扭擺式MEMS電容加速度計動態(tài)性能分析

齊志華,張志勇

（中國電子科技集團(tuán)公司第十三研究所，石家莊 050051)

1 引言

MEMS（Micro-Electro-Mechanical Systems）傳感器具有體積小、集成度高、成本低、性能優(yōu)異、穩(wěn)定性好、可靠性高等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車導(dǎo)航、消費(fèi)電子、工業(yè)控制等諸多領(lǐng)域[1]。常見的MEMS 傳感器包括加速度計、麥克風(fēng)、壓力傳感器、陀螺儀、微馬達(dá)等類型，其中MEMS 加速度計是最典型和成功的應(yīng)用之一。MEMS 加速度計根據(jù)不同的工作原理可以分為電容式、壓阻式、壓電式、諧振式和伺服式等類型，其中MEMS 電容式加速度計的結(jié)構(gòu)原理簡單，加工工藝與IC 集成電路加工工藝兼容，集成度高，易于實現(xiàn)批量生產(chǎn)，成為應(yīng)用最廣泛的加速度計傳感器之一。

系統(tǒng)的動態(tài)性能是衡量加速度計性能的重要指標(biāo)，而系統(tǒng)阻尼是影響動態(tài)性能的主要參數(shù)，如何準(zhǔn)確分析加速度計的阻尼特性和動態(tài)性能，成為加速度計設(shè)計的難點。Langlois、Bao、Pan 和Li 等[2-7]對扭擺式微平板諧振器的阻尼特性進(jìn)行了分析，研究成果顯著。本研究是在已有研究的基礎(chǔ)上，針對扭擺式MEMS 電容加速度計，對其系統(tǒng)的阻尼特性和動態(tài)性能進(jìn)行進(jìn)一步研究和分析。

2 工作原理

扭擺式MEMS 電容加速度計主要由MEMS 敏感結(jié)構(gòu)和ASIC 電路組成。當(dāng)系統(tǒng)接收到加速度輸入時，受慣性力矩的作用，敏感結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生一定的轉(zhuǎn)動位移。轉(zhuǎn)動位移的變化被轉(zhuǎn)換為電容的變化量。ASIC 電路通過檢測和處理電容變化信號，最終得到能表征加速度信號大小的輸出信號，實現(xiàn)加速度信號的檢測。扭擺式MEMS 電容加速度計可以等效為轉(zhuǎn)動慣量-扭簧-阻尼系統(tǒng)，如圖1 所示。其中：J表示轉(zhuǎn)動慣量，C表示粘性阻尼系數(shù)，k表示扭轉(zhuǎn)彈簧剛度，θ表示轉(zhuǎn)角。

圖1 扭擺式MEMS 電容加速度計原理圖

根據(jù)牛頓第二定律可知，在加速度載荷的作用下，由于慣性力矩的作用，敏感結(jié)構(gòu)將繞定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)角θ(t)滿足動力學(xué)方程[8]：

式中，Ka表示扭轉(zhuǎn)系數(shù)，a(t)表示輸入加速度，對上式進(jìn)行Laplace 變化，可得到a(t)與θ(t)的傳遞函數(shù)：

式中，s為拉氏變換的復(fù)變量，設(shè)該加速度計的無阻尼固有頻率為，阻尼比為，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為：

從式(3)可見，系統(tǒng)的動態(tài)特性與阻尼比ξ、無阻尼固有頻率ωn、轉(zhuǎn)動慣量J和扭轉(zhuǎn)系數(shù)Ka有關(guān)；而阻尼比ξ由阻尼系數(shù)C、結(jié)構(gòu)剛度k和轉(zhuǎn)動慣量J決定；無阻尼固有頻率ωn由結(jié)構(gòu)剛度k和轉(zhuǎn)動慣量J決定，由此可知，要分析扭擺式MEMS 電容加速度計的動態(tài)性能，需要知道C、k、J和Ka四個系統(tǒng)參數(shù)。

3 理論分析

扭擺式MEMS 電容加速度計的結(jié)構(gòu)簡圖如圖2所示，它主要由檢測質(zhì)量，彈性梁、固定端和檢測電極組成。檢測質(zhì)量通過彈性梁連接到固定端，固定端固定于基板上，實現(xiàn)整個檢測結(jié)構(gòu)的懸掛。

圖2 扭擺式MEMS 電容加速度計結(jié)構(gòu)簡圖

圖中，Lx和Ly分別表示檢測質(zhì)量的長度和寬度；l表示轉(zhuǎn)軸到檢測結(jié)構(gòu)中心的距離；Tp表示結(jié)構(gòu)厚度，g0表示檢測質(zhì)量與基板的間隙（即薄膜氣體厚度）。當(dāng)敏感方向有加速度輸入時，在慣性力矩的作用下，檢測質(zhì)量會繞定軸轉(zhuǎn)動，在基板上的檢測電極與敏感質(zhì)量之間形成差分電容，ASIC 電路通過檢測和處理差分電容信號最終得到輸入的加速度信號。

扭擺式MEMS 電容加速度計的彈性梁可以簡化為如圖3 所示的形式。彈性梁的一端連接到固定端，另一端連接到檢測質(zhì)量。設(shè)彈性梁的長度為L，寬度為ww，高度為h，當(dāng)檢測質(zhì)量發(fā)生扭轉(zhuǎn)運(yùn)動時，彈性梁將發(fā)生扭轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)角為θ。

圖3 扭轉(zhuǎn)彈性梁簡化模型結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)材料力學(xué)原理，彈性梁提供的扭轉(zhuǎn)剛度為：

式中，G表示材料的剪切彈性模量?？梢姡まD(zhuǎn)剛度k與彈性梁寬度ww的三次方成正比，因此很容易通過調(diào)整彈性梁的寬度來獲得期望的扭轉(zhuǎn)剛度值。

根據(jù)動力學(xué)原理，質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量表示為：

式中，mo表示質(zhì)點質(zhì)量；r表示質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。從圖2(a)可見，若將檢測質(zhì)量看作是無數(shù)個質(zhì)點的集合，則檢測質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量可以表示為：

式中，ρ表示材料的密度，式(6)可以進(jìn)一步簡化為：

從式(7)可見，檢測質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量僅和其特征尺寸、材料屬性和轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)，與結(jié)構(gòu)剛度和轉(zhuǎn)動角度無關(guān)。

扭轉(zhuǎn)系數(shù)Ka表征了系統(tǒng)的擺動屬性，公式為：

式中，m表示結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量，rc表示檢測質(zhì)量的質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的垂直距離，rc=l。

系統(tǒng)阻尼是決定加速度計動態(tài)性能的重要參數(shù)，阻尼效應(yīng)的強(qiáng)弱會影響器件的工作帶寬、帶內(nèi)平坦度、品質(zhì)因數(shù)及機(jī)械噪聲等性能參數(shù)。扭擺式MEMS 電容加速度計的阻尼主要來源于材料內(nèi)部的結(jié)構(gòu)阻尼和氣體粘性阻尼。通常情況下結(jié)構(gòu)阻尼比氣體粘性阻尼低幾個數(shù)量級，可忽略不計。氣體粘性阻尼分為滑膜阻尼（Side Film Damping）和壓膜阻尼（Squeeze Film Damping），各自對應(yīng)的平板運(yùn)動情況如圖4 所示。

圖4 平板運(yùn)動示意圖

由于敏感結(jié)構(gòu)和基板間存在薄膜氣體，當(dāng)敏感結(jié)構(gòu)平行于基板運(yùn)動時，敏感結(jié)構(gòu)將帶動間隙中的氣體運(yùn)動，氣體對敏感結(jié)構(gòu)的反作用力即為滑膜阻尼；當(dāng)敏感結(jié)構(gòu)垂直于基板運(yùn)動時，間隙中的氣體受到擠壓發(fā)生水平運(yùn)動，氣體對擠壓產(chǎn)生的反作用力即為壓膜阻尼。對于扭擺式MEMS 電容加速度計，當(dāng)有加速度輸入時，其工作形式為繞定軸的扭轉(zhuǎn)運(yùn)動，系統(tǒng)的壓膜阻尼遠(yuǎn)大于滑膜阻尼，由此，在此處僅需考慮壓膜阻尼對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。

根據(jù)Bao 等人的研究，間隙氣體的控制方程可以用Reynolds 方程表示：

式中，p(x,y,t)=pa垣Δp，表示結(jié)構(gòu)與基板間的氣體薄膜壓強(qiáng)，pa表示氣體壓強(qiáng)，Δp表示壓強(qiáng)的變化量；μ表示氣體的運(yùn)動黏度；h(t)=g0垣xθejwt，表示間隙中氣體薄膜厚度；θ表示結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)角度。對控制方程進(jìn)行線性處理后，利用雙正弦三角級數(shù)近似表達(dá)氣體薄膜的壓力分布函數(shù)p(x,y,t)，可以得到擠壓模氣體對矩形板的總力矩[6]：

式中，α2=，μeff表示氣體的等效粘度系數(shù)?？偭氐膶嵅縏spring=，表示氣體對結(jié)構(gòu)的剛度力矩；總力矩的虛部Tdamping=，表示氣體對結(jié)構(gòu)的阻尼力矩。具體表達(dá)式分別為：

式中，m=1,2,3…；n=1,3,5…。由于剛度系數(shù)和剛度力矩，阻尼系數(shù)和阻尼力矩存在如下關(guān)系：

至此，即可以得到剛度系數(shù)Kθ和阻尼系數(shù)Cθ的表達(dá)式：

其中，σ=ωαLx2。

4 動態(tài)性能

給定一組扭擺式MEMS 電容加速度計的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1 所示。

表1 扭擺式MEMS 電容加速度計結(jié)構(gòu)參數(shù)

根據(jù)式(4)、(7)、(8)，可以計算得到結(jié)構(gòu)剛度k=33228 μN(yùn)/μm，轉(zhuǎn)動慣量J=0.00328 kg·μm2，扭轉(zhuǎn)系數(shù)Ka=6.2288×10-7kg·μm。

從式(15)、(16)可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)和材料屬性一定時，薄膜氣體的剛度系數(shù)Kθ和阻尼系數(shù)Cθ主要由氣體壓強(qiáng)Pa和薄膜氣體厚度g0共同決定。加速度計若采用常壓封裝，即氣體壓強(qiáng)為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓（101325Pa），則剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)隨扭轉(zhuǎn)振動頻率的變化關(guān)系如圖5 和圖6 所示。

圖5 剛度系數(shù)Kθ 與振動頻率ω 關(guān)系曲線

圖6 阻尼系數(shù)Cθ 與振動頻率ω 關(guān)系曲線

從圖5 和圖6 可以看出，隨著扭轉(zhuǎn)振動頻率的增大，薄膜氣體的剛度系數(shù)增大，阻尼系數(shù)減小，當(dāng)振動頻率在104～106rad/s 范圍時，剛度系數(shù)急劇增大，阻尼系數(shù)急劇減小。因此，在低頻條件下氣體對結(jié)構(gòu)的反作用力主要表現(xiàn)為阻尼效應(yīng)，在高頻條件下則主要表現(xiàn)為剛度效應(yīng)。由于開環(huán)扭擺式加速度計通常工作在低頻區(qū)，因此氣體的阻尼效應(yīng)成為影響系統(tǒng)動態(tài)性能的主要因素。

當(dāng)氣體壓強(qiáng)為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓時，扭擺式加速度計的頻率響應(yīng)如圖7 所示。從圖中可以看出，當(dāng)氣體壓強(qiáng)為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓時，扭擺式MEMS 電容加速度計由于擠壓模阻尼過大，使得傳感器的二階系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)的帶寬（-3 dB）最大約為128 Hz，很明顯這是不希望看到的。因此，在加速度計設(shè)計時常采用真空封裝或者加工阻尼孔的方式來調(diào)整系統(tǒng)的動態(tài)特性。

圖7 標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線

若采用真空封裝或加工阻尼孔后等效氣體壓強(qiáng)為100Pa，則可得到傳感器的幅頻特性如圖8 所示。

圖8 氣體壓強(qiáng)為100 Pa 時系統(tǒng)頻響曲線

可以看出，通過改變氣體壓強(qiáng)Pa和薄膜氣體厚度g0，容易調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動態(tài)特性。根據(jù)自動控制理論可知，當(dāng)系統(tǒng)阻尼比為ξ=時，系統(tǒng)有最佳的動態(tài)性能。若氣體壓強(qiáng)為100Pa，通過計算可以得到系統(tǒng)動態(tài)性能最佳時，結(jié)構(gòu)與基板的間隙為1.15μm（薄膜氣體厚度），此時系統(tǒng)的幅頻特性曲線和單位階躍響應(yīng)曲線如圖9 所示。此時系統(tǒng)的帶寬（-3dB）為1598Hz。

圖9 氣體壓強(qiáng)為100Pa 時系統(tǒng)幅頻特性與階躍響應(yīng)

至此，基于上述分析結(jié)論，即可對扭擺式MEMS電容加速度計的動態(tài)性能進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，進(jìn)而合理設(shè)計系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式和尺寸參數(shù)，最終得到綜合性能較好的加速度計。

5 結(jié) 束 語

通過對扭擺式MEMS 電容加速度計建立特征模型，對其工作原理和動態(tài)性能進(jìn)行研究分析，推導(dǎo)出了特征模型的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，給出了系統(tǒng)模型的結(jié)構(gòu)剛度、轉(zhuǎn)動慣量、扭轉(zhuǎn)系數(shù)和阻尼系數(shù)的解析公式。在理論計算基礎(chǔ)上仿真了系統(tǒng)阻尼特性的影響因素，確定了氣體壓強(qiáng)和氣體薄膜厚度是最重要的影響因素。通過一組給定的結(jié)構(gòu)參數(shù)，深入研究了系統(tǒng)阻尼特性對動態(tài)性能的影響。研究結(jié)論對于扭擺式MEMS 電容加速度計的動態(tài)性能設(shè)計具有非常重要的參考意義。