一種洛倫茲力微機(jī)械諧振磁傳感器建模及數(shù)值仿真?

劉 恒，張 玉，舒進(jìn)華，楊添熠

(南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210044)

磁性傳感技術(shù)由于不受環(huán)境的濕度、污垢、油脂、灰塵以及安裝振動(dòng)的影響，因此磁傳感器在電子儀器儀表和工業(yè)設(shè)備中有著廣泛的應(yīng)用，如鐵磁材料剩余應(yīng)力檢測(cè)、缺陷定位、磁共振成像、流程工業(yè)、煤礦勘探、電流測(cè)量和等方面[1－2]?；贛EMS的磁傳感器具有體積小、功耗低、成本低、性能穩(wěn)定、批量生產(chǎn)和高靈敏等優(yōu)點(diǎn)[1]，傳感器制備材料以硅為主，克服了磁傳感器制備須采用特殊磁性材料及其對(duì)被測(cè)磁場(chǎng)的影響?；诼鍌惼?Lorentz)力的微機(jī)械諧振式磁傳感器通過電容、壓阻和光學(xué)感測(cè)技術(shù)來檢測(cè)磁場(chǎng)。電容檢測(cè)通過表面或體硅微加工工藝實(shí)現(xiàn)，將待測(cè)磁場(chǎng)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)輸出。表面工藝允許電子電路與磁傳感器制作在同一芯片上，溫度依賴性較小[3]。但諧振微結(jié)構(gòu)在常壓封裝下有大的空氣阻尼，需要真空封裝才能提高傳感器靈敏度。壓阻檢測(cè)適于采用體微加工工藝實(shí)現(xiàn)和簡(jiǎn)單的信號(hào)處理系統(tǒng)，但輸出電阻易受溫度影響導(dǎo)致存在電壓偏移，系統(tǒng)中需額外溫度補(bǔ)償電路。利用光敏檢測(cè)技術(shù)制備的磁傳感器具有抗電磁干擾的特性，系統(tǒng)需要測(cè)控電路比其他兩種的少，但檢測(cè)系統(tǒng)存在體積大、難集成缺點(diǎn)。上述檢測(cè)技術(shù)都存在著由焦耳效應(yīng)而導(dǎo)致傳感器結(jié)構(gòu)發(fā)熱諧振頻率漂移問題，因此測(cè)控電路需跟蹤諧振頻率的變化來維持傳感器工作在諧振狀態(tài)[4]。

在微機(jī)械諧振式傳感器模擬驅(qū)動(dòng)控制中，有鎖相環(huán)頻率跟蹤和自激振蕩驅(qū)動(dòng)兩種方案[5－6]。鎖相環(huán)頻率跟蹤控制利用交流電壓作用于驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生交變的靜電力來激勵(lì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)，利用鑒相器來比較驅(qū)動(dòng)電壓和檢測(cè)振動(dòng)信號(hào)的相位差，當(dāng)相位差不滿足期望值時(shí)調(diào)整驅(qū)動(dòng)電壓頻率直至滿足相位差要求。品質(zhì)因數(shù)較小時(shí)，頻率調(diào)整時(shí)間較長(zhǎng)，傳感器動(dòng)態(tài)性能受到壓控振蕩器初始頻率和濾波器等影響。需配合微機(jī)械諧振傳感器的固有頻率來對(duì)集成的鎖相環(huán)芯片選型。自激振蕩利用上電隨機(jī)噪聲產(chǎn)生靜電力來激勵(lì)微結(jié)構(gòu)振梁，在真空封裝下，微結(jié)構(gòu)等效為一個(gè)高品質(zhì)因數(shù)的帶通濾波器，通過不斷的反饋來增大靜電驅(qū)動(dòng)力和振動(dòng)幅度[7]。品質(zhì)因數(shù)越大，選頻特性越好，頻率跟蹤特性更好[8]。品質(zhì)因數(shù)小，難起振穩(wěn)定。本文設(shè)計(jì)了一種洛倫茲力微機(jī)械諧振磁傳感器，并推導(dǎo)了傳感器靈敏度解析表達(dá)式，針對(duì)傳感器頻率跟蹤要求，分析基于鎖相環(huán)的頻率跟蹤電路并利用平均周期法分析了電路穩(wěn)定性要求及結(jié)構(gòu)、電路參數(shù)對(duì)頻率跟蹤的影響。

1 洛倫茲力微機(jī)械諧振磁傳感器

洛倫茲力微機(jī)械諧振式磁場(chǎng)傳感器表芯包括結(jié)構(gòu)層和電極層。結(jié)構(gòu)層包括上下、左右對(duì)稱的四個(gè)支撐結(jié)構(gòu)振動(dòng)的錨點(diǎn)F41、F42、F43、F44，4個(gè)多級(jí)折疊梁E31、E32、E33、E34分別依附于4個(gè)錨點(diǎn)上懸空。一個(gè)倒“工”字型的微機(jī)構(gòu)質(zhì)量塊M的4個(gè)末端分別與4個(gè)多級(jí)折疊梁連接。在支撐梁的支撐下，質(zhì)量塊懸空，質(zhì)量塊有阻尼孔，上下、左右對(duì)稱，質(zhì)量塊垂直方向附有懸空平板。檢測(cè)電容4個(gè)錨點(diǎn)D21、D22、D23、D24固定，4個(gè)錨點(diǎn)分別連接有懸空的平板，質(zhì)量塊附著的平板與檢測(cè)電容錨點(diǎn)連接的平板構(gòu)成檢測(cè)電容，其中D21和D22為上下對(duì)稱的一組，D23和D24也為上下對(duì)稱的一組，當(dāng)質(zhì)量塊M沿X軸左右移動(dòng)時(shí)，一組電容增大，則另一組電容減小，構(gòu)成差分檢測(cè)電容對(duì)。質(zhì)量塊M左右振動(dòng)時(shí)，為了限制折疊梁幅度過大失效，A1和A2為對(duì)應(yīng)的水平止檔錨點(diǎn)，在A1和A2的中部設(shè)置有止檔板，結(jié)構(gòu)層見圖1。

圖1 洛倫茲力微機(jī)械諧振傳感器結(jié)構(gòu)層示意圖

洛倫茲力微機(jī)械諧振傳感器在應(yīng)用中電極連接及接口電路見圖2，錨點(diǎn)F41和F43通過電極層連接在一起，錨點(diǎn)F42和F44通過電極層也連接在一起；檢測(cè)電容錨點(diǎn)D21和D22也通過電極層連接，D23和D24也連接。當(dāng)存在沿X軸方向的磁場(chǎng)時(shí)，直流偏置電壓V B與交流電壓V C(t)差分偏置作用于上下兩組錨點(diǎn)上，連接見圖2。當(dāng)存在垂直紙面方向變化磁場(chǎng)B時(shí)，微結(jié)構(gòu)存在Y軸方向的自上向下電流，根據(jù)左手定則，質(zhì)量塊M受到洛倫茲力的作用左右振動(dòng)。

圖2 洛倫茲力微機(jī)械諧振傳感器接口電路

根據(jù)原理，質(zhì)量塊M受到的洛倫茲力F(t)為:

式中:B(t)為待測(cè)磁場(chǎng)，T；i(t)為電流，A；L為電流在垂直方向的微結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度，m，微結(jié)構(gòu)尺寸和電壓加載方式確定后，L就為已知量。在洛倫茲力作用下，微結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移x(t)，m，有:

式中:m為微結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量，kg；c為封裝后的阻尼系數(shù)；k為4個(gè)多級(jí)折疊梁的等效剛度，N/m。微結(jié)構(gòu)的固有諧振頻率f0，Hz，ωn為角頻率，rad/s，表示為:

當(dāng)激勵(lì)電流頻率與微機(jī)構(gòu)固有頻率一致時(shí)，微結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移x(t)表示為:

式中:Q為封裝后的品質(zhì)因數(shù)，反比于阻尼系數(shù)c。微結(jié)構(gòu)質(zhì)量塊M上的平板與檢測(cè)電容錨點(diǎn)上的平板構(gòu)成差分檢測(cè)電容。差分檢測(cè)電容C1對(duì)應(yīng)左邊上下電容對(duì)，檢測(cè)電容C2對(duì)應(yīng)右邊上下電容對(duì)，檢測(cè)電容表示為:

對(duì)應(yīng)差分檢測(cè)電容ΔC為:

式(5)～式(7)中:N為檢測(cè)電容平板對(duì)數(shù)量，ε為空氣介電常數(shù)，S為1對(duì)平板的交疊正對(duì)面積，m2；d0為平板對(duì)初始極板間距，m。檢測(cè)電容通過電荷放大器和差分放大器輸出對(duì)應(yīng)電壓V0(t)。

式中:C P為接口電荷放大器反饋電容，F(xiàn)；α為差分放大器的比例放大系數(shù)。當(dāng)微結(jié)構(gòu)和接口電路等效電阻為R時(shí)，對(duì)應(yīng)流過微結(jié)構(gòu)的電流i(t)為:

結(jié)合式(1)、(4)、(8)、(9)，微結(jié)構(gòu)諧振狀態(tài)下輸出電壓V0(t)為:

式(10)對(duì)待測(cè)磁場(chǎng)B(t)求導(dǎo)，得到靈敏度β，V/T為:

根據(jù)式(11)有，靈敏度β與微結(jié)構(gòu)本身的折疊梁剛度k，封裝制品因數(shù)Q，初始檢測(cè)電容C0，平板間距d0，電流方向的微結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度L，微結(jié)構(gòu)接口等效電阻R有關(guān)。封裝后可以通過調(diào)節(jié)反饋電容C P，加載的直流偏置電壓V B與交流電壓V C(t)的幅值及差分放大器的放大系數(shù)α來改變靈敏度。傳感器要求輸出具有良好的線性度，就要求控制上述參數(shù)不變。

2 基于鎖相環(huán)的傳感器諧振頻率跟蹤控制

洛倫茲力微機(jī)械諧振磁傳感器需要測(cè)控電路維持微機(jī)械諧振，測(cè)控電路產(chǎn)生的洛倫茲力變化頻率跟蹤微結(jié)構(gòu)由于應(yīng)力、溫度、振動(dòng)幅度與頻率的耦合等導(dǎo)致的諧振頻率漂移?；阪i相環(huán)的測(cè)控電路信號(hào)轉(zhuǎn)換圖見圖3，微結(jié)構(gòu)在洛倫茲力作用下發(fā)生振動(dòng)產(chǎn)生位移，通過檢測(cè)電容將結(jié)構(gòu)位移轉(zhuǎn)換為檢測(cè)電容變化，通過電荷放大器和差分放大器實(shí)現(xiàn)檢測(cè)電壓的輸出。輸出電壓為正余弦變化的電信號(hào)，差分放大器調(diào)節(jié)增益系數(shù)α得到鎖相環(huán)需要的電壓幅值。鎖相環(huán)(Phase lock loop)一般包括3個(gè)模塊:鑒相器(PD)、低通濾波器(LPF)、壓控振蕩器(VCO)。由于洛倫茲力與微結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移相位差為90°，鎖相環(huán)實(shí)現(xiàn)輸出電壓V0(t)與驅(qū)動(dòng)交流V C(t)保持90°相位差。壓控振蕩器輸出幅度恒定的余弦波電壓加載在微結(jié)構(gòu)上。

圖3 洛倫茲力微機(jī)械諧振傳感器信號(hào)轉(zhuǎn)換圖

為了便于分析，將圖3所示的信號(hào)轉(zhuǎn)換合并，得到圖4的動(dòng)力學(xué)分析框圖，在接口電路基礎(chǔ)上增加了鎖相環(huán)。為了改善頻率跟蹤的動(dòng)態(tài)特性，在濾波器后增加了積分環(huán)節(jié)。

圖4 洛倫茲力微機(jī)械諧振傳感器系統(tǒng)分析模型

根據(jù)圖4，洛倫茲力F(t):

式中:V d、θ、ω依次為壓控振蕩器輸出的交流電壓的幅度、相位、頻率，F(xiàn)為洛倫茲力的幅度，可表示為:

當(dāng)待測(cè)磁場(chǎng)在某時(shí)刻確定時(shí)，其他參數(shù)也確定，F(xiàn)是固定的。壓控振蕩器相位θ為:

式中:z為輸入受控電壓，kvco是電壓－頻率轉(zhuǎn)換系數(shù)，在限定范圍內(nèi)，壓控振蕩器輸出電壓的頻率與輸入控制電壓有線性關(guān)系，ω0為壓控振蕩器初始角頻率。相位θ表示為:

相位差經(jīng)過積分控制器調(diào)節(jié)后有:

式中:k I為積分系數(shù)，控制器調(diào)節(jié)性能參數(shù)。鑒相器為異或門，u1(t)、u2(t)為輸入信號(hào)，UP和DOWN為輸出。鑒相器輸出方波幅度為U d，輸入信號(hào)相位差為?，y為濾波器輸出信號(hào)，為濾波時(shí)間常數(shù)，有:

根據(jù)圖4及式(12－17)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為:

假設(shè)振動(dòng)位移x(t)為幅度和相位時(shí)變的[9]，有:

結(jié)合式(19)和方程組(18)，求解有:

結(jié)合慢時(shí)變系統(tǒng)的特性，用平均周期法近似化簡(jiǎn)式(20)和(21)，有:

對(duì)式(16)、式(17)、式(22)、式(23)關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)并令為0，有平衡點(diǎn):

對(duì)式(24)除以B(t)就得到傳感器的靈敏度，靈敏度與微結(jié)構(gòu)等效剛度k、諧振頻率ωn等有關(guān)。在平衡點(diǎn)對(duì)方程組(18)線性化，Jacobian矩陣為:

矩陣對(duì)應(yīng)特征方程為:

式中:特征值為λ。根據(jù)勞思判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定條件是各系數(shù)大于0，同時(shí)滿足:

化簡(jiǎn)求解后有:

改變積分控制器的系數(shù)k I來調(diào)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。分析不同系數(shù)下特征值在s平面上分布情況可確定積分系數(shù)對(duì)改變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能的影響。在k I為0時(shí)，系統(tǒng)具有四個(gè)極點(diǎn)，分別是:s1＝－ζ，s2＝－ωn/2Q，s3＝－ωn/2Q，s4＝0，其中極點(diǎn)s2為固定的極點(diǎn)，在k I增大的過程中，極點(diǎn)s1不斷遠(yuǎn)離虛軸，系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間變短，其他各極點(diǎn)也將不斷變化，達(dá)到臨界值后將出現(xiàn)跟蹤頻率的振蕩。

3 微機(jī)械諧振式磁傳感器的閉環(huán)數(shù)值仿真

為了對(duì)平均周期法定量分析的鎖相環(huán)頻率跟蹤測(cè)控電路進(jìn)行驗(yàn)證，在MATLAB/Simulink下建立鎖相環(huán)頻率跟蹤測(cè)控電路數(shù)值模型。微結(jié)構(gòu)參數(shù)根據(jù)版圖設(shè)計(jì)確定，微結(jié)構(gòu)層由單晶硅摻雜濃硼深刻蝕，電極層由金濺射到玻璃上，結(jié)構(gòu)層和電極層通過陽極鍵合在一起[10]。封裝環(huán)境為低真空度封裝，有限元仿真確定封裝品質(zhì)因數(shù)，數(shù)值模型仿真見圖5，模型參數(shù)見表1。

圖5 洛倫茲力微機(jī)械諧振磁場(chǎng)傳感器仿真模型

表1 傳感器及測(cè)控電路參數(shù)

根據(jù)式(28)，結(jié)合圖5和表1參數(shù)計(jì)算得到臨界k I為17.76。由于微結(jié)構(gòu)在振動(dòng)中存在溫度的變化造成諧振頻率的偏移[11]，等效為結(jié)構(gòu)剛度的變化。在數(shù)值模型中加入了振梁機(jī)械剛度在2 s由0階躍變化到40 N/m，見圖6，測(cè)試系統(tǒng)頻率跟蹤的性能[12]。

圖6 剛度擾動(dòng)

外部磁場(chǎng)輸入利用仿真時(shí)鐘疊加進(jìn)入并線性增大，在仿真時(shí)間5 s內(nèi)由0逐漸增加到1.25 T，見圖7，模擬外部不斷變化的磁場(chǎng)。

圖7 輸入的待測(cè)磁場(chǎng)

圖8為k I為15時(shí)的頻率跟蹤仿真曲線，滿足約束等式(27)，在剛度擾動(dòng)下，諧振頻率從10 kHz變化到8.944 kHz，頻率跟蹤曲線穩(wěn)定；圖9為k I為30時(shí)的頻率跟蹤仿真曲線，不滿足約束等式(27)，頻率跟蹤曲線一直振蕩，微結(jié)構(gòu)幅度振蕩，k I越大，振蕩越厲害，仿真與理論分析一致。

圖8 滿足約束條件的頻率跟蹤(k I＝15)

圖9 不滿足約束條件的頻率跟蹤(k I＝30)

圖10為滿足約束等式的鑒相器輸出電壓，在2 s前，頻率跟蹤穩(wěn)定，相位差恒定；當(dāng)頻率跳變后，鑒相器相位差發(fā)生變化，測(cè)控電路不斷調(diào)整直到差值恒定。圖11為對(duì)應(yīng)的激勵(lì)交流電壓，幅度恒定5 V，但頻率根據(jù)微結(jié)構(gòu)諧振頻率變化。鑒相器差值和交流驅(qū)動(dòng)電壓的仿真與電路期望一致，驗(yàn)證理論分析正確性。

圖10 鑒相器對(duì)應(yīng)的相位差

圖11 激勵(lì)交流電壓

在圖6的剛度擾動(dòng)和圖7的待測(cè)電場(chǎng)激勵(lì)下，圖12為檢測(cè)輸出電壓，中間線為仿真輸出時(shí)域電壓曲線，邊緣頂線(理論)為根據(jù)平衡點(diǎn)ˉa0計(jì)算的幅值；圖13為激勵(lì)磁場(chǎng)反向減小對(duì)應(yīng)檢測(cè)輸出電壓，中間線為仿真的時(shí)域電壓曲線，邊緣頂線(理論)為平衡點(diǎn)ˉa0計(jì)算的幅值，兩種情況仿真和理論分析完全一致，在2 s處均存在頻率跟蹤的漸穩(wěn)現(xiàn)象。

圖12 微結(jié)構(gòu)在不同磁場(chǎng)下的諧振幅度(正向)

圖13 微結(jié)構(gòu)在不同磁場(chǎng)下的諧振幅度(反向)

在滿足式(28)且壓控振蕩器初始頻率ω0不同，初始頻率越小，跟蹤穩(wěn)定時(shí)間越長(zhǎng)，頻率穩(wěn)定后，再次跟蹤過程相同，頻率跟蹤過程見圖14；當(dāng)積分系數(shù)k I滿足式(28)，積分系數(shù)越小，跟蹤時(shí)間越長(zhǎng)，見圖15，積分系數(shù)太小，難以滿足快速跟蹤要求；濾波器時(shí)間常數(shù)ξ越小，濾波特性越好，過大的時(shí)間常數(shù)會(huì)導(dǎo)致頻率跟蹤的過沖及振蕩，見圖16。仿真實(shí)驗(yàn)表明平均周期法分析鑒相器為異或門的鎖相環(huán)測(cè)控電路的正確性，為后續(xù)硬件電路調(diào)試提供了基礎(chǔ)。

圖14 不同初始頻率的頻率跟蹤

圖15 不同積分系數(shù)的頻率跟蹤

圖16 不同濾波器時(shí)間常數(shù)的頻率跟蹤

4 結(jié)論

建立了洛倫茲力微機(jī)械諧振式磁傳感器的動(dòng)力學(xué)分析模型，并針對(duì)設(shè)計(jì)的傳感器建立了鑒相器為異或門的鎖相環(huán)測(cè)控電路數(shù)值仿真模型。針對(duì)傳感器系統(tǒng)的高階和非線性問題，利用平均周期法結(jié)合各模塊的狀態(tài)方程，推導(dǎo)了頻率跟蹤的鎖相環(huán)積分器約束條件和系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn)。數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)定量的驗(yàn)證了頻率的跟蹤穩(wěn)定需滿足積分系數(shù)的約束要求，同時(shí)與接口電路的一些參數(shù)無關(guān)，穩(wěn)態(tài)平衡點(diǎn)的仿真結(jié)果與理論分析一致。頻率跟蹤動(dòng)態(tài)過程與壓控振蕩器初始頻率ω0、積分系數(shù)k I、濾波器時(shí)間常數(shù)ξ有關(guān)。