中考探究題解讀

陸小燕

通過探究得到發(fā)現(xiàn)，在驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)正確性的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展應(yīng)用，是近年來中考的熱點(diǎn)題型.現(xiàn)通過典型中考題說明這類問題的特點(diǎn)與解法.

例1（2020·貴州·黔東南）如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形.

（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明;若不全等，請(qǐng)說明理由.

（2）若[B]，[C]，[E]三點(diǎn)不在一條直線上，[∠ADC=30°]，[AD=3]，[CD=2]，求[BD]的長(zhǎng).

（3）若[B]，[C]，[E]三點(diǎn)在一條直線上（如圖2），且[△ABC]和[△DCE]的邊長(zhǎng)分別為1和2，求[△ACD]的面積及[AD]的長(zhǎng).

分析：（1）用“SAS”證明即可;（2）由（1）可得[BD=AE]，用勾股定理得[AE]的長(zhǎng)，即得[BD]的長(zhǎng);（3）如圖2，作[AF⊥CD]于[F]，易得[∠ACD=60°]，由含30°角直角三角形性質(zhì)得[AF]和CF的長(zhǎng)，進(jìn)而得[△ACD]的面積和[AD]的長(zhǎng).

解：（1）全等. ∵[△ABC]和[△DCE]都是等邊三角形，∴[AC=BC]，[DC=EC]，[∠ACB=∠DCE=60°]，∴∠ACE =∠BCD， ∴[△ACE≌△BCD]（[SAS]）.

（2）由（1）可得BD = AE.∵[△DCE]是等邊三角形，∴[∠CDE=60°]，[DE=CD=2].∵[∠ADC=30°]，∴∠ADE = 90°. 又∵[AD=3]，由勾股定理可得AE = [13]， [∴BD=13].

（3）如圖2，過[A]作[AF⊥CD]于[F]，[∵B]，[C]，[E]三點(diǎn)在一條直線上，[△ABC]和[△DCE]都是等邊三角形，∴[∠BCA] = [∠DCE=60°]，∴[∠ACD=60°]，∠CAF = 30°.∵AC = 1，∴CF = [12]，AF = [32]，∴S△ACD= [12]CD × AF = [32]. 由勾股定理得AD =[ 3].

點(diǎn)評(píng)：本題是與三角形相關(guān)的綜合題，解題關(guān)鍵是通過探究發(fā)現(xiàn)[△BCD]與[△ACE]全等得到AE =BD，并靈活運(yùn)用它來解決拓展問題.

例2（2020·山東·德州）問題探究：

小紅遇到這樣一個(gè)問題：如圖3，△ABC中，AB=6，AC=4，AD是中線，求AD的取值范圍. 她的做法是：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE，證明△BED ≌△CAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決.

請(qǐng)回答：（1）小紅證明△BED ≌△CAD的判定定理是： .

（2）AD的取值范圍是 .

方法運(yùn)用：

（3）如圖4，AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，使AE=EF，求證：BF=AC.

（4）如圖5，在矩形ABCD中，[ABBC]=[12]，在BD上取一點(diǎn)F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且[EFBE] = [12]，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，求證：EG =CG.

分析：（1）用“SAS”可判定△BED ≌△CAD;（2）利用（1）中的探究，發(fā)現(xiàn)有BE=AC=4，則問題即可轉(zhuǎn)換為改求2AD即AE的取值范圍，在△ABE中，用三角形三邊關(guān)系定理即可得解;（3）如圖6，運(yùn)用前面得到的“倍長(zhǎng)中線”的方法，延長(zhǎng)AD至H，使AD=DH，連接BH，則△ADC ≌△HDB，得到AC=BH，再證BF=BH即可;（4）從另一個(gè)角度看，圖3又是以BD為中線構(gòu)造△ABE，運(yùn)用這種方法，在圖5中延長(zhǎng)CG至N，使NG=CG，連接EN，CE，NF（如圖7），即可找到解決問題的途徑.

[A][C][D][B][E] [A][E][C][D][B][F] [A][G][D][F][E][B][C]

圖3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖5

解：（1）SAS.（2）1

（3）如圖6，延長(zhǎng)AD至H，使AD=DH，連接BH.

易證△ADC ≌△HDB（SAS），∴AC=BH，∠CAD=∠H. ∵AE=EF，∴∠EAF=∠AFE，∴∠H=∠BFH，∴BF=BH，∴AC=BF.

（4）如圖7，延長(zhǎng)CG至N，使NG=CG，連接EN，CE，NF. ∵點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，∴DG=GF.又∵∠NGF=∠DGC，CG=NG，∴△NGF ≌△CGD（SAS），∴NF=CD，∠NFG=∠CDB.∵[ABAD=ABBC=12]，[EFBE=12]，∴tan∠ADB= [12]，tan∠EBF= [12]，∴∠ADB=∠EBF.∵AD[?]BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠EBF=∠DBC，∴∠EBC=2∠DBC.∵∠EBF + ∠EFB=90°，∠DBC+∠BDC=90°，∴∠EFB=∠BDC=∠NFG，∵∠EBF + ∠EFB + ∠DBC + ∠BDC=180°，∴2∠DBC + ∠EFB + ∠NFG=180°. 又∵∠NFG + ∠BFE + ∠EFN=180°，∴∠EFN=2∠DBC，∴∠EBC=∠EFN.∵[ABBC=CDBC=12=EFBE]，且CD=NF，∴[BEBC=EFNF]，∴△BEC ∽△FEN，∴∠BEC=∠FEN，∴∠NEC=∠BEF=90°，又∵CG=NG，∴EG=[12]NC，∴EG=GC.

點(diǎn)評(píng)：本題在問題探究中，發(fā)現(xiàn)了兩種添加輔助線的方法：一是倍長(zhǎng)中線，二是構(gòu)造以某條線段為中線的三角形. 然后應(yīng)用這兩種方法解決了拓展問題.

（作者單位：江蘇省興化市板橋初級(jí)中學(xué)）