高階思維訓(xùn)練的課程內(nèi)容設(shè)計(jì)
——以材料力學(xué)典型例題為例

李 敏 李芷菡 陳偉民,

?(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院,北京100191)

?(中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)食品科學(xué)與營(yíng)養(yǎng)工程學(xué)院，北京100193)

??(中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所，北京100190)

為了提高教學(xué)質(zhì)量，近年來在教育部持續(xù)推動(dòng)下，一流課程(金課)建設(shè)成為全國(guó)高校教育教學(xué)改革的重點(diǎn)工作。作為一流課程的主要特征，“兩性一度”(高階性、創(chuàng)新性與挑戰(zhàn)度)已經(jīng)廣泛出現(xiàn)在各級(jí)各類教學(xué)要求與制度中，其核心在于利用“創(chuàng)新性”的方法，通過具有“挑戰(zhàn)度”的訓(xùn)練，達(dá)到培養(yǎng)“高階性”思維的目的。

相比以記憶、理解與應(yīng)用為特征的低階思維模式，高階思維模式(分析/評(píng)價(jià)/創(chuàng)造)體現(xiàn)在對(duì)問題的認(rèn)知經(jīng)歷“盲目相信/眾說紛紜/批判思維”的過程，最終建立基于自身理解的、對(duì)客觀事物全面與深刻的認(rèn)識(shí)。達(dá)成該目標(biāo)的關(guān)鍵在于教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)--通過具有挑戰(zhàn)性問題的教學(xué)內(nèi)容與環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生全面思考與深入探究，逐步形成批判性思維模式。

對(duì)于理工科專業(yè)課程，盡管不同課程在性質(zhì)與內(nèi)容上不盡相同，但總體而言，通過以下方面引入問題與思考是有益的：

(1)相關(guān)內(nèi)容的內(nèi)在關(guān)聯(lián)；

(2)假設(shè)條件的適用范圍；

(3)問題的物理/數(shù)學(xué)本質(zhì)。

為了不偏離課程主體內(nèi)容，并且考慮到受眾比例，挑戰(zhàn)性問題的課程內(nèi)容設(shè)計(jì)需要滿足：起點(diǎn)低、臺(tái)階小、空間大，在這一點(diǎn)上，非常類似于各類電子游戲的設(shè)計(jì)。為了說明以上思路，本文以材料力學(xué)課程教學(xué)的一個(gè)實(shí)例展示問題引導(dǎo)與啟發(fā)過程。

1 原始問題與標(biāo)準(zhǔn)解答

課程內(nèi)容設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)最好基于教科書的題目與敘述，這就是所謂的起點(diǎn)足夠“低”。

在材料力學(xué)或彈性力學(xué)有關(guān)功(位移)的互等定理部分有如下或類似的習(xí)題[1-2]：

圖1所示等截面直桿，承受一對(duì)方向相反、大小均為F的橫向集中力作用。設(shè)截面橫向尺寸為b、拉壓剛度為EA，材料的泊松比為μ。試?yán)霉Φ幕サ榷ɡ恚C明桿的軸向變形為?l=μbF/(EA)。

圖1 第一種受力狀態(tài)示意圖

該題目簡(jiǎn)單而典型，也常常被教師選擇作為例題講解，教科書給出的標(biāo)準(zhǔn)解答如下。

對(duì)于該桿件構(gòu)造另一種載荷狀態(tài)如圖2所示，在桿件上施加一對(duì)大小相等，方向相反的軸向力F1。

圖2 第二種受力狀態(tài)示意圖

在F1作用下，桿的橫向變形為

根據(jù)功的互等定理，對(duì)于兩種受力狀態(tài)有

由此得

2 提出疑惑與概念辨析

除了教科書給出的標(biāo)準(zhǔn)解答，這里展示另一種模式的證明。首先，為了方便后續(xù)講解與符號(hào)說明，把圖1中結(jié)構(gòu)畫為三維模式，見圖3，載荷F作用面的橫向尺寸為h，軸向長(zhǎng)度為l。

圖3 結(jié)構(gòu)三維尺寸與圖標(biāo)

在F作用下橫向應(yīng)變?yōu)?/p>

軸向應(yīng)變

軸向變形

比較式(3)與式(6)可以發(fā)現(xiàn)，答案完全一致。

該證明模式并不完全由教師“制造”，由于此例為教科書上作業(yè)題，筆者多年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)有25%以上的學(xué)生給出了第二種模式的證明過程。

事實(shí)上，引發(fā)學(xué)生思考的出發(fā)點(diǎn)從學(xué)生作業(yè)錯(cuò)誤或者學(xué)生日常問題入手是最為合適的，因?yàn)槠浞蠈W(xué)生思考問題的思維模式。

該證明的錯(cuò)誤之處在于：面ABCD上橫向載荷F為集中力，在長(zhǎng)度l范圍內(nèi)無論橫向應(yīng)力或應(yīng)變都是非均勻分布，式(4)所得橫向應(yīng)變表達(dá)式在全局范圍內(nèi)不正確。

該證明“找錯(cuò)”的過程，對(duì)于辨析概念與對(duì)象，例如應(yīng)力與平均應(yīng)力，集中力與分布力，微元體與分離體等方面，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題討論是有益的。

3 擴(kuò)展研究與理解進(jìn)階

盡管上面給出的證明模式是錯(cuò)誤的，但是根據(jù)式(4)～式(6)給出的最終結(jié)果與正確答案卻完全一致，由此可以提出的下一個(gè)問題是：答案一致是一種“巧合”還是有其“必然”？

這個(gè)問題可以隨著上面討論與講解一次性提出，但是學(xué)生立刻就能給出比較全面的解答是不現(xiàn)實(shí)的，可以作為思考題布置并在下一次作為專題研討。為了在學(xué)生討論時(shí)引導(dǎo)重點(diǎn)與主線，教師完成相關(guān)課程內(nèi)容設(shè)計(jì)作為預(yù)案是有益的，以下問題的分析展示了逐步提升思維訓(xùn)練的過程。

3.1 載荷從均勻分布到集中作用

首先，盡管式(4)～式(6)的證明過程對(duì)于原題是錯(cuò)誤的，但對(duì)于作用于ABCD與A′B′C′D′的橫向均布面載F/(hl)而言(見圖4(a)，為了文本簡(jiǎn)潔，受力圖均為正視圖，下同)，該證明過程是正確的。

圖4 載荷分布范圍變化示意圖

其次，當(dāng)均布載荷在軸向的作用范圍僅為ABCD的一個(gè)局部，例如l1(l1

最終，上述模式的極端情況，當(dāng)l1→dl(圖4(c))，

以上的證明過程是基于均勻應(yīng)變以及極限化模式，同樣可以采用構(gòu)造如圖2的軸向載荷狀態(tài)，利用功的互等定理得到同樣結(jié)果，此處不再贅述。

從該變化過程可以看出，無論載荷分布形式與位置如何，對(duì)于靜力等效的一對(duì)橫向作用力，其在軸向引入的變形均為同一數(shù)值，所以第二節(jié)中盡管證明過程是錯(cuò)誤的，但是答案完全一致有其必然性。

事實(shí)上，我們可以把以上的證明與分析結(jié)果畫在一張圖上(如圖5)：隨著載荷集度的增加，在載荷作用范圍內(nèi)，軸向變形的集度也線性增加，但總變形(對(duì)應(yīng)于虛線包圍的面積)保持不變，極限狀態(tài)為載荷分布范圍趨于零，此時(shí)變形集度趨于無窮大，但二者乘積(總變形量)為一有限值并保持不變。

圖5 軸向變形集度(應(yīng)變)分布與變化

以上分析過程中有多個(gè)“臺(tái)階”，每次上升的幅度不大，而且相互關(guān)系緊密，最后的總結(jié)已經(jīng)在數(shù)學(xué)本質(zhì)上有所體現(xiàn)。

3.2 載荷分布從局部平衡到總體平衡

觀察圖4中各種載荷分布狀態(tài)，盡管軸向分布區(qū)域不同，但橫向均為對(duì)稱模式，即任意局部尺度上載荷都是平衡的；如果載荷只是總體平衡而非各局部均平衡，如圖6所示各種狀況，軸向總變形會(huì)發(fā)生變化嗎？

圖6 載荷分布平衡方式示意圖

解決這類載荷分布狀況比較簡(jiǎn)單的方式是采用疊加方法：

(1)當(dāng)上下表面載荷互換時(shí)，所產(chǎn)生的軸向變形完全相同，所以這兩種載荷疊加后獲得的軸向變形為單獨(dú)載荷狀況的2倍；

(2)疊加后的載荷可以重新分解為與圖4類似的橫向?qū)ΨQ模式的組合，可以采用上節(jié)中的計(jì)算方法得到完全一致的結(jié)果。

可能這種處理方式不是唯一的，但以此為基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生討論是有趣的。

相比上節(jié)限定于原始問題，學(xué)生主動(dòng)想到這類載荷分布狀況的可能性較小，但對(duì)該問題處理的方式體現(xiàn)了利用已有知識(shí)與方法解決新問題的靈活性。

3.3 載荷分布方式引入的位移量級(jí)對(duì)比

與3.1節(jié)不同，在3.2節(jié)中載荷分布模式不僅導(dǎo)致軸向變形，而且伴隨著橫向彎曲變形，其一種分布模式的極端化狀態(tài)如圖7(a)，相當(dāng)于懸臂梁自由端承受集中載荷如圖7(b)(受力簡(jiǎn)圖)。對(duì)于該受力狀態(tài)導(dǎo)致的軸線變形?l仍然可以使用3.2節(jié)的計(jì)算方法，但是需要注意，由于彎曲變形的影響，軸線由直線變?yōu)榍€，在水平x方向(原始軸線方向)自由端也有水平方向位移?A。

圖7 不同方向位移比較示意圖

水平方向位移?A(如圖7(c))也稱為曲率縮短，通過撓曲軸總長(zhǎng)與其水平軸投影之差進(jìn)行計(jì)算[3]，通用計(jì)算公式是泰勒展開的近似表達(dá)

材料力學(xué)中梁彎曲變形的分析基于純彎曲率公式，忽略了剪切影響并在小變形條件下進(jìn)一步簡(jiǎn)化獲得撓曲軸方程。經(jīng)典教材中均提及忽略梁軸線方向的位移[1,4-6](橫力彎曲條件下包括曲率縮短與軸線變形)，但一般都沒有給出各量量級(jí)的討論，此處比較圖7中梁的自由端撓度wA，自由端水平位移?A，以及梁軸線長(zhǎng)度變化?l的量級(jí)，對(duì)于理解基本概念是有益的(為了符合梁彎曲的圖注習(xí)慣，下列公式中載荷作用方向的截面橫向尺寸改為h)

在小變形條件下，各變形(位移)量相對(duì)于梁長(zhǎng)度均為小量，撓度wA是學(xué)生們非常熟悉的量，根據(jù)式(10b)與式(10c)中與wA的比較，水平位移?A與軸線長(zhǎng)度變化?l均為撓度wA的小量，相對(duì)而言

使用彎曲應(yīng)變?chǔ)臡代入式(11a)

以常見彎曲應(yīng)變范圍εM=1.0?4～1.0?3代入式(11b)評(píng)估比值，對(duì)于工程長(zhǎng)梁，一般情況下?A至少比?l大一個(gè)量級(jí)。

梁的橫向位移有非常明顯的長(zhǎng)度放大效應(yīng)，與撓度wA和水平位移?A不同，軸線長(zhǎng)度變化?l與梁的長(zhǎng)度無關(guān)，這是其相對(duì)較小的主要原因。

該部分的討論關(guān)聯(lián)了課程內(nèi)容中的不同章節(jié)，而且需要資料查閱與相關(guān)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，體現(xiàn)了思維訓(xùn)練的深度與廣度，展示了課程內(nèi)容設(shè)計(jì)的“空間大”。

4 小結(jié)

知識(shí)結(jié)構(gòu)與能力培養(yǎng)是專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)的核心表述，課程教學(xué)的目的最終體現(xiàn)在支持學(xué)生學(xué)習(xí)并達(dá)成能力培養(yǎng)。在高階性思維能力的訓(xùn)練環(huán)節(jié)中，教師主導(dǎo)的課程內(nèi)容設(shè)計(jì)是難點(diǎn)：

(1)問題的引入不能完全脫離教材內(nèi)容，須適合大部分學(xué)生水平，從教材內(nèi)容、例題與習(xí)題出發(fā)是最佳途徑；

(2)能夠通過簡(jiǎn)單分析運(yùn)算獲得明確結(jié)論的問題比較好，工程實(shí)際問題影響參數(shù)較多且分析過程過于復(fù)雜更適合課程背景介紹，不宜作為課堂教學(xué)深入研討的內(nèi)容；

(3)問題的討論可以在不同層次展開并關(guān)聯(lián)教材多個(gè)章節(jié)，便于學(xué)生進(jìn)行概念辨析和知識(shí)體系構(gòu)筑。

為了說明主體思路，本文從一個(gè)學(xué)生作業(yè)與問題出發(fā)，展示了批判性思維訓(xùn)練引導(dǎo)過程，希望對(duì)于相關(guān)課程內(nèi)容設(shè)計(jì)有一定參考價(jià)值。