基于單純形優(yōu)化算法的火箭彈增程研究

張 斌，陳國光，王 捷

（1.中北大學(xué)，山西太原 030051；2.西南技術(shù)物理研究所，四川成都 610041）

為滿足當(dāng)前遠(yuǎn)距離、精確化、大威力的現(xiàn)代戰(zhàn)爭作戰(zhàn)要求，火箭彈增程技術(shù)當(dāng)前已成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)之一。目前，火箭彈增程方法有提高發(fā)動機(jī)總沖、改良火箭彈結(jié)構(gòu)以及增添舵機(jī)控制的滑翔增程等。單就結(jié)構(gòu)和推進(jìn)劑的改良而言，增程效果并不佳。依據(jù)彈道修正彈彈道特性分析，采用舵機(jī)控制的滑翔增程方法不僅能有效增加射程，還能減少因火箭彈增大射程而帶來的散布問題。

滑翔增程是通過調(diào)整舵翼偏轉(zhuǎn)來控制火箭彈的升力，使火箭彈緩慢下降，進(jìn)而延長飛行時間，達(dá)到增程的目的。這種增程方法是基于彈箭飛行特性提出的，對制導(dǎo)控制及彈道修正有著重要指導(dǎo)意義。經(jīng)查閱文獻(xiàn)了解，目前增程方案有：分析增程原理和彈道特點(diǎn)，控制重力法向方向始終平衡的方案；采用控制火箭彈法向過載最優(yōu)的方案；采用數(shù)值解算最大升阻比的思想建立滑翔段模型；以能量法研究滑翔彈道，最小能量損失的彈道設(shè)計；對滑翔段進(jìn)行分段控制，保證舵偏角在每1小段都不變，探究分段次數(shù)與增程的關(guān)系；依據(jù)氣動力參數(shù)，擬合最大升阻比下的攻角隨馬赫數(shù)的變化曲線及攻角隨時間的函數(shù)，實(shí)現(xiàn)滑翔增程；以射程為優(yōu)化變量，采用序列二次規(guī)劃優(yōu)化算法，進(jìn)行數(shù)值仿真；采用現(xiàn)代優(yōu)化算法，對彈道進(jìn)行全局約束搜索最優(yōu)攻角方案。

目前，多采用地面雷達(dá)監(jiān)測及發(fā)射指令的方式修正彈道，對于高速短時作戰(zhàn)的彈藥而言，這種方法存在時間誤差和預(yù)測偏差等問題，修正效果并不理想。

基于此，本文從能量法角度分析并提出了1種基于彈載計算機(jī)實(shí)時優(yōu)化的改進(jìn)單純形優(yōu)化算法，在SIMULINK 中建立彈道模型，并將優(yōu)化算法模塊化，嵌套在仿真程序中，跟隨彈道解算過程對攻角進(jìn)行實(shí)時優(yōu)化。通過該算法，能快速找到當(dāng)前彈道諸元（速度、高度、彈道傾角等）下的最優(yōu)控制量。通過仿真分析驗證了算法有效性。

1 模型建立

本文的研究對象是某型制導(dǎo)火箭彈，其采用雙通道舵機(jī)，卷弧尾翼。三維彈體模型，如圖1所示。

圖1 制導(dǎo)火箭彈模型Fig.1 Guided rocket model

對于雙通道控制舵機(jī)，升降舵和方向舵是分開控制的：升降舵主要控制火箭彈在縱向平面的射程修正；方向舵則控制水平面的偏差量修正。本文主要研究火箭彈在縱向平面的增程問題。

1.1 滑翔增程彈原理

制導(dǎo)火箭彈通常在彈道前期無控飛行，飛行到彈道頂點(diǎn)附近打開舵機(jī)，通過電機(jī)驅(qū)動舵翼偏轉(zhuǎn)，調(diào)整彈體的升力，減小或平衡彈丸在速度矢量法向方向的重力分量，從而延長飛行時間，增加飛行距離。

在彈道縱向平面內(nèi)，火箭彈沿速度矢量方向的受力分析，如圖2所示。

圖2 火箭彈在速度矢量方向的受力分析Fig.2 Force analysis of rocket in the direction of velocity vector

從能量角度分析，因高度降低所產(chǎn)生的勢能轉(zhuǎn)化成動能和克服空氣的阻力，動能的增加勢必加快高度的降低，這對增程而言是不利的。因此，將勢能盡可能地用來克服空氣阻力，維持動能不變或緩慢減小是1種增加射程的有效方法。

由圖2受力分析可知，速度是由切向合力控制，高度的降低是由空氣作用力和重力兩者的合力控制?？刂扑俣茸兓那邢蚝狭ψ钚?，以及控制彈道傾角變化的法向合力最小，即可達(dá)到緩慢下降及速度緩慢減小的目的。將上述理論轉(zhuǎn)化為數(shù)值表達(dá)式，為更易實(shí)現(xiàn)這一方法，采用標(biāo)量的合力之和來替換矢量合力。為避免各合力出現(xiàn)負(fù)值的情況，對各合力做絕對值運(yùn)算。整合以上理論，如式（1）：

式（1）中：

X

為空氣阻力；

Y

為空氣升力；

m

為火箭彈質(zhì)量；

θ

為彈道傾角；

g

為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?，與高度

y

有關(guān)。

式（2）中：

ρ

為空氣密度；

X

為空氣阻力；

Y

為空氣升力；

S

為彈丸特征面積；

C

為零升阻力系數(shù)；

C

為誘導(dǎo)阻力系數(shù)；

C

′為升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)；

α

為攻角。火箭彈受力隨飛行位置不斷發(fā)生變化，受飛行穩(wěn)定性及修正裝置等的限制，此處的合力最小為優(yōu)化問題，須通過優(yōu)化方法獲取。為此，本文提出實(shí)時優(yōu)化的算法以解決這一問題。將優(yōu)化算法嵌套在彈載計算機(jī)程序中，每隔

T

時刻，接收并處理火箭彈的位置及速度信息，求解出采樣時刻的最優(yōu)攻角值，再轉(zhuǎn)化成修正指令，控制舵翼偏轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)增程目的。

1.2 彈道模型及方程建模

通過對火箭彈增程原理分析，結(jié)合原火箭彈特點(diǎn)，總結(jié)滑翔增程火箭彈彈道特點(diǎn)如下。

1）主動段。該段彈丸受重力、空氣動力及發(fā)動機(jī)推力作用，受推進(jìn)劑燃?xì)馔苿幼饔茫瑥椡枳黾铀龠\(yùn)動。發(fā)動機(jī)停止工作后，彈丸達(dá)到最大速度。

2）被動段。該段彈丸僅受空氣動力和自身重力作用，與無控彈的彈道解法一致。

3）控制段。在彈丸到達(dá)彈道頂點(diǎn)附近時，打開舵機(jī)。在電機(jī)驅(qū)動下，舵翼按照舵機(jī)指令進(jìn)行偏轉(zhuǎn)，空氣作用力隨之發(fā)生改變，進(jìn)而達(dá)到調(diào)整姿態(tài)、修正彈道的作用。

根據(jù)以上彈道特點(diǎn)描述，飛行彈道特性模擬圖，如圖3所示。

圖3 滑翔增程火箭彈彈道模擬圖Fig.3 Ballistic simulation diagram of glide extended range rocket

依據(jù)前文分析，本文只研究有控彈箭在縱向平面的運(yùn)動，由于采用卷弧尾翼，彈丸旋轉(zhuǎn)速度會降低，飛行至控制段時近似看作無旋運(yùn)動，即忽略彈箭繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，只研究彈箭質(zhì)心的運(yùn)動。由此，縱向平面可操縱質(zhì)點(diǎn)方程組如下：

2 優(yōu)化算法建模

2.1 基于單純形的攻角優(yōu)化建模

單純形法（Simplex）是1962 年由Spendley、Hext和Himsworth 提出，再由Nelder 和Mead 于1965 年改進(jìn)，故又稱為NM 算法。它是1 種不使用導(dǎo)數(shù)求解無約束極小化問題的直接搜索方法。相比最優(yōu)化方法中的解析法，此法僅需要相關(guān)函數(shù)值信息，就可尋找最優(yōu)解。不同于其他優(yōu)化的算法，它從最初構(gòu)造的單純形，不斷替換最大值點(diǎn)，構(gòu)造更適合尋優(yōu)的新單純形?；驹砣缦拢?/p>在

n

維空間中，以

n

+1 個頂點(diǎn)構(gòu)成一個單純形(

x

,

x

,

x

,…,

x

)。并將單純形中各頂點(diǎn)代入到目標(biāo)函數(shù)中求解函數(shù)值。記各函數(shù)值中最小值為

f

(

x

)，最大值為

f

(

x

)。并求除最大值以外各點(diǎn)的重心，及最大值頂點(diǎn)關(guān)于重心的反射點(diǎn)，依據(jù)反射點(diǎn)函數(shù)值的大小選擇延伸、收縮或壓縮，得到新的較好頂點(diǎn)并替換原單純形中最大值頂點(diǎn)，構(gòu)造新的單純形。通過反復(fù)求解較小點(diǎn)來替換新單純形中最大值頂點(diǎn)，迭代單純形，逼近極小值點(diǎn)。單純形中重心、反射點(diǎn)、延伸點(diǎn)、收縮點(diǎn)、壓縮點(diǎn)以及精度的計算公式如下：

式（4）中：

x

為單純形頂點(diǎn)；

x

為最大值頂點(diǎn)；

x

為最小值頂點(diǎn)；

x

為重心；

x

為反射點(diǎn)；

x

為延伸點(diǎn)；

x

為收縮點(diǎn)；

x

為壓縮點(diǎn)；

h

為反射系數(shù)；

β

為延伸系數(shù)；

γ

為收縮系數(shù)；

δ

為壓縮系數(shù)；

ε

為計算精度。

2.1.1 選取設(shè)計變量

依據(jù)公式（1）分析，為獲取采樣時刻最優(yōu)攻角，實(shí)時彈道優(yōu)化以采樣時刻彈道諸元作為優(yōu)化輸入量，以平衡攻角為優(yōu)化變量。隨采樣時刻的更新進(jìn)行實(shí)時優(yōu)化。設(shè)計變量

Γ

見式（5）。

式（5）中：

y

為火箭彈采樣時刻高度；

v

為采樣時刻速度；

θ

為采樣時刻彈道傾角；

ρ

為采樣時刻空氣密度；

g

為采樣時刻的重力加速度；

α

為采樣時刻待優(yōu)化的攻角。

2.1.2 建立目標(biāo)函數(shù)

基于公式（1）分析，將采樣時刻的位置和速度信息作為優(yōu)化輸入量，以采樣時刻合力最小值為目標(biāo)函數(shù)。結(jié)合式（1），目標(biāo)函數(shù)

F

見式（6）：

2.1.3 添加參數(shù)約束

攻角的取值，取決于彈箭物理參數(shù)及舵機(jī)的修正能力，更重要的是不能影響飛行穩(wěn)定性，這限制了攻角只能在一定范圍內(nèi)變化，見式（7）：

式（7）中：

α

為攻角最小值；

α

為攻角最大值。

2.1.4 算法終止條件

單純形算法優(yōu)點(diǎn)是尋優(yōu)效率高，能快速迭代到最優(yōu)解附近；缺點(diǎn)是在最優(yōu)點(diǎn)附近收斂速度較慢。而實(shí)時修正的核心即時效性，短時多修，因此對于精度要求并不是很高。為了更好滿足實(shí)時解算要求，縮短算法終止時間，本文在原算法基礎(chǔ)上再增添終止條件，以連續(xù)3 次輸出迭代優(yōu)化值之差小于迭代誤差

ε

作為終止條件。雙重終止條件能有效縮短迭代時間。迭代誤差

ε

見公式（8）：

式（8）中：

ε

為迭代誤差；

x

為第

i

次迭代結(jié)果；

x

為第

i

-1次迭代結(jié)果。

2.1.5 單純形法優(yōu)化攻角流程

1）設(shè)定控制段采樣時刻

T

=0.1 s，獲取采樣時刻的火箭彈位置和速度信息。統(tǒng)一設(shè)定待優(yōu)化的攻角初始值為0。并設(shè)定優(yōu)化函數(shù)中的參數(shù)值：初始步長、反射系數(shù)、收縮系數(shù)、壓縮系數(shù)及計算精度。

2）將初始攻角值及采用初始步長獲取的新攻角值代入插值函數(shù)中，分別插值計算出當(dāng)前攻角及馬赫數(shù)下的氣動力參數(shù)，并將氣動力參數(shù)值代入目標(biāo)函數(shù)中，求解當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)值。

3）將2）中得到的目標(biāo)函數(shù)值返回到優(yōu)化算法中，確定最小值頂點(diǎn)

x

及最大值頂點(diǎn)

x

，并計算重心、反射點(diǎn)。4）通過對反射點(diǎn)的函數(shù)值求解，選擇延伸處理、收縮處理或壓縮處理。使目標(biāo)函數(shù)更小的點(diǎn)為新的單純形頂點(diǎn)，返回并替換步驟3）中的

f

( )

x

，重新確定新單純形的最大值頂點(diǎn)及最小值頂點(diǎn)，重復(fù)以上步驟，反復(fù)迭代新單純形，直至滿足計算精度為止。

5）將優(yōu)化算法得到的攻角值與式（6）比對，將不在攻角設(shè)定范圍的攻角值進(jìn)行輸出限制或替換。最后輸出攻角，作為當(dāng)前火箭彈飛行的控制量。直至得到下1 個最優(yōu)攻角。通過這種交替優(yōu)化解算方法，獲取控制全段的最優(yōu)攻角值。

2.2 SIMULINK建模仿真

工程上常用C語言求解彈道，這對編程能力要求高。SIMULINK 是將MATLAB 的相關(guān)函數(shù)進(jìn)行模塊化封裝，對使用者來說要求低、易上手，對于所有設(shè)定的參數(shù)均可實(shí)時讀取，通用性高，可視性強(qiáng)，已成為學(xué)者和工程師求解彈道的常用軟件。本文采用SIMULINK 仿真平臺進(jìn)行滑翔增程火箭彈模型建立與仿真分析。

依據(jù)滑翔增程彈的彈道特性，整個彈道模型由彈道初始模塊、氣象標(biāo)準(zhǔn)模塊、氣動力模塊、彈道方程組模塊、優(yōu)化算法模塊組成。各模塊內(nèi)部以子模塊或函數(shù)組成?；柙龀袒鸺龔棌椀澜馑憧驁D，如圖4所示。

圖4 滑翔增程火箭彈彈道解算框圖Fig.4 Diagram of ballistic calculation for glide extended range rocket

2.2.1 彈道初始化模塊

在SIMULINK中設(shè)置滑翔增程火箭彈的參數(shù)，見表1。

表1 火箭彈參數(shù)Tab.1 Rocket parameters

2.2.2 NM優(yōu)化算法模塊

依據(jù)算法，將函數(shù)的所有輸入的參數(shù)封裝到函數(shù)模塊中，該函數(shù)模塊包括3 個函數(shù)：氣動力插值函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)及單純形優(yōu)化函數(shù)。NM子模塊中的單純形優(yōu)化算法函數(shù)模型，見圖5所示。

圖5 單純形優(yōu)化算法函數(shù)模塊Fig.5 Function module of simplex optimization algorithm

本文火箭彈模型，依據(jù)舵機(jī)修正能力及飛行穩(wěn)定性，設(shè)定攻角取值范圍為[0 °,8°] 。單純形優(yōu)化算法是一種無約束優(yōu)化，對于優(yōu)化結(jié)果超出優(yōu)化變量約束范圍的，將以攻角最值輸出。也就是優(yōu)化結(jié)果大于8°則取8°，小于0°則取0°。

2.2.3 氣動力參數(shù)模塊

本文采用DATCOM 軟件獲取滑翔增程火箭彈的氣動參數(shù)。將建好的滑翔火箭彈模型的彈體參數(shù)（見表1）及舵機(jī)參數(shù)編制文件，設(shè)定不同馬赫數(shù)和攻角值，分別計算原火箭彈氣動參數(shù)，以及添加舵機(jī)后的滑翔火箭彈的氣動參數(shù)。根據(jù)滑翔增程火箭彈彈道特點(diǎn)，在主動段和被動段使用無舵翼氣動力參數(shù)，打開舵機(jī)后使用有舵翼的氣動力參數(shù)。

3 仿真結(jié)果及分析

由于滑翔增程彈的舵機(jī)是在頂點(diǎn)附近打開的，因此彈道的主動段和被動段均與原火箭彈相同。忽略無控段受外部隨機(jī)干擾造成的攻角變化，采用零攻角仿真無控段。本文采用SIMULINK 自帶算法（ode45），四階龍格庫塔解算彈道。

設(shè)定滑翔增程火箭彈初始條件是：

θ

=50°，

v

=50 m/s，

x

=0，

y

=0。將初始條件設(shè)置到SIMULINK模塊中，設(shè)置積分步長與采樣時刻同為0.1。設(shè)置程序終止條件為

y

＜0。優(yōu)化函數(shù)算法中各參數(shù)取值分別為：初始步長

h

=2，延伸系數(shù)

β

=2，收縮系數(shù)

γ

=0.5，壓縮系數(shù)

δ

=0.5，計算精度

ε

=0.05，迭代終止精度

ε

=0.001。

考慮到火箭彈飛行中受到（風(fēng)等）擾動，以及彈載計算機(jī)獲取的位置坐標(biāo)誤差及地磁測量姿態(tài)誤差等因素，轉(zhuǎn)化各種誤差因素為攻角的響應(yīng)白噪，即在實(shí)時優(yōu)化后的攻角值上隨機(jī)添加[ ]-0.2°,0.2° 的偏差量。

圖6為零攻角下原火箭彈的彈道曲線。圖7為有噪與無噪的優(yōu)化彈道對比圖。圖8為有噪和無噪的優(yōu)化攻角對比圖。圖9 為實(shí)時攻角下的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值。圖10是在原單純形算法下，對不同采集時刻的彈道信息分別進(jìn)行實(shí)時優(yōu)化的迭代次數(shù)與優(yōu)化攻角的對比圖。

圖6 零攻角火箭彈彈道Fig.6 Ballistic curve of the rocket at zero angle of attack

圖7 實(shí)時優(yōu)化后的彈道Fig.7 Ballistic curve of the rocket after real-time optimization

圖8 實(shí)時優(yōu)化后的火箭彈攻角Fig.8 Angle of attack of the rocket after real-time optimization

圖9 實(shí)時優(yōu)化下的目標(biāo)函數(shù)值Fig.9 Objective function value under real-time optimization

圖10 不同時刻下迭代次數(shù)與優(yōu)化結(jié)果Fig.10 Number of iterations and optimization results at different moments

圖6、7 對比表明，在射角50°、零攻角下的原無控火箭彈的射程僅22 000 m。而采用本文提出的改進(jìn)單純形優(yōu)化算法解算實(shí)時攻角，無噪射程為38 344.87 m ，有噪射程為38 205.04 m ，偏差僅139.83 m，無噪下增程率達(dá)到74.3%。說明此優(yōu)化方法能有效增加火箭彈的射程。

圖7～9表明，在相同初始條件下，無噪和有噪解算結(jié)果相差甚小，實(shí)時解算具有較高的抗噪性。實(shí)時解算的最優(yōu)攻角變化平穩(wěn)，并無大的突變，對于舵機(jī)修正而言，易于實(shí)現(xiàn)。此改進(jìn)算法能有效地應(yīng)用于彈載計算機(jī)上。

圖10 表明，雖然達(dá)到原算法的計算精度，但迭代次數(shù)較多，耗時較長，不利于快速多次的實(shí)時修飛理念。

通過表2 的數(shù)據(jù)比對，原算法實(shí)時求解的時間較長，從而使舵機(jī)修正的時間間隔延長。而隨著修正間隔時間的增加，精度必然降低。采用改進(jìn)后的算法，迭代次數(shù)更少，而且優(yōu)化結(jié)果與原算法相差較小。改進(jìn)算法能有效地縮短間隔時間，增加修正次數(shù)，更能滿足實(shí)時解算的要求。

表2 原算法和改進(jìn)算法尋優(yōu)結(jié)果對比Tab.2 Comparison of optimization results between the original algorithm and the improved algorithm

4 結(jié)論

針對火箭彈增程問題，在理想滑翔狀態(tài)理論基礎(chǔ)上，分析并提出了基于改進(jìn)單純形算法的實(shí)時優(yōu)化攻角的增程方法，通過在SIMULINK仿真平臺上建立彈道模型并仿真分析，得出以下結(jié)論：

1）與無控火箭彈射程相比，基于改進(jìn)單純形優(yōu)化算法的增程方案使得火箭彈增程率達(dá)到74.3%；

2）改進(jìn)后的單純形優(yōu)化算法更適合彈載計算機(jī)實(shí)時優(yōu)化。