和虛土樁一共分為n(n>m)段,其中實(shí)體樁分成m段,虛土樁分成N(即N=n-m)段,從實(shí)體樁頂部向下依次編號(hào)為1、2、…、i、…、m、m+1、…、n,各樁段厚度分別為l1、l2、…、li、…、ln,實(shí)體樁總長為L1,虛土樁總長為L2,各段樁的埋深分別為z1、z2、…、zi、…、zn。計(jì)算時(shí),可以將虛土樁各樁段再細(xì)分為很薄的圓柱體進(jìn)行近似計(jì)算,計(jì)算精度由單元數(shù)N控制,計(jì)算中可以直接將樁土體系按照m+N段進(jìn)行計(jì)算。具體的樁體分段與樁土相互作用體系簡圖如圖2所示。由式(1)可求得虛土樁各深度樁段對(duì)應(yīng)的半徑Ri,即各段實(shí)體樁和虛土樁的半徑分別為
(3)
1)樁土體系呈線彈性狀態(tài),實(shí)體樁樁身截面均勻,虛土樁以應(yīng)力泡的形式存在。
2)樁體與土體之間沒有相對(duì)滑移,實(shí)體樁與虛土樁的各樁段交界面之間為完全連續(xù)接觸,滿足連續(xù)性條件。
3)樁單元中任意點(diǎn)的位移只與該點(diǎn)的樁周側(cè)摩阻力有關(guān),虛土樁端部為剛性支撐。
4)地基中同一土層的物理力學(xué)性質(zhì)沿深度方向不變。
5)虛土樁的力學(xué)行為與樁體相符合,參數(shù)為土體參數(shù)。
根據(jù)荷載在樁身的傳遞機(jī)理,樁體的截面軸力及位移隨深度的增加,逐漸減小,且隨著樁頂荷載的增加,截面軸力及位移逐漸向樁底發(fā)展。因此,隨著荷載的增加,樁周土由淺入深逐漸進(jìn)入塑性階段。根據(jù)樁土體系所處狀態(tài)的不同,分3個(gè)階段分別給出樁頂荷載和沉降的計(jì)算公式。需要說明的是,由于樁基受力后通常僅對(duì)樁周徑向一定范圍內(nèi)的土體產(chǎn)生影響,這里所指的樁周土體即樁基應(yīng)力影響范圍內(nèi)的土體。
首先推導(dǎo)荷載傳遞函數(shù)基本微分方程,根據(jù)樁上任意一個(gè)單元體的靜力平衡條件,可以得到
(4)
(5)
式中:E為該樁段彈性模量;A為該樁段截面面積;P為該樁段頂部荷載。
對(duì)式(5)兩端求導(dǎo),并將式(4)代入,可得荷載傳遞法的基本微分方程
(6)
當(dāng)樁頂荷載較小時(shí),樁周土全部處于彈性階段,根據(jù)式(4)~式(6),此時(shí)第i個(gè)樁段截面位移u(x)應(yīng)滿足方程
(7)
式中:Pi為第i段樁體頂部荷載;Si為第i段樁體頂部位移;zi為第i段樁體截面到樁頂?shù)木嚯x;Ei為第i段樁體彈性模量;Ai為第i段樁體橫截面積;λi為第i段樁體彈性抗剪切剛度系數(shù)。
各虛土樁段面積Ai值計(jì)算采用式(8)。
(8)
為使解析表達(dá)式簡潔,定義式(9)。
(9)
求解式(7)可得第i樁段截面位移為
(10)
聯(lián)立式(7)與式(10)可求得第i段樁的樁頂荷載及位移為
(11)
由式(11)可得第i段樁的樁頂剛度Ki(剛度是指材料或結(jié)構(gòu)在受力時(shí)抵抗彈性變形的能力)。
(12)
由假設(shè)條件(3)可以得知,虛土樁樁端位移為0,即
u|x=L1+L2=Sn+1=0
(13)
由式(10)和式(11)給出的第i段樁的樁頂荷載及位移并結(jié)合邊界條件式(13)就可以求得第n段樁的樁頂剛度為
(14)
根據(jù)式(12)和式(14)可以遞推得到樁體頂部剛度K1,進(jìn)而根據(jù)樁頂荷載P1,就可以求得樁頂沉降值S1。
(15)
式(12)和(14)中所需要的計(jì)算參數(shù)均可以由實(shí)測(cè)的土層參數(shù)直接或間接計(jì)算得到。因此,根據(jù)式(11)~式(15)就可以求得樁頂沉降值。
樁周土部分處于塑性階段時(shí),樁土的相互作用體系簡圖如圖4所示,塑性樁段的長度為La,由于塑性樁段的長度La與樁頂荷載和樁周土的性質(zhì)有關(guān),在實(shí)際工程應(yīng)用中應(yīng)當(dāng)根據(jù)現(xiàn)場試驗(yàn)確定樁周土處于塑性階段的深度La。
圖4 樁周土部分進(jìn)入塑性階段模型Fig.4 Model of part of the soil around the pile
對(duì)于樁側(cè)土體處于塑性階段的連續(xù)樁段,第i個(gè)樁段截面位移u(x)應(yīng)該滿足方程
(16)
式中:ubi表示第i樁段樁周土的極限位移。
求解式(16)可得第i段樁的截面位移方程為
(17)
求得第i段塑性樁的樁頂荷載及位移為
(18)
根據(jù)假設(shè),當(dāng)樁周土部分處于塑性階段時(shí),可以依據(jù)樁周土所處的狀態(tài)把樁分為兩個(gè)部分,即塑性段和彈性段,先按照式(11)~式(15)計(jì)算彈性樁段的剛度,再按照式(18)計(jì)算塑性樁段的剛度,就可以得到單樁樁頂沉降值。
樁周土全部處于塑性階段時(shí),如圖4所示,即La=L1+L2??汕蟮玫趎段樁的樁頂荷載及位移為
(19)
當(dāng)樁周土全部處于塑性階段時(shí),結(jié)合式(18)和式(19)遞推就可以得到單樁樁頂沉降值。
對(duì)于彈性極限位移,很多學(xué)者都有研究,目前有經(jīng)驗(yàn)法[26-27]、經(jīng)驗(yàn)公式法[28]及應(yīng)變計(jì)測(cè)試方法[29]。為了在實(shí)際工程應(yīng)用中方便取值,建議采用應(yīng)變計(jì)測(cè)試方法進(jìn)行計(jì)算。
(20)
式中:s0為樁頂沉降量;ubi為第i段樁土體系的極限位移;li為第i段樁的長度;εi為靜載試驗(yàn)中在樁頂作用承載力設(shè)計(jì)值時(shí)第i個(gè)測(cè)試面的應(yīng)變。
通過靜載試驗(yàn),將加載到極限承載力時(shí)測(cè)試得到的樁頂沉降量和應(yīng)變值代入式(20),就可以求得樁土彈性極限位移。
與彈性極限位移類似,為了在實(shí)際工程應(yīng)用中方便取值,建議彈性抗剪切剛度系數(shù)采用應(yīng)變計(jì)測(cè)試方法進(jìn)行計(jì)算。
(21)
式中:τui為第i段樁的極限側(cè)摩阻力;τi與ui為靜載試驗(yàn)?zāi)骋患?jí)荷載作用下計(jì)算得到的第i段樁的側(cè)摩阻力與相對(duì)位移。
在雙折線模型中,λ為斜線段斜率,知道任一點(diǎn)的側(cè)摩阻力和相對(duì)位移就可以計(jì)算得到抗剪切剛度系數(shù)。
由式(1)可以看出,附加應(yīng)力值σz是利用應(yīng)力泡形虛土樁模型分析單樁沉降的一個(gè)重要參數(shù),選取不同的附加應(yīng)力值σz意味著選用了范圍大小不同的應(yīng)力泡形虛土樁模型,如圖5所示。樁端土體的沉降對(duì)樁頂沉降有較大的貢獻(xiàn),因此,選取范圍不同的應(yīng)力泡形虛土樁模型對(duì)樁頂沉降影響很大。
圖5 泡形不同的虛土樁模型Fig.5 Virtual soil pile models with different bubble
3.3.1 算例1:樁端土為軟弱土 為了考慮樁端應(yīng)力泡范圍不同的影響,取上硬下軟雙層土作為算例1,實(shí)體樁深度范圍內(nèi)為硬黏土,虛土樁范圍內(nèi)為軟弱土,土層參數(shù)來源于文獻(xiàn)[30],如表1所示。
表1 算例1各參數(shù)取值[30]Table 1 Values of parameters in study 1
樁身彈性模量Ep=3×104MPa,樁身半徑r0=0.5 m,樁頂荷載P取2 000、3 000、4 000 kN,附加應(yīng)力值σz取0.1P~0.000 01P,虛土樁部分按照0.5 m分層計(jì)算,得到樁頂?shù)某两抵等鐖D6所示。
圖6 上硬下軟土層中應(yīng)力泡范圍對(duì)樁頂沉降的影響Fig.6 Influence of stress bubble range on pile top settlement in upper and lower soft soil
如圖6所示,在樁側(cè)土為硬土,樁端土為軟土的雙層地基中,附加應(yīng)力范圍對(duì)樁頂沉降的影響不明顯,沉降變化不大。整體上,隨著附加應(yīng)力范圍的增大(即應(yīng)力泡形虛土樁范圍增大),樁頂沉降隨之減小,但減小幅度不大。
3.3.2 算例2:樁端土為硬黏土或砂性土 取上軟下硬雙層土作為算例2,實(shí)體樁深度范圍內(nèi)為軟弱土,虛土樁范圍內(nèi)為硬黏土或砂性土,各參數(shù)取值如表2所示。
表2 算例2各參數(shù)取值[30]Table 2 Values of parameters in study 2
樁身彈性模量Ep=3×104MPa,樁身半徑r0=0.5 m,樁頂荷載P取2 000、3 000、4 000 kN,附加應(yīng)力值σz取0.1P~0.000 01P時(shí),虛土樁部分按照0.5 m分層計(jì)算,得到樁頂?shù)某两抵等鐖D7所示。
圖7 上軟下硬土層中應(yīng)力泡范圍對(duì)樁頂沉降的影響Fig.7 Influence of stress bubble range on pile top settlement in upper and lower hard soil
綜合上述分析發(fā)現(xiàn),當(dāng)樁周土性好時(shí),樁以側(cè)阻為主,應(yīng)力泡形虛土樁范圍的大小對(duì)樁頂沉降量影響不大;而當(dāng)樁周土性差時(shí),樁以端承為主,應(yīng)力泡形虛土樁范圍的大小對(duì)樁頂沉降量影響明顯;且當(dāng)應(yīng)力泡的影響深度大于樁端土層厚度時(shí),會(huì)有沉降值的突變。實(shí)際工程中,應(yīng)針對(duì)不同類型的樁周土及樁端土的性質(zhì)與樁端土的厚度,選擇合適的應(yīng)力泡范圍,當(dāng)樁端土厚度并非過大時(shí),可以選擇應(yīng)力泡的影響深度等于樁端土厚度時(shí)的應(yīng)力泡作為虛土樁模型的邊界進(jìn)行計(jì)算。
王奎華等[23]提出了考慮應(yīng)力擴(kuò)散角的樁頂沉降計(jì)算模型,并通過計(jì)算兩根試樁的沉降與實(shí)測(cè)值對(duì)比驗(yàn)證了其實(shí)用性。為驗(yàn)證該方法的合理性及實(shí)用性,對(duì)文獻(xiàn)[23]中的T3、T4樁進(jìn)行擬合,并將擬合結(jié)果與原文實(shí)測(cè)值及其計(jì)算值做對(duì)比分析,與文獻(xiàn)[23]保持一致,采用樁周土處于彈性階段公式計(jì)算。樁周土及樁端土的物理力學(xué)性質(zhì)參數(shù)來源于文獻(xiàn)[23],如表3所示。
表3 實(shí)例地質(zhì)資料與模型參數(shù)[23]Table 3 Geological information of example and parameters of model[23]
T3試樁:樁直徑為800 mm,樁長61.8 m;T4試樁:樁直徑為1 000 mm,樁長73.8m,樁身彈性模量Ep=3.3×107kPa。采用本文解計(jì)算各樁頂沉降量并與文獻(xiàn)[23]計(jì)算結(jié)果及實(shí)測(cè)值對(duì)比,見圖8及圖9。利用該方法計(jì)算時(shí),T3樁與T4樁的虛土樁部分取至第15層粉土底部,根據(jù)式(1)計(jì)算虛土樁影響深度剛好為第15層粉土底部時(shí)的T3試樁附加應(yīng)力值為0.000 36P,T4試樁附加應(yīng)力值為0.001 2P,并分別選取此時(shí)的應(yīng)力泡范圍作為虛土樁邊界進(jìn)行計(jì)算。
圖8 T3樁樁頂沉降計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of calculation results of pile top settlement of T3
圖9 T4樁樁頂沉降計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison of calculation results of pile top settlement of T4
與兩根試樁的實(shí)測(cè)值與文獻(xiàn)[23]的擴(kuò)散角法計(jì)算值對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),該方法考慮應(yīng)力泡形擴(kuò)散的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[23]考慮應(yīng)力擴(kuò)散角的計(jì)算結(jié)果較為接近,與實(shí)測(cè)結(jié)果具有較好的一致性。與文獻(xiàn)[23]的錐形虛土樁模型相比,該模型的最大優(yōu)勢(shì)在于能夠較嚴(yán)格地給出樁端應(yīng)力擴(kuò)散邊界,因而具有更廣泛的工程應(yīng)用價(jià)值。
1)基于虛土樁模型并結(jié)合Boussinesq解,提出了考慮樁端應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng)的應(yīng)力泡形虛土樁模型,并建立了基于該模型單樁沉降計(jì)算的解析解。該解能夠計(jì)算樁側(cè)土體處于彈性及塑性階段時(shí)的樁頂荷載-沉降曲線,參數(shù)明確,應(yīng)用簡便,可以用于工程現(xiàn)場單樁沉降量的計(jì)算分析,為樁基礎(chǔ)設(shè)計(jì)提供較為準(zhǔn)確的沉降值。
2)當(dāng)樁周土性較好時(shí),樁側(cè)摩阻力發(fā)揮主要作用,樁周土承擔(dān)主要荷載,應(yīng)力泡范圍的大小對(duì)樁頂沉降量影響不明顯,可取較小范圍的應(yīng)力泡形虛土樁;當(dāng)樁周土性較差時(shí),樁端阻力發(fā)揮主要作用,樁端土承擔(dān)主要荷載,應(yīng)力泡范圍的大小對(duì)樁頂沉降量影響明顯,應(yīng)針對(duì)不同類型的樁周土及樁端土的性質(zhì)與樁端土的厚度,選擇合適的應(yīng)力泡范圍。
3)通過分析不同附加應(yīng)力取值對(duì)單樁樁頂沉降量的影響發(fā)現(xiàn),當(dāng)應(yīng)力泡的影響深度大于樁端土厚度時(shí),會(huì)發(fā)生沉降量的突變。因此,在工程應(yīng)用中,可以選取應(yīng)力泡的影響深度恰好是樁端土厚度時(shí)的應(yīng)力泡形虛土樁模型進(jìn)行計(jì)算。
4)該方法與錐形虛土樁模型對(duì)兩根試樁的沉降計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比表明,該方法的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果有較好的一致性。同時(shí),該模型的最大優(yōu)勢(shì)在于能夠較嚴(yán)格地給出樁端應(yīng)力擴(kuò)散邊界,因而具有更廣泛的工程應(yīng)用價(jià)值。