聚焦核心概念，讓方法的教學(xué)“有根”

于萍 劉克臣

【摘 要】“分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化”一課通常不是教師心目中的“大課”，一方面它不屬于概念的起始課，另一方面從掌握方法的角度看其內(nèi)涵并不復(fù)雜。甚至在有的版本教材中并沒有安排特定的例題，而是“藏”在練習(xí)中一帶而過。本文通過“課前思考”系統(tǒng)分析了這節(jié)課的內(nèi)容價(jià)值，在“課中實(shí)踐”部分，翔實(shí)反映實(shí)施效果，最后以“課后評(píng)析”促實(shí)踐者再思考，呈現(xiàn)了一個(gè)“聚焦核心概念進(jìn)行方法教學(xué)”案例研究的全過程。

【關(guān)鍵詞】核心概念 溝通聯(lián)系 數(shù)學(xué)素養(yǎng)

一、課前思考

思考一：上一節(jié)“技能課”還是“概念課”？

立足單元整體目標(biāo)分析，本課的教學(xué)重點(diǎn)不應(yīng)僅是探索分?jǐn)?shù)和小數(shù)互化的方法，讓學(xué)生掌握技能，更要對(duì)“分?jǐn)?shù)和小數(shù)為什么互化”“互化背后的本質(zhì)是什么”等問題進(jìn)行深入探究，讓本課從單純的“技能課”轉(zhuǎn)向“概念課”，更好地聚焦核心概念，讓方法的教學(xué)因深刻而靈動(dòng)。

思考二：除了掌握方法，還有哪些價(jià)值？

突出用聯(lián)系的眼光看問題——理解“同”。小數(shù)的本質(zhì)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)，因此和分?jǐn)?shù)有著密切的聯(lián)系?！靶?shù)的初步認(rèn)識(shí)”及“小數(shù)的意義”的教學(xué)內(nèi)容都是借助分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)小數(shù)。此后，因其十進(jìn)計(jì)數(shù)的特征，使得小數(shù)的運(yùn)算與整數(shù)運(yùn)算方法一脈相承，而分?jǐn)?shù)的運(yùn)算方法則與其有顯著差異。形象地說，初識(shí)小數(shù)時(shí)，它和分?jǐn)?shù)的關(guān)系十分緊密;在此后較長(zhǎng)時(shí)間的學(xué)習(xí)中，二者卻相對(duì)獨(dú)立;在“分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化”一課中它們?cè)僖淮巍懊芮薪佑|”。應(yīng)讓學(xué)生把握分?jǐn)?shù)和小數(shù)相同的本質(zhì)，進(jìn)而理解各自運(yùn)算方法的相通。通過互化，讓分?jǐn)?shù)和小數(shù)可在彼此的世界里“暢通無阻”，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算方法、運(yùn)算定律的有效推廣。

突出用對(duì)比的方法想問題——感受“異”。我們要幫助學(xué)生感受分?jǐn)?shù)和小數(shù)各有各的特點(diǎn)和價(jià)值，這種獨(dú)特性表現(xiàn)為：分?jǐn)?shù)具有簡(jiǎn)潔而精準(zhǔn)的應(yīng)用特點(diǎn)，但由于它的分?jǐn)?shù)單位可以是任意的，因此其大小不容易被感知。而小數(shù)具有應(yīng)用廣泛和近似的特點(diǎn)，且采用十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法，其大小更容易被感知。此外，分?jǐn)?shù)除了可以表示具體數(shù)量，還能夠清晰、簡(jiǎn)潔地表達(dá)兩個(gè)量之間的關(guān)系。

二、課中實(shí)踐

（一）問題引入

1.提問

師：這節(jié)課我們來研究“分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化”（板書課題），你理解“互化”這個(gè)詞的意思嗎？

生：就是互相轉(zhuǎn)化的意思。

師：你有什么問題或想法嗎？

生1：分?jǐn)?shù)和小數(shù)能不能轉(zhuǎn)化？

生2：分?jǐn)?shù)和小數(shù)怎么互化？

生3：分?jǐn)?shù)和小數(shù)為什么要互化？什么情況下互化？

2.追問

師：既然是“互化”，你能試著將第一個(gè)問題問得更具體些嗎？

生：分?jǐn)?shù)怎樣轉(zhuǎn)化為小數(shù)？小數(shù)怎樣轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)？

師：很多時(shí)候，我們思考問題、研究問題，就是要通過這樣的追問，讓問題變得更具體、更清晰。

師（小結(jié)）：前兩個(gè)問題提得很好，第三個(gè)問題提得更好。一說學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化”，大家比較容易想到“怎么互化”這種指向方法的問題，但能夠想到“為什么要互化”的同學(xué)，思考得更深刻。好問題往往是好研究的開始。這節(jié)課我們就圍繞同學(xué)們提出的這些問題展開討論。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)起于思，思起于疑。用課題引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考“學(xué)什么”和“為什么學(xué)”，這兩個(gè)問題分別指向方法和價(jià)值。教師要抓住機(jī)會(huì)培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)。

（二）探究方法

1.算一算，感受聯(lián)系

師：有一根3m長(zhǎng)的絲線，如果將它平均分成4份，每份有多長(zhǎng)呢？試著列式解決這個(gè)問題。

（生列式并匯報(bào)計(jì)算結(jié)果，根據(jù)除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系可以得到分?jǐn)?shù)結(jié)果;根據(jù)小數(shù)除法的計(jì)算方法也可以算出小數(shù)結(jié)果）

[板書：3÷4=0.75（m），3÷4=3/4（m）]

師：同一個(gè)除法算式，計(jì)算的結(jié)果既可以是個(gè)小數(shù)，還可以是個(gè)分?jǐn)?shù)。你能得出什么合理的推論嗎？

生（異口同聲）：0.75=3/4或3/4=0.75。

師（小結(jié)）：看來小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的確有密切的聯(lián)系，只有在相等的情況下才能夠相互轉(zhuǎn)化。

設(shè)計(jì)意圖：調(diào)動(dòng)已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，通過推理發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)和小數(shù)的聯(lián)系，明確“轉(zhuǎn)化”的前提是“相等”。

2.想一想，探尋方法

嘗試解決下面的問題：

（1）活動(dòng)要求：先獨(dú)立完成，再小組4人交流研究成果，最后提出問題或總結(jié)方法。

（2）作品反饋：

方法一：

師：你能看懂這名同學(xué)的方法嗎？這個(gè)方法的價(jià)值是什么？

生：將分?jǐn)?shù)和小數(shù)比較的問題轉(zhuǎn)化成了整數(shù)間的比較，這個(gè)方法很好。

方法二：

師：這種方法你能看懂嗎？這樣做的道理是什么？

生：將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，再比較兩個(gè)小數(shù)的大小。

師：他是如何將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)的？

生：用分子除以分母。

（師板書分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化小數(shù)的方法）

方法三：

師：這種做法你能看懂嗎？這樣做的道理又是什么？

生：將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再比大小。

師：你認(rèn)為在這個(gè)方法中哪個(gè)數(shù)的出現(xiàn)很關(guān)鍵？

生（異口同聲）：4 /5 。

師：怎么就想到這個(gè)分?jǐn)?shù)了呢？

生：一位小數(shù)就是十分之幾，兩位小數(shù)就是百分之幾……所以0.8就是4/5 。

師：你能試著概括一下將小數(shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)的方法嗎？

生：先根據(jù)小數(shù)部分的位數(shù)，直接寫成十分之幾、百分之幾、千分之幾……的分?jǐn)?shù)，再化簡(jiǎn)。

師（小結(jié)）：我們對(duì)小數(shù)很熟悉，豐富的經(jīng)驗(yàn)讓我們把一位小數(shù)和十分之幾、兩位小數(shù)和百分之幾、三位小數(shù)和千分之幾……之間建立起緊密的聯(lián)系?，F(xiàn)在，這些經(jīng)驗(yàn)幫助我們解決了新的問題，看來找到分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的聯(lián)系是進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵。

設(shè)計(jì)意圖：在解決問題過程中，學(xué)生充分調(diào)動(dòng)已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，將新問題轉(zhuǎn)化為舊問題。方法雖不相同，但都是先統(tǒng)一形式再進(jìn)行比較。學(xué)生通過調(diào)動(dòng)已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，探索出了分?jǐn)?shù)和小數(shù)互化的方法。

3.練一練，鞏固方法

師：經(jīng)過剛才的交流，大家對(duì)分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的互化方法有所了解。接下來，請(qǐng)按要求做一做下面兩道練習(xí)題，并分別說說方法，看看你有什么新發(fā)現(xiàn)或新問題。

1.將下面的小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。

0.70.060.125

2.將下面的分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。

31 —100 ?31 —10 11 —4 ?1 —3

學(xué)生對(duì)練習(xí)題1的反饋：

0.7=7 —10

0.06=6 —100 =3 —50

0.125=125 —1000 =1 —8

學(xué)生對(duì)練習(xí)題2的反饋：

31 —100=0.31 ? ? ? 31 —10 =3.1

11 —4 ?=1.251 ?—3 ?≈0.3

生：循環(huán)小數(shù)或無限不循環(huán)小數(shù)怎么轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)？

師：這個(gè)問題非常有價(jià)值。我們要有全面思考的意識(shí)，既然要探討分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化方法，就要將小數(shù)的各種類型都考慮到，不能只想到常見的小數(shù)類型。關(guān)于這類小數(shù)如何轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)，誰能說說自己的猜測(cè)？

生：我猜想可以一位一位地轉(zhuǎn)化，最后統(tǒng)起來。

師：你的想法很有道理，化整為零，逐位突破也許是種有效的方法?？磥泶蠹覍?duì)“無限”的情況都很好奇，就像浩瀚無垠的星空，因?yàn)椤翱床坏竭?，望不到頭”，所以總是深深地吸引著人們不斷地去發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)的無限有很多，也同樣吸引著我們?nèi)パ芯?。一?jié)課中，我們難以解決所有的問題。但這類情況卻可以引發(fā)我們深入思考。剛才總結(jié)的方法為什么不能轉(zhuǎn)化無限小數(shù)呢？難在了哪兒？

生：因?yàn)闊o限小數(shù)的小數(shù)部分有無數(shù)位，無法確定分?jǐn)?shù)的分母，也就是無法確定分?jǐn)?shù)單位。

師：可見，在將小數(shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)的時(shí)候，最關(guān)鍵的是什么？

生（齊）：確定計(jì)數(shù)單位。

師：你們真是善于透過現(xiàn)象看本質(zhì)。你們認(rèn)為分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間的互化，“化”的是什么？

生：轉(zhuǎn)化的就是計(jì)（分）數(shù)單位。

師（小結(jié)）：同學(xué)們緊緊抓住了小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系、分?jǐn)?shù)與除法的聯(lián)系，找到了二者相互轉(zhuǎn)化的方法，還理解了方法背后的道理。

設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)中涉及各種類型的分?jǐn)?shù)和小數(shù)，既鞏固基本方法，也促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考。每個(gè)數(shù)的轉(zhuǎn)化都離不開計(jì)數(shù)單位，這種認(rèn)識(shí)在無限小數(shù)面前被“放大”，學(xué)生自然而然地想到“怎么將無限小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)”。面對(duì)這個(gè)問題，理解“為什么”比習(xí)得“怎么做”更有價(jià)值，教師通過“難在了哪兒”的追問，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)概念的本質(zhì)。

（三）感受價(jià)值

師：大家通過努力找到了分?jǐn)?shù)和小數(shù)互化的方法，你們就像是分?jǐn)?shù)和小數(shù)的翻譯家。從此，分?jǐn)?shù)在小數(shù)的世界里可以“加減乘除”，小數(shù)也可以在分?jǐn)?shù)的世界中“暢通無阻”了。你們想過嗎，什么時(shí)候該互化呢？

生：不是總要互化的，只在需要的時(shí)候才互化。

師：這里有兩條信息，請(qǐng)你按下面要求做。

生：“信息一”中，1 27/50米轉(zhuǎn)化成小數(shù)是1.54米。將身高轉(zhuǎn)化成小數(shù)后，更清楚，光看分?jǐn)?shù)都不知道亮亮到底有多高，變成小數(shù)就更有感覺了。

師：就是因?yàn)樾?shù)的計(jì)數(shù)單位都是十分之幾、百分之幾、千分之幾……這樣有規(guī)律的，所以我們才會(huì)對(duì)小數(shù)有種“很熟悉”“很清楚”的感覺。那么，分?jǐn)?shù)的單位是怎樣的呢？

生1：是各種各樣的，任何非0整數(shù)都可以作分母。

生2：“信息二”中的分?jǐn)?shù)不需要化成小數(shù)，因?yàn)樯钪袥]有聽說過“0.125決賽”“0.25決賽”或“0.5決賽”，太別扭了。

生3：化成小數(shù)后也聽不出有多少人參加比賽、勝出多少了。

師：看來分?jǐn)?shù)也有自己的優(yōu)勢(shì)，它不僅能表示數(shù)量，還能清晰地表達(dá)量與量之間的關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合生活，學(xué)生在閱讀中理解數(shù)據(jù)的含義，互化后再進(jìn)行對(duì)比，感受分?jǐn)?shù)與小數(shù)各自的特點(diǎn)，以此深化對(duì)數(shù)特征的理解。

三、課后評(píng)析

隨著學(xué)生一起經(jīng)歷了心潮澎湃的課堂學(xué)習(xí)全過程后，內(nèi)心迸發(fā)出一種驚喜：枯木逢春。為何有這樣的感受呢？

課也是有生命的，用心思考、精心設(shè)計(jì)、巧妙實(shí)施，課堂就會(huì)煥發(fā)出生機(jī)。一節(jié)大家公認(rèn)“已經(jīng)沒有研究?jī)r(jià)值”的“死課”被于老師重新設(shè)計(jì)、精彩演繹，重新煥發(fā)了生命力。

（一）“枯”于技能

技能作為一種程序性知識(shí)，熟練程度更多依靠訓(xùn)練量的多少。多少年來，“分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化”一課被視為一種技能課，學(xué)生只需掌握轉(zhuǎn)化的方法即可，應(yīng)用也多局限于數(shù)學(xué)內(nèi)部的比較、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的混合運(yùn)算等。因此，教師對(duì)于此內(nèi)容的教學(xué)更多的是采取強(qiáng)化訓(xùn)練，目的是使學(xué)生熟練掌握轉(zhuǎn)化的方法。

（二）“發(fā)”于概念

概念相對(duì)于技能的內(nèi)涵更加豐富，概念需要建立、理解、運(yùn)用，需要從內(nèi)涵和外延的角度全方位建立概念系統(tǒng)。就像于老師在“課前思考”中提到的，小數(shù)和分?jǐn)?shù)通過互化，可以在彼此的世界里“暢通無阻”。這樣的思考將教學(xué)的重點(diǎn)引向?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)和小數(shù)的本質(zhì)的關(guān)注，看似是在研究方法，本質(zhì)是在促進(jìn)學(xué)生對(duì)兩種數(shù)的深刻理解和認(rèn)識(shí)。此時(shí)，互化變成打通兩數(shù)世界的橋梁。

（三）“長(zhǎng)”于價(jià)值

學(xué)生有時(shí) “十分可愛”，那就是教師講什么就聽什么、讓做什么就做什么。他們內(nèi)心真的滿足了嗎？未必！關(guān)于分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化，他們的內(nèi)心始終有這樣一個(gè)疑問：分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化就是為了比較大小和計(jì)算嗎？不光學(xué)生有這樣的疑問，教師內(nèi)心深處也會(huì)有這樣的疑問存在。于老師關(guān)注到了、想到了，關(guān)鍵是努力解決了。課結(jié)尾的活動(dòng)，真正讓學(xué)生感受到分?jǐn)?shù)和小數(shù)互化的價(jià)值。課到此，眼前猶如看到了一棵樹的根不斷扎向泥土深處，正在發(fā)芽、結(jié)果，這不就是我們想要的課堂嗎？

枯木逢春，希望有越來越多的課煥發(fā)出青春，讓學(xué)生在茂密的數(shù)學(xué)森林中漫步、尋根、賞花、摘果！