基于VMD 的廣義二次互相關(guān)時延估計方法

李 宏田 雷路敬祎劉慶強

(東北石油大學(xué)a.電氣信息工程學(xué)院;b.人工智能能源研究院;c.黑龍江省網(wǎng)絡(luò)化重點實驗室,黑龍江 大慶 163318)

0 引 言

時間延遲作為信號特征的一個重要參數(shù),隨著信號處理技術(shù)的飛速發(fā)展,時延估計算法逐漸成為眾多學(xué)者的研究熱點[1]。無論是油氣管道泄漏點的定位、衛(wèi)星干擾源定位,還是麥克風(fēng)陣列對語音信號的定位,時延估計都是一個必不可少的核心問題[2]。

目前,在眾多時延估計算法中使用最廣泛的算法是廣義互相關(guān)時延估計,但該方法在噪聲環(huán)境中性能會大幅降低[3],許多學(xué)者也正在針對此問題進行改進。唐娟等[4]提出的二次相關(guān)法具有一定的噪聲抑制作用,略微提高了估計性能。周康輝等[5]提出的廣義二次相關(guān)法對于低信噪比的條件下做了部分改進。殷恒剛[6]將小波變換與二次相關(guān)相結(jié)合,增強了時延估計的抗噪性能。錢隆彥等[7]改進的廣義二次相關(guān)法和茅惠達等[8]結(jié)合相關(guān)峰精確插值改進的廣義互相關(guān)法可以改善估計性能,提高估計精度。魏文亮等[9]將奇異值分解與互相關(guān)時延估計相結(jié)合,改善了低信噪比下的時延估計性能。變分模態(tài)分解能有效地將含噪信號中的噪聲分量與有效分量分離,依據(jù)豪斯多夫距離能篩選出有效分量并重構(gòu)信號,完成信號去噪。

結(jié)合變分模態(tài)分解與廣義二次互相關(guān)時延估計算法的特點,筆者提出一種基于VMD(Variational Mode Decomposition)的廣義二次互相關(guān)時延估計算法,實驗表明其可以有效提高時延估計性能和精度,具有良好的抗噪性能[10]。

1 VMD降噪

1.1 基本原理

變分模態(tài)分解(VMD)可以有效地分離有效模態(tài)和噪聲模態(tài)。假設(shè)輸入信號為x(t),VMD將x(t)分解成K個本征模態(tài)函數(shù)(fBLIMFs),這K個模態(tài)可以復(fù)現(xiàn)原始輸入信號。公式如下

其中m為低頻分量的個數(shù),K為經(jīng)VMD分解后的fBLIMF數(shù)量,γ(t)為殘余分量。因為VMD分解的分量是從低頻向高頻分布的,所以fBLIMF1到fBLIMFm為低頻有效分量,而fBLIMFm+1到fBLIMFk為高頻噪聲分量[11]。由此可得與輸入信號相似的信號為

如何準(zhǔn)確地判斷從低頻到高頻的轉(zhuǎn)折點成為能否得到最優(yōu)重構(gòu)信號的關(guān)鍵。

1.2 豪斯多夫距離

豪斯多夫距離(HD:Hausdorff Distance,DHD)作為一個非線性算子,不僅適用于評價幾何圖形之間的相似性,也可以將其用于建立概率密度函數(shù)(PDF:Probability Density Function)幾何分布之間的相似性評價指標(biāo)[12]。用P和Q表示兩個點集,定義如下

HD對異常值非常敏感,通過計算K個分量與原信號的概率密度函數(shù)之間的Hausdorff距離,以此距離表示分量與原信號的相似程度,定義其為

1.3 VMD-HD降噪方法

x(t)經(jīng)過變分模態(tài)分解成K個fBLIMF,然后根據(jù)豪斯多夫距離判斷有效模態(tài)和噪聲模態(tài)的分界點。HD是通過計算出兩個fBLIMF之間的增量判別與原信號的相關(guān)性是否降低。當(dāng)增量明顯變大時,說明這個fBLMF與原信號的相關(guān)程度降低,定義最大增量為

由此,結(jié)合VMD和HD可以進行信號的分解和重構(gòu),以達到去噪目的[13]。

2 廣義二次互相關(guān)方法

廣義互相關(guān)時延估計方法(GCC:Generalized Cross-Correlation)是實際應(yīng)用中使用最廣泛的一種方法[14]。在GCC方法中,可利用加權(quán)函數(shù)提高信號的有效成分,通過計算兩路信號的互相關(guān)函數(shù)獲取峰值,從而得到時延值。假設(shè)接收信號模型為

其中s(t)為源信號,而x1(t)和x2(t)為傳感器接收的兩路加噪信號;n1(t)和n2(t)為加入兩路信號的噪聲;信號的時延值為為信號幅度比值。廣義互相關(guān)時延估計的基本原理如下

其中Rss(τ-D)為信源信號做二次互相關(guān),Rn1n2(τ)為噪聲做二次互相關(guān)[15],R12(τ)為x1(t)和x2(t)的互相關(guān)函數(shù);理想情況下,噪聲是獨立于信源信號的平穩(wěn)不相關(guān)的高斯白噪聲,則Rn1s(τ-D)=0,Rn1n2(τ)=0,Rsn2(τ)=0,因此可以得到R12(τ)=λRss(τ-D)。由自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可得,當(dāng)τ=D時,R12(τ)取最大值,即對應(yīng)為兩路信號的時延值。

廣義二次互相關(guān)方法(GSCC:Generalized Second Cross-Correlation)是首先對x1(t)進行自相關(guān)運算,得到自相關(guān)函數(shù),同時對x1(t)和x2(t)進行互相關(guān)運算,得到互相關(guān)函數(shù),然后將得到的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)再進行互相關(guān)運算,得到二次相關(guān)函數(shù)值。同時將二次相關(guān)函數(shù)值與廣義加權(quán)函數(shù)相乘,得到廣義二次相關(guān)函數(shù),最后進行時延估計,得到時延估計值。設(shè)x1(t)的自相關(guān)函數(shù)為R11(τ),二次相關(guān)函數(shù)為RRR(τ),則

假設(shè)忽略信號與噪聲之間的相關(guān)性,聯(lián)立式(10)~式(12)即可得到

與互相關(guān)相同,當(dāng)τ=D時,RRR(τ)取最大值,得到時延值。

廣義互相關(guān)方法把已經(jīng)得到的互相關(guān)函數(shù)轉(zhuǎn)換到頻域,對其頻譜進行加權(quán)處理,以此抑制噪聲的影響,再經(jīng)過反變換到時域,得到廣義互相關(guān)函數(shù)

其中φ12(ω)為頻域上的加權(quán)函數(shù),Gx1x2(ω)為接收信號的互功率譜。

筆者使用的加權(quán)函數(shù)為平滑相干變換(SCOT:Smoothed Coherence Transform)函數(shù),即利用平滑相干加權(quán)函數(shù)先對信號做預(yù)白化處理,再計算其互功率譜,在低信噪比情況下,SCOT法能有效解決由于信號波動對時延估計的影響[16]。SCOT函數(shù)如下

3 VMD-HD-GSCC算法

筆者提出的算法首先對接收信號經(jīng)過VMD分解成K個模態(tài)分量,然后計算K個模態(tài)分量與原始信號的概率密度函數(shù)之間的豪斯多夫距離,利用豪斯多夫距離表示分量與原始信號之間的相似度,將HD增量最大的兩個相鄰模態(tài)分量作為突變點,突變點之前則為有效信號分量,其后則為噪聲分量,以此進行信號重構(gòu),從而達到對信號進行去噪的目的,同時能較好地保持信號原有信息。將經(jīng)過VMD處理后的信號作為新的信號,對其進行二次相關(guān)運算,得到二次相關(guān)函數(shù),然后將其與SCOT函數(shù)相乘,能得到增強尖峰后的廣義二次相關(guān)函數(shù),最后進行峰值檢測,獲得時延估計值。流程圖如圖1所示。

圖1 VMD-HD-GSCC算法流程圖Fig.1 VMD-HD-GSCC algorithm flow chart

4 仿真實驗與分析

實驗采用的仿真信號為正弦信號x1(t),以及其延遲信號x2(t),信號幅度為5,采樣頻率Fs=1 kHz,采樣點數(shù)N=1 024。假設(shè)兩路信號延遲時間D=5 ms,即50個時間間隔,噪聲是平穩(wěn)高斯白噪聲。兩路信號的信噪比(SNR:Signal-Noise Ratio,RSNR)分別為RSNR1和RSNR2。假設(shè)噪聲和信號之間,信號與信號之間無關(guān)。

實驗分別對廣義二次互相關(guān)時延估計算法(GSCC)、小波去噪結(jié)合廣義二次互相關(guān)方法(WT-GSCC)和筆者提出算法—— 基于VMD分解的廣義二次互相關(guān)時延估計算法(VMD-HD-GSCC)進行了仿真分析。對3種算法在信噪比于10 dB~-10 dB之間變化進行了實驗,對比時延估計精度,實驗結(jié)果如圖2~圖4所示。

圖2 R SNR=10 dB時3種算法的時延估計Fig.2 Time delay estimation of three algorithms when R SNR=10 dB

圖3 R SNR=0時3種算法的時延估計仿真Fig.3 Time delay estimation of three algorithms when R SNR=0

如圖2~圖4所示,當(dāng)RSNR=10 dB時,3種算法都具有良好的估計性能,相關(guān)函數(shù)峰值明顯,時延估計值分別為49 ms,50 ms,50 ms,獲得了準(zhǔn)確的時延差值。當(dāng)RSNR=0 dB時,3種算法的時延估計性能均不同程度受到了噪聲影響,互相關(guān)函數(shù)的峰值也受到較大影響,時延估計值分別為52 ms,51 ms,51 ms。GSCC法在此時的時延估計圖已經(jīng)出現(xiàn)了較為嚴(yán)重的噪聲,對估計的精度有一定影響。但相對WT-GSCC法和VMD-HD-GSCC法受到噪聲的影響較小,并且還能穩(wěn)定的估計出時延差值。當(dāng)RSNR=-10 dB時,3種算法的時延估計性能都受到了較大影響,時延估計值分別為57 ms,47 ms,48 ms?？梢钥吹?GSCC法的相關(guān)函數(shù)已經(jīng)出現(xiàn)了多個相近峰值,噪聲干擾過大,對時延估計的影響非常大,造成了較大的偏差,無法計算出合理的時延估計值。而WT-GSCC法和VMD-HD-GSCC法仍然保持良好的時延估計性能。

圖4 R SNR=-10 dB時3種算法的時延估計仿真Fig.4 Time delay estimation of three algorithms when R SNR=-10 dB

對WT-GSCC法和VMD-HD-GSCC法隨機進行信噪比為-10 dB對比試驗,并對其結(jié)果進行局部放大,如圖5所示,由于WT-GSCC法出現(xiàn)了多個相近峰值造成估計誤差偏大,而VMD-HD-GSCC法出現(xiàn)的峰值尖銳且明顯,時延估計的精度更高。

圖5 WT-GSCC與VMD-HD-GSCC局部放大圖Fig.5 Local enlarged view of WT-GSCC and VMD-HD-GSCC

隨著噪聲的不斷增加,GSCC法時延估計性能逐漸減弱,時延估計精度不斷降低。然而筆者提出的VMD-HD-GSCC法能保留良好的時延估計性能,而且大大改善了GSCC法在低信噪比下出現(xiàn)多個峰值的情況,在峰值附近有效消除了噪聲干擾,提高了時延估計精度。

對以上3種時延估計算法分別進行N=30次的仿真實驗,使用均方根誤差(RMSE:Root Mean Square Error,ERMSE)作為評價指標(biāo)評判各算法的時延估計性能,結(jié)果如圖6所示。均方根誤差定義式如下

圖6 3種算法的性能對比Fig.6 Performance comparison of three algorithms

其中τi為預(yù)設(shè)時延估計值,τ為時延真實值。

當(dāng)信噪比大于5 dB時,3種算法的估計性能相差不大,VMD-HD-GSCC法的時延估計性能略好于GSCC法和WT-GSCC法。當(dāng)信噪比降低到5 dB以下時,GSCC法的性能明顯變差,在信噪比為0時,WT-GSCC法的RMSE隨著信噪比的降低而增大,而VMD-HD-GSCC法變化則較為緩慢,與其他兩種算法相比證明其具有精確的時延估計精度以及良好的抗噪性能。

5 結(jié) 語

筆者提出的基于變分模態(tài)分解結(jié)合廣義二次互相關(guān)時延估計算法,首先應(yīng)用VMD方法能通過分離含噪信號中的噪聲部分的特點,結(jié)合豪斯多夫距離優(yōu)選模態(tài)并進行信號重構(gòu),實現(xiàn)了信號的預(yù)先去噪。然后將處理后的信號進行二次相關(guān)運算,將二次互相關(guān)函數(shù)與SCOT加權(quán)函數(shù)相乘,最后檢測峰值得到時延估計值。

通過對3種算法在不同信噪比下的仿真實驗,證明筆者算法具有良好的時延估計性能和抗噪性能,較好地保證了時延估計精度,具有廣泛的應(yīng)用前景。