順勢而為，合理建構(gòu)，打造生長型活力課堂
——由“矩形中的折疊問題”引發(fā)的探究與思考

■湯忠芳

初中數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)課 建構(gòu)

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課一般分為揭示目標(biāo)、再現(xiàn)知識、梳理溝通、深化提高四個階段。一直以來，“概念梳理+練習(xí)強(qiáng)化”是初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的普遍模式。這種模式的缺點(diǎn)是：學(xué)生只顧做，教師不去想。這使得復(fù)習(xí)課變成了簡單機(jī)械的知識點(diǎn)的重復(fù)，而忽視了對學(xué)生能力的培養(yǎng)。因此，筆者認(rèn)為，復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)結(jié)合相關(guān)知識點(diǎn)，選擇典型例題，通過設(shè)計(jì)問題串，層層推進(jìn)，由淺入深地展開教學(xué)；努力構(gòu)建整體認(rèn)知體系，幫助學(xué)生將“零散”的知識點(diǎn)編織成知識的“互聯(lián)網(wǎng)”，讓知識融合、內(nèi)化，從而在知識重構(gòu)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的思考力和解決問題的創(chuàng)新力。

下面，筆者以“矩形中的折疊問題”為例進(jìn)行具體分析。

一、順勢而為：習(xí)題呈現(xiàn)及評析

1.呈現(xiàn)基本問題，“鋪設(shè)平臺”建構(gòu)。

問題1：如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在對角線BD上，求CE的長。

圖1

教學(xué)分析：這是一道常規(guī)的矩形折疊問題，學(xué)生只要發(fā)現(xiàn)折疊過程中的不變量（對應(yīng)線段相等），就可以通過設(shè)未知數(shù)，利用方程思想并借助勾股定理解決。因此，教師可以從學(xué)生較為熟悉的題型切入，借助學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，利用常規(guī)的解題思路，設(shè)計(jì)出關(guān)聯(lián)度較高的問題，以此來培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，讓學(xué)生從“會解”向“會思”轉(zhuǎn)變，由“會思”向“會學(xué)”突破，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情。

2.逐層遞進(jìn)，“生長融合”建構(gòu)。

問題2：在上述問題中，若點(diǎn)C在翻折過程中落在矩形ABCD的對角線上，其余條件不變，求CE的長。

問題3：在上述問題中，若點(diǎn)C在翻折過程中落在矩形ABCD的對稱軸上，其余條件不變，求CE的長。

教學(xué)分析：問題2和問題3是典型的分類討論問題。因?yàn)榫匦斡袃蓷l對角線和兩條對稱軸，所以解決這類問題，就要以此作為討論的依據(jù)，畫出符合條件的圖形，構(gòu)造直角三角形，再聯(lián)系“一線三等角”等知識點(diǎn)，通過相似三角形和勾股定理來解決。這兩個問題是問題1的拓展與延伸，設(shè)置的目的是通過情況的多樣性，從一般到特殊，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類討論，使學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)得到生長，讓學(xué)生在解題時積累解決折疊問題的經(jīng)驗(yàn)，掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)化、序列化。

問題4：如圖2，在上述問題中，連接BC′，若BC′∥DE，其余條件不變，求CE的長。

圖2

教學(xué)分析：所求的問題不變，通過折疊過程中折痕與對應(yīng)點(diǎn)位置的特殊性，利用三角形相似等方法，不斷鞏固和強(qiáng)化“折疊問題”，引導(dǎo)學(xué)生有序思考，使學(xué)生既掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“道”，又能悟出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“理”，使知識和方法趨于系統(tǒng)化，逐步提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

3.變式拓展，“完善整合”建構(gòu)。

學(xué)生經(jīng)過自主探究和小組交流，在對上述問題的研究過程中，不難發(fā)現(xiàn)，折疊時還會出現(xiàn)下列具有代表性的圖形。

圖3

圖4

圖5

面對折疊問題中情況的復(fù)雜性和多樣性，我們有必要抓住問題的核心進(jìn)行梳理和歸類。從折痕來看，發(fā)現(xiàn)“C′經(jīng)過矩形頂點(diǎn)、經(jīng)過對稱中心、在對角線上、在對稱軸上”等情況是最常見的特例；從對應(yīng)頂點(diǎn)C′的位置來看，發(fā)現(xiàn)“頂點(diǎn)C′落在矩形內(nèi)部、矩形邊上、矩形外部”是最常見的特例；綜合來看，折疊問題的本質(zhì)是全等變形，折痕可看作線段的垂直平分線，也可看作角平分線。通過自主整理和歸納（見表1），學(xué)生能夠找到問題研究的切入點(diǎn)和解決問題的一般方法。在不斷生成新問題和解決新問題的過程中，學(xué)生對知識的認(rèn)識和理解才會更深刻。這種層次化、漸進(jìn)式的學(xué)習(xí)過程，必定會給予學(xué)生更精彩的思維碰撞和更豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。

表1

二、合理建構(gòu)：精準(zhǔn)施教的實(shí)踐與思考

數(shù)學(xué)對象不是孤立存在的，而是整體數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的一部分。數(shù)學(xué)建構(gòu)是一種通過知識脈絡(luò)將知識點(diǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的組織和加工，并逐步融合，最終形成知識網(wǎng)絡(luò)的過程。在進(jìn)行復(fù)習(xí)課教學(xué)時，教師應(yīng)在選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型幫助學(xué)生梳理知識的同時，關(guān)注知識的形成過程，逐步建構(gòu)，精準(zhǔn)施教，這既有助于學(xué)生全面系統(tǒng)掌握知識，形成體系，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解，凸顯核心素養(yǎng)，又能提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，有益于高效數(shù)學(xué)課堂的構(gòu)建。

1.目標(biāo)精準(zhǔn)：知識生長，能力提升。

生長源的選擇是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的核心。生長源可以是某個核心知識點(diǎn)（重點(diǎn)、疑點(diǎn)、難點(diǎn)）或某種解決問題的策略與方法。復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)要緊扣源問題，在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，進(jìn)行變式、拓展與延伸；通過類比等方式，進(jìn)行知識的遷移和升華。本節(jié)課中的問題1就是教材中的習(xí)題，以此為基礎(chǔ)展開的教學(xué)，起點(diǎn)低，是為了發(fā)展學(xué)生的“四基”；再通過問題2和問題3的延伸和拓展，將知識縱向發(fā)展，重建知識結(jié)構(gòu)，在學(xué)生領(lǐng)悟重要數(shù)學(xué)思想的同時，提升學(xué)生的思維能力。

2.問題精準(zhǔn)：層層深入，系統(tǒng)建構(gòu)。

建構(gòu)的切入點(diǎn)不宜過大，問題的選擇要具有典型性。層層深入、螺旋上升是建構(gòu)的關(guān)鍵。本節(jié)課就是從一道題切入，引領(lǐng)學(xué)生研究一類題型，以學(xué)為中心，著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，由易到難，由低階思維轉(zhuǎn)變到高階思維；通過問題串，追溯問題本質(zhì)，從而建構(gòu)起“矩形折疊問題”的數(shù)學(xué)模型，在層層抽絲剝繭的教學(xué)智慧中，促進(jìn)學(xué)生知識鏈的生長。

3.練習(xí)精準(zhǔn)：問題導(dǎo)向，強(qiáng)化應(yīng)用。

從復(fù)習(xí)課的實(shí)效性出發(fā)，練習(xí)的設(shè)計(jì)要關(guān)注梯度和廣度。從“模仿”→“再造”→“創(chuàng)造”的理念出發(fā)，習(xí)題的設(shè)計(jì)要講究層次性和整體性；要提倡題組教學(xué)，根據(jù)知識的內(nèi)在聯(lián)系，有的放矢地設(shè)計(jì)練習(xí)。我們既要關(guān)注學(xué)生對知識技能的掌握，又要關(guān)注學(xué)生思維的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)，以習(xí)題的針對性和有效性，促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)、創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，從而促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)能力的培養(yǎng)。

4.講評精準(zhǔn)：思路點(diǎn)撥，方法多樣。

教深、講透是復(fù)習(xí)課的教學(xué)追求。教師講評習(xí)題時，要注意語言的科學(xué)性和規(guī)范性，不能僅僅教學(xué)生求出答案就完事兒。教師需要深度研題，開展一題多問和一題多解教學(xué)，對比不同思路和解法的優(yōu)劣，然后基于學(xué)生立場，選擇最適切的解法進(jìn)行講解，讓學(xué)生知其然，更知其所以然。師生共同追求講評品質(zhì)的提升，以習(xí)題教學(xué)的講透與教深為目的，促進(jìn)學(xué)生學(xué)活、學(xué)透和學(xué)深。

發(fā)展數(shù)學(xué)思維，彰顯有價值的教學(xué)，是數(shù)學(xué)教師的教學(xué)價值追求。教師在設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)課教學(xué)時，研究起點(diǎn)應(yīng)低一點(diǎn)，探索步子應(yīng)大一點(diǎn)，發(fā)展眼光應(yīng)遠(yuǎn)一點(diǎn)，從學(xué)生角度去發(fā)現(xiàn)問題，探究問題。通過題型歸類、模型構(gòu)建等方式，展開數(shù)學(xué)課堂的生長型教學(xué)活力建構(gòu)，有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于思考的習(xí)慣，讓學(xué)生在綜合運(yùn)用知識和方法解決問題的過程中，發(fā)展創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。