幾何問題函數(shù)解

王友峰

近年來，用函數(shù)來求解的幾何動(dòng)態(tài)試題頻頻出現(xiàn).下面舉例介紹這類試題的特點(diǎn)及解法.

例1（2020·河南）小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)D是弧BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段BC = 8 cm，點(diǎn)A是線段BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF[?]BD，交DA的延長線于點(diǎn)F，當(dāng)△DCF為等腰三角形時(shí)，求線段BD的長度.小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計(jì)算徹底解決，于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)研究此問題.請(qǐng)將下面的探究過程補(bǔ)充完整：

（1）根據(jù)點(diǎn)D在弧BC上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測(cè)量線段BD，CD，F(xiàn)D的長度，得到下表的幾組對(duì)應(yīng)值（單位：cm）.

操作中發(fā)現(xiàn)：①“當(dāng)點(diǎn)D為弧[BC]的中點(diǎn)時(shí)，BD = 5.0 cm”，則上表中[a]的值是 ;

②“線段CF的長度無需測(cè)量即可得到”.請(qǐng)簡要說明理由.

（2）將線段BD的長度作為自變量[x]，CD和FD的長度都是x的函數(shù)，分別記為yCD和yFD，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)yFD的圖象，如圖2所示. 請(qǐng)?jiān)谕蛔鴺?biāo)系中畫出函數(shù)yCD的圖象.

（3）繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出當(dāng)△DCF為等腰三角形時(shí)，線段BD長度的近似值（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

解析：（1）①當(dāng)D為弧BC中點(diǎn)時(shí)，CD = BD = 5.0 cm，∴a = 5.0;②證明CF = BD即可. （2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點(diǎn)、連線得yCD的圖象如圖2.

（3）畫出yCF的圖象，對(duì)△DCF為等腰三角形的情況進(jìn)行分類討論，任意兩邊分別相等時(shí)，即任意兩個(gè)函數(shù)圖象相交時(shí)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為BD的近似值.由（1）知CF = BD = x，畫出yCF = x的函數(shù)圖象，如圖2所示，當(dāng)△DCF為等腰三角形時(shí)，有三種情況：①CF = CD，BD為yCF與yCD函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即BD = 5.0 cm;②CF = FD，BD為yCF與yFD函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即BD = 6.3 cm;③CD = FD，BD為yCD與yFD函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即BD = 3.5 cm.

綜上所述，當(dāng)△DCF為等腰三角形時(shí)，線段BD長度的近似值為3.5 cm或5.0 cm或6.3 cm.

點(diǎn)評(píng)：會(huì)用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象、熟練掌握等腰三角形的分類、準(zhǔn)確確定函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

例2（2020·江蘇·鹽城）以下為一個(gè)合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的過程記錄，請(qǐng)閱讀后完成下方的問題.

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2[2]，在探究三邊關(guān)系時(shí)，通過畫圖、測(cè)量和計(jì)算，收集到一組數(shù)據(jù)如下表：（單位：厘米）

[AC 2.8 2.7 2.6 2.3 2 1.5 0.4 BC 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 AC + BC 3.2 3.5 3.8 3.9 4 3.9 3.2 ]

（2）根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，選取上表中BC和AC + BC的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析：設(shè)BC=x，AC + BC=y，以（x，y）為坐標(biāo)，在如圖3的坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線.

（3）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及所畫的圖象，猜想：當(dāng)x= 時(shí)，y最大.

（4）進(jìn)一步猜想：若Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊AB=2a（a為常數(shù)，a>0），則BC= 時(shí)，AC + BC最大.

（5）圖4中折線B-E-F-G-A是一個(gè)感光元件的截面設(shè)計(jì)草圖，其中點(diǎn)A，B間的距離是4厘米，AG=BE=1厘米. ∠E=∠EFG=∠G=90°. 平行光線從AB區(qū)域射入，∠BNE=60°，線段FM，F(xiàn)N為感光區(qū)域，求當(dāng)EF的長度為多少時(shí)，感光區(qū)域長度之和最大，并求出最大值.

解析：（3）觀察圖象知x=2.

（4）設(shè)BC=x，AC + BC=y，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，有y-x=[4a2-x2]，∴2x2-2xy + y2-4a2=0. ∵關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，∴y2 ≤ 8a2. ∵y>0，a>0，∴y ≤ 2[2]a，當(dāng)y=2[2]a時(shí)，2x2-4[2]ax + 4a2=0，∴x1=x2=[2]a，∴當(dāng)BC=[2]a時(shí)，AC + BC有最大值.

（5）如圖4，延長AM交EF的延長線于C，過點(diǎn)A作AH⊥EF于H，過點(diǎn)B作BK⊥GF于K，交AH于Q. 在Rt△BNE中，∠E=90°，∠BNE=60°，BE=1 cm，∴NE=[33] cm. ∵AM[?]BN，∴∠C=60°，∵∠GFE=90°，∴∠CMF=30°，∴∠AMG=30°. ∵∠G=90°，AG=1 cm，∴GM=[3] cm. ∵∠G=∠GFH=90°，∠AHF=90°，∴四邊形AGFH為矩形，∴AH=FG.∵∠GFH=∠E=90°，∠BKF=90°，∴四邊形BKFE是矩形，∴BK=FE.∵FN + FM=EF + FG-EN-GM=BK + AH-[33]-[3]=BQ + AQ + KQ+ QH-[433]=BQ + AQ + 2-[433]，在Rt△ABQ中，AB=4 cm，由問題（4）可知，當(dāng)BQ=AQ=2[2] cm時(shí)，AQ + BQ的值最大，∴BQ=AQ=2[2]時(shí)，F(xiàn)N + FM的最大值為[42+2-433] cm.

點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是正確畫出函數(shù)圖象，借助圖象直觀得到正確猜想并證明其正確性，再運(yùn)用猜想解決實(shí)際問題.

（作者單位：江蘇省蘇州市蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校）