基于耦合振動(dòng)的高速磁浮軌道梁橫向剛度研究

王淼 宋振森 滕念管

1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240；2.上海市公共建筑和基礎(chǔ)設(shè)施數(shù)字化運(yùn)維重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200240

開(kāi)發(fā)時(shí)速600以上的高速磁浮軌道交通系統(tǒng)可為中長(zhǎng)距離旅客運(yùn)輸提供安全、舒適、高速的交通方式。該系統(tǒng)中土建部分占總造價(jià)的60%～80%［1-2］。由于線(xiàn)路設(shè)計(jì)中多采用以橋代路的方案，磁浮列車(chē)與軌道梁在軌道不平順及風(fēng)荷載作用下會(huì)產(chǎn)生橫向耦合振動(dòng)，若軌道梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)不合理則可能產(chǎn)生較大的振動(dòng)或共振，導(dǎo)致功能件損傷、混凝土開(kāi)裂，危及系統(tǒng)安全性。因此，有必要建立車(chē)橋橫向耦合振動(dòng)模型，研究軌道梁截面參數(shù)對(duì)系統(tǒng)橫向動(dòng)力性能的影響。

高速磁浮列車(chē)采用自動(dòng)控制器對(duì)磁浮力進(jìn)行反饋控制，將懸浮、導(dǎo)向磁浮間隙控制在（10±2）mm內(nèi)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)列車(chē)的懸浮與導(dǎo)向。文獻(xiàn)［3］建立了考慮控制系統(tǒng)的車(chē)-連續(xù)梁豎向耦合振動(dòng)模型，指出軌道梁加速度是結(jié)構(gòu)的主要控制因素之一。文獻(xiàn)［4］通過(guò)豎向耦合振動(dòng)數(shù)值模擬，指出軌道梁撓度比對(duì)磁浮間隙有決定性影響。文獻(xiàn)［5］基于模型修正法進(jìn)行了豎向耦合振動(dòng)分析，研究表明軌道不平順對(duì)系統(tǒng)加速度響應(yīng)有重要影響。文獻(xiàn)［6］在Simpack上建立了車(chē)輛的橫向振動(dòng)模型，重點(diǎn)關(guān)注了車(chē)輛動(dòng)力特性，表明高速磁浮橫向、豎向振動(dòng)是弱耦合的。目前，關(guān)于磁浮振動(dòng)的研究主要側(cè)重于豎向耦合振動(dòng)，而對(duì)系統(tǒng)的橫向耦合振動(dòng)則關(guān)注較少。

TB 10630—2019《磁浮鐵路技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)（試行）》規(guī)定當(dāng)軌道梁的豎向一階自振頻率大于1.1倍車(chē)速與跨度之比時(shí)，可不進(jìn)行車(chē)橋耦合動(dòng)力響應(yīng)分析，但未對(duì)軌道梁的橫向動(dòng)力性能做出要求。因此，若提高設(shè)計(jì)時(shí)速，須相應(yīng)增加軌道梁的一階豎向自振頻率。當(dāng)軌道梁長(zhǎng)度一定時(shí)，自振頻率與剛度正相關(guān)、與單位長(zhǎng)度質(zhì)量負(fù)相關(guān)［7］。針對(duì)與時(shí)速600磁浮配套的軌道梁結(jié)構(gòu)，較為經(jīng)濟(jì)的設(shè)計(jì)思路是基于上海磁浮軌道梁截面形式，保持截面面積一定，通過(guò)對(duì)截面進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)而提高豎向自振頻率，即“面積不變、增加高度”的優(yōu)化方式，但這種方式會(huì)導(dǎo)致軌道梁的橫向剛度降低，對(duì)系統(tǒng)橫向動(dòng)力學(xué)性能產(chǎn)生不利影響。因此，本文針對(duì)這一問(wèn)題，通過(guò)耦合振動(dòng)分析，探究橫向剛度降低后系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律，明確軌道梁橫向剛度對(duì)高速磁浮橫向動(dòng)力學(xué)性能的影響。

1 車(chē)橋耦合振動(dòng)模型

1.1 模型概述

高速磁浮列車(chē)具有橫向、豎向振動(dòng)弱耦合的特點(diǎn)［6］，其走行部設(shè)有防側(cè)滾穩(wěn)定裝置，與空氣彈簧提供的抗側(cè)滾剛度共同作用來(lái)防止車(chē)體過(guò)大的側(cè)滾運(yùn)動(dòng)［8］。在列車(chē)走行部中，分別設(shè)有獨(dú)立的懸浮和導(dǎo)向電磁鐵提供車(chē)輛的懸浮、導(dǎo)向力。在二系懸掛中，由擺桿提供橫向剛度，由空氣彈簧提供豎向剛度。

磁浮列車(chē)-軌道梁耦合系統(tǒng)的激振因素主要有軌道不平順、側(cè)向風(fēng)荷載、列車(chē)偏載等。本文主要分析軌道梁橫向剛度參數(shù)的影響，因此以橫向軌道不平順和風(fēng)致橫向荷載為激振源進(jìn)行研究。

將車(chē)體、懸浮架和導(dǎo)向電磁鐵視為剛體，并考慮水平方向的橫移、擺頭運(yùn)動(dòng)。5節(jié)編組的列車(chē)共有246個(gè)自由度，按qV1～qV246編號(hào)。為便于區(qū)分，奇數(shù)為橫移自由度，偶數(shù)為擺頭自由度。采用彈簧阻尼器模擬擺桿及橡膠彈簧的橫向回復(fù)力；基于比例-微分（Proportion Differentiation，PD）控制算法模擬電磁力，橫向磁浮間隙控制在10 mm，并將振動(dòng)幅值控制在2 mm以下。橫向耦合振動(dòng)計(jì)算簡(jiǎn)圖見(jiàn)圖1。

圖1 橫向耦合振動(dòng)計(jì)算簡(jiǎn)圖

軌道梁（圖2）在移動(dòng)的水平、豎向電磁力作用下產(chǎn)生振動(dòng)，磁浮列車(chē)則在二者的作用下實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的導(dǎo)向與懸浮。在列車(chē)運(yùn)行中，軌道不平順對(duì)磁浮間隙造成擾動(dòng)，為了穩(wěn)定磁浮間隙，電磁鐵與軌道間的控制器產(chǎn)生了電磁力，并作用于列車(chē)與軌道梁，使二者產(chǎn)生振動(dòng)，加劇了磁浮間隙波動(dòng)，因此磁浮列車(chē)與軌道梁是一個(gè)耦合系統(tǒng)。豎向磁浮力提供列車(chē)的懸浮力，與列車(chē)自重平衡；水平橫向電磁力提供導(dǎo)向力，僅在磁浮間隙受到擾動(dòng)時(shí)產(chǎn)生。軌道梁采用閉口截面形式，且支座提供較大的抗扭剛度，因此軌道梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值較小，軌道梁具有橫向、豎向振動(dòng)弱耦合的性質(zhì)。為充分反映橫向不平順的隨機(jī)性，綜合考慮模型準(zhǔn)確性與計(jì)算效率，建立了5列編組列車(chē)與40跨簡(jiǎn)支軌道梁的橫向耦合振動(dòng)模型進(jìn)行數(shù)值研究。

圖2 軌道梁

1.2 耦合振動(dòng)方程組

基于多剛體動(dòng)力學(xué)，磁浮車(chē)輛的振動(dòng)微分方程組可表示為矩陣形式，即

式中：MV為梁質(zhì)量矩陣；qV為廣義自由度列向量，是求解對(duì)象；CV為阻尼矩陣；KV為剛度矩陣；FV為廣義力列向量，是磁浮力fmi的函數(shù)。

將軌道梁視為Euler-Bernoulli梁，基于模態(tài)疊加法考慮軌道梁前6階模態(tài)，其振動(dòng)微分方程為

式中：k為軌道梁編號(hào)，取1～40；j為模態(tài)編號(hào)，取1～6；Mj為廣義質(zhì)量；Cj為廣義阻尼；Kj為廣義剛度；Tk為廣義自由度，是求解對(duì)象；Fk(t)為廣義力。

Fk(t)的表達(dá)式為

式中：fmi為第i個(gè)磁浮力，在每個(gè)電磁鐵的三等分處布置1個(gè)集中荷載，共布置156個(gè)集中荷載模擬均布電磁力；v為車(chē)速；t為時(shí)間；tki為第i個(gè)磁浮力開(kāi)始進(jìn)入第k跨梁的時(shí)間；L為軌道梁跨度；H（·）為單位階躍函數(shù)。

假設(shè)控制器的時(shí)滯滿(mǎn)足穩(wěn)定性要求，則PD控制算法的電磁力表達(dá)式為

式中：kp、kd分別為比例系數(shù)和微分系數(shù)；ei(t)為第i個(gè)磁浮力所在位置的磁浮間隙。

ei(t)為電磁鐵位移[qj(t)+li qk(t)]、軌道梁位移di(t)和軌道不平順yri(t)的代數(shù)和，即

式中：li為第i個(gè)電磁力對(duì)其所在電磁鐵質(zhì)心的力臂；qj(t)、qk(t)分別為該電磁鐵的平移、擺頭自由度。

軌道梁位移di(t)可表示為

由于高速磁浮開(kāi)通里程較少，未見(jiàn)相關(guān)的幾何不平順譜文獻(xiàn)，故參考我國(guó)高速鐵路不平順譜中的軌距不平順和方向不平順譜，采用三角級(jí)數(shù)法［10］進(jìn)行時(shí)域反演，得到橫向軌道不平順，見(jiàn)圖3。

圖3 橫向軌道不平順

將（4）式分別代入式（1）和式（2）消去fmi，則式（1）、式（2）、式（5）構(gòu)成基于PD控制算法的列車(chē)-柔性軌道梁微分-代數(shù)方程組，指標(biāo)為1，其中式（5）為代數(shù)方程。引入狀態(tài)變量后可寫(xiě)為如下形式

式中：z(t)為狀態(tài)變量；zi(t)為向量元素。

本文采用軟件Mathematica內(nèi)置的隱式-微分代數(shù)求解器（Implicit Differential-Algebraic Solver，IDA）［10］進(jìn)行數(shù)值求解，得到系統(tǒng)的耦合振動(dòng)響應(yīng)。

2 軌道梁橫向剛度參數(shù)分析

車(chē)速與跨度之比（v/L）廣義上視為列車(chē)通過(guò)頻率，參考上海磁浮軌道梁截面形式，采用“面積不變，增加高度”的優(yōu)化思路時(shí)，跨度L、截面面積A及密度ρ均為常數(shù)，速度提高至600 km/h時(shí)，令列車(chē)通過(guò)頻率等于軌道梁固有頻率，則

式中：Es為軌道梁的特征彈性模量；Is為繞豎軸的特征轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

令ρA=5 500 kg/m，L=25 m，根據(jù)式（8）可得特征剛度EsIs=4.0×1010N·m2。引入剛度比λ，則有

式中：El為軌道梁彈性模量；Il為繞豎軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

軌道梁計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 軌道梁計(jì)算參數(shù)

列車(chē)在水平橫向主要受軌道不平順、側(cè)向風(fēng)荷載等激勵(lì)產(chǎn)生振動(dòng)。其中，軌道不平順是由于施工誤差、路基沉降、溫度變形等原因造成，在磁浮列車(chē)運(yùn)行中軌道不平順會(huì)持續(xù)對(duì)磁浮間隙造成擾動(dòng)。風(fēng)荷載為作用于車(chē)輛上的偶然荷載，當(dāng)風(fēng)力等級(jí)較高時(shí)會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生不可忽視的擾動(dòng)。因此，根據(jù)實(shí)際工程情況建立耦合振動(dòng)仿真模型，分析兩種工況下軌道梁橫向剛度參數(shù)對(duì)磁浮系統(tǒng)橫向振動(dòng)響應(yīng)的影響：工況1，單獨(dú)軌道不平順作用；工況2，風(fēng)速為20 m/s風(fēng)致橫向荷載及不平順共同作用。

2.1 工況1

選取具有較大振動(dòng)響應(yīng)的第10跨梁進(jìn)行分析，其在不同剛度條件下的跨中位移時(shí)程曲線(xiàn)見(jiàn)圖4。可知，軌道梁在列車(chē)上橋后受磁浮力激勵(lì)開(kāi)始振動(dòng)，并在下橋后振動(dòng)逐漸衰減。隨著λ減小，振動(dòng)幅值增加，頻率降低，振動(dòng)衰減時(shí)間增加。

圖4 工況1第10跨梁位移時(shí)程曲線(xiàn)

工況1最大磁浮間隙與剛度比的關(guān)系見(jiàn)圖5。可知，將曲線(xiàn)從右至左劃分為3個(gè)階段：當(dāng)λ＞0.42時(shí)，磁浮間隙對(duì)剛度比變化基本不敏感，車(chē)體前后端部的磁浮間隙略大于中部磁浮間隙，差值約為0.5 mm；當(dāng)0.10＜λ＜0.42時(shí)，頭車(chē)和尾車(chē)中部、尾車(chē)端部磁浮間隙隨剛度比降低略有增加，列車(chē)各位置的磁浮間隙保持在1.7～1.8 mm；當(dāng)λ＜0.1時(shí)，軌道梁剛度過(guò)小，列車(chē)經(jīng)過(guò)對(duì)軌道梁產(chǎn)生了較大的擾動(dòng)，導(dǎo)致尾部磁浮間隙急劇增加。

圖5 工況1最大磁浮間隙與剛度比的關(guān)系

工況1軌道梁最大橫向位移與剛度比的關(guān)系見(jiàn)圖6?？芍?，由于不平順的隨機(jī)橫向性，各跨梁的最大位移幅值具有離散性，整體上最大橫向位移與剛度比成明顯的負(fù)相關(guān)關(guān)系。當(dāng)λ＞0.42時(shí)，最大位移小于0.1 mm，且不隨剛度比產(chǎn)生明顯變化，軌道梁具有優(yōu)良的動(dòng)力學(xué)性能；當(dāng)λ＜0.42時(shí)，剛度越小，最大橫向位移越有呈指數(shù)形式增加的趨勢(shì)。

圖6 工況1軌道梁最大位移與剛度比的關(guān)系

工況1軌道梁最大加速度與剛度比的關(guān)系見(jiàn)圖7?？芍寒?dāng)λ＞0.33時(shí)，隨著剛度比的減小，軌道梁頻率降低，跨中最大加速度整體略有降低；當(dāng)λ＜0.33時(shí)，隨著剛度比的減小，跨中最大加速度整體呈增加趨勢(shì)，但均小于0.15 m/s2。

圖7 工況1軌道梁最大加速度與剛度比的關(guān)系

軌道梁應(yīng)具有足夠的剛度，保證磁浮間隙、跨中位移、跨中加速度處于合理區(qū)間，確保系統(tǒng)的整體安全性。因此，剛度比以0.42為系統(tǒng)安全性分界點(diǎn)，即ElIl＞0.42EsIs時(shí)，磁浮間隙、軌道梁振動(dòng)均對(duì)剛度變化不敏感。

2.2 工況2

工況2第10跨梁橫向位移時(shí)程曲線(xiàn)見(jiàn)圖8?？芍?，工況2中軌道梁跨中振動(dòng)響應(yīng)幅值比工況1顯著增加。對(duì)比圖4發(fā)現(xiàn)，λ=0.04時(shí)，跨中最大位移由0.35 mm上升至3.30 mm，表明軌道梁跨中振動(dòng)響應(yīng)對(duì)剛度比的敏感性顯著加強(qiáng)，風(fēng)致橫向荷載明顯放大了橫向剛度降低所造成的不利影響，成為磁浮系統(tǒng)在水平橫向的主要激振因素。

圖8 工況2第10跨梁橫向位移時(shí)程曲線(xiàn)

工況2最大磁浮間隙與剛度比的關(guān)系見(jiàn)圖9?？芍耍?.42時(shí)，隨剛度比變化，各磁浮間隙近似保持為平行直線(xiàn)，表明在此區(qū)間內(nèi)，磁浮間隙對(duì)剛度比不敏感；λ＜0.42時(shí)，隨著剛度比的減小，各磁浮間隙產(chǎn)生了較大的波動(dòng)，λ＜0.25時(shí)迅速增加，在λ=0.008時(shí)達(dá)到20 mm。在實(shí)際工程中磁浮間隙為10 mm時(shí)電磁鐵與導(dǎo)向面已接觸，系統(tǒng)喪失穩(wěn)定性。由于風(fēng)致橫向荷載的作用，磁浮間隙最大值比工況1顯著提高，且車(chē)輛端部的電磁鐵超過(guò)了2 mm，但中部電磁鐵在剛度比大于0.5時(shí)仍處于容許范圍。原因是橫向荷載作用下，由于軌道梁振動(dòng)增加，耦合振動(dòng)會(huì)導(dǎo)致列車(chē)做擺頭運(yùn)動(dòng)，因而每節(jié)車(chē)前后端部的磁浮間隙波動(dòng)幅值大于車(chē)體中部的磁浮間隙，且尾車(chē)尾部磁浮間隙波動(dòng)幅值最大。

圖9 工況2最大磁浮間隙與剛度比的關(guān)系

工況2軌道梁最大橫向位移與剛度比的關(guān)系見(jiàn)圖10。對(duì)比圖6可知，工況2中各跨梁的振動(dòng)響應(yīng)離散程度降低，跨中最大橫向位移與剛度比成強(qiáng)負(fù)相關(guān)關(guān)系，剛度比降低時(shí)跨中最大位移呈指數(shù)形式增加。當(dāng)λ＞0.42時(shí)跨中最大橫向位移均小于0.35 mm，其動(dòng)力學(xué)性能滿(mǎn)足要求。

圖10 工況2軌道梁最大橫向位移與剛度比的關(guān)系

工況2軌道梁最大加速度與剛度比的關(guān)系見(jiàn)圖11。對(duì)比圖7可知，各跨梁最大加速度幅值的離散性顯著降低，隨剛度變化的規(guī)律更為明顯。0.33＜λ＜0.84時(shí)，跨中加速度在0.04～0.16 m/s2波動(dòng)，并在λ=0.50時(shí)取得極大值；λ＜0.33時(shí)，隨著剛度降低，加速度幅值波動(dòng)上升。

圖11 工況2軌道梁最大加速度與剛度比的關(guān)系

綜上所述，λ＞0.42時(shí)，2種工況下磁浮間隙、跨中位移、跨中加速度對(duì)剛度比不敏感，表明軌道梁橫向剛度在此區(qū)間內(nèi)橫向動(dòng)力學(xué)性能滿(mǎn)足要求。

3 結(jié)論

1）剛度比大于0.42時(shí)，軌道梁、磁浮間隙的動(dòng)力響應(yīng)對(duì)剛度變化不敏感，系統(tǒng)橫向動(dòng)力學(xué)性能滿(mǎn)足要求。

2）風(fēng)致橫向荷載會(huì)明顯增大軌道梁的振動(dòng)，并導(dǎo)致車(chē)體產(chǎn)生擺頭運(yùn)動(dòng)，使端部磁浮間隙波動(dòng)幅值增加，且列車(chē)尾部為導(dǎo)向電磁鐵的最不利位置。

3）相較于軌道不平順，風(fēng)致橫向荷載作用對(duì)系統(tǒng)橫向振動(dòng)的影響更為顯著，應(yīng)作為控制因素考慮。