多徑環(huán)境下聯(lián)合時間反演和PCA 降維的陣列幅相誤差校正

李方偉，魯佳文，王明月

（重慶郵電大學通信與信息工程學院，重慶 400065）

1 引言

波達方向（DOA,direction of arrival）估計是陣列信號處理中的一個重要研究課題，在雷達、聲吶、通信和醫(yī)療等領域發(fā)揮著重要作用[1-3]。DOA 估計算法主要分為傳統(tǒng)法、子空間法和最大似然法，其中，子空間法因具有高分辨性的顯著優(yōu)勢受到了產(chǎn)業(yè)界和學術界的廣泛研究。在實際應用場景中，接收陣列流型往往會存在一定的幅度誤差和相位誤差，即幅相誤差。而子空間法的高分辨率依賴于精確獲知接收陣列先驗信息，陣列幅相誤差的出現(xiàn)會惡化此類方法的DOA 估計性能[4-5]。因此，如何有效降低或消除幅相誤差對子空間法DOA 估計的影響仍是一項重要且具有挑戰(zhàn)性的任務。

針對陣列幅相誤差導致子空間法DOA 估計不精確的問題，目前已提出多種校正方法，主要分為兩類。第一類是自校正類方法，這類方法根據(jù)某種優(yōu)化準則聯(lián)合估計信號源的方位和陣列幅相誤差擾動因子。其優(yōu)勢在于不需要設置方向及角度已知的輔助陣元，但需要求解高維、多模的非線性優(yōu)化問題，求解過程計算復雜度高且無法保證全局收斂。第二類是有源校正類方法，該類方法通過設置方向角度精確已知的輔助陣元對陣列誤差參數(shù)進行測量或估計。其優(yōu)勢在于誤差校正精度較高且計算復雜度相對較低，但需要設置已知方位信息的輔助陣元。有源校正類方法具有較高校正精度和較低計算復雜度，在實際工程中得到了廣泛的應用，本文也將研究此類方法。

同時，有源校正類方法與自校正類方法大都以信號源非相干條件為前提，很少考慮信號源的多徑傳播問題。然而，在實際的無線通信環(huán)境中無法完全避免多徑傳播，尤其是在富散射環(huán)境中多徑效應使信號源相干性大大增強，此時相干信號源的存在將導致陣列幅相誤差校正性能不理想[6]。國內外學者針對多徑環(huán)境下的幅相誤差校正問題進行了研究，王布宏等[7]構造了一個多徑環(huán)境中的陣列幅相誤差校正代價函數(shù)，并通過遺傳算法實現(xiàn)了陣列幅相誤差校正。王鼎等[8]研究了多徑條件下針對乘性陣列誤差參數(shù)的有源陣列校正算法，并推導了不同矩陣模型的求解公式。Sippel 等[9]提出了一種使用非相干發(fā)射標校正耦合誤差的校正算法，該算法通過采用陣列近場內隨機參考點定標以減少多徑效應的影響。但上述算法存在計算復雜度較高或誤差校正精度較低等問題，設計適用于多徑環(huán)境的復雜度低且校正精度高的算法是目前的研究難點。

時間反演（TR,time reversal）利用時間反演信道的脈沖響應作為發(fā)射機的匹配濾波器，借助周圍環(huán)境豐富的多徑實現(xiàn)了空時同步聚焦[10-11]?；谶@一聚焦特性，將TR 技術應用于復雜多徑環(huán)境中能有效抑制多徑效應并降低信號源的相干性，進而提高陣列幅相誤差校正算法的精度。在上述分析的基礎上，本文結合主成分分析（PCA,principal component analysis）提出了一種適用于多徑環(huán)境的TR降維陣列幅相誤差校正算法，該算法通過TR 技術有效抑制了多徑效應，減小了算法的均方根誤差并提升了算法的分辨率，同時利用PCA 思想降低了算法的復雜度，進一步優(yōu)化了系統(tǒng)性能。

2 系統(tǒng)模型

本文所提陣列幅相誤差校正算法以多徑環(huán)境下的陣列幅相誤差校正模型為應用場景，如圖1 所示。圖1 中包括一組陣元數(shù)目為M的均勻線性陣列，前P個陣元是精確校正過的（即輔助陣元）。為避免產(chǎn)生陣元間干擾，將每個陣元的間距設置為相干距離d=λ/2，陣元與目標物體之間的多徑條數(shù)為K。整個傳輸信道為頻率選擇性衰落信道，衰落系統(tǒng)服從于均值為0、方差為 2σ2（σ2為每個實數(shù)維上的方差）的循環(huán)對稱復高斯分布。

圖1 多徑環(huán)境下的陣列幅相誤差校正模型

首先，天線陣列中已精確校正過的陣元對傳播空間發(fā)射一個已知的探測信號，目的是獲取傳播空間中的信道狀態(tài)信息；然后，陣列第m個陣元接收到的信號可表示為

其中，rm(t)為基站天線陣列中第m個陣元所接收到的回傳信號，Xk為第k條多徑信號的衰減系數(shù)，f(t-τ1,k-?τ1,m,k)為信號f(t)的時延，τ1,k為多徑k相對于第一個陣元的參考時延，?τ1,m,k為多徑k中超過τ1,k的陣元間時延，nm(t)為傳播過程中產(chǎn)生的加性白高斯噪聲。

對接收到的信號進行傅里葉變換，式(1)可以表示為

其中，Rm(ω)、F(ω)和Nm(ω)分別是rm(t)、f(t)、和nm(t)的傅里葉變換形式。改寫成更緊湊的向量形式為

3 算法設計

本節(jié)主要從相干性消除、導向矢量修正和PCA降維誤差校正三方面對所提算法進行闡述。

3.1 TR 消除信號相干性

通過TR 技術對R(ω)進行頻域共軛和能量歸一化處理可得

其中，g為能量歸一化因子，計算式為

首先，簡化多徑環(huán)境。設陣元數(shù)M=3，多徑數(shù)目K=2，陣列的第一個陣元發(fā)送前向探測信號。由式(9)可得

3.2 存在誤差的導向矢量修正

3.1 節(jié)介紹了無誤差陣列DOA 估計模型。但在實際工程應用中，陣列會普遍存在誤差，且大都是幅相誤差，本節(jié)主要分析含有幅相誤差的陣列誤差校正模型。設第n個陣元的幅度誤差為μn，第n個陣元的相位誤差為φn。設前P個陣元沒有誤差，將第一個無誤差陣元作為參考陣元，幅相誤差矢量可以表示為

其中，幅度誤差μn和相位誤差φn為[13]

其中，βn和ηn都服從[-0.5,0.5]的均勻分布，σμ和σφ分別是相應的方差。當幅相誤差存在時，陣列導向矢量需要修正為

其中，E(θk)為幅相誤差對角矩陣。相應地，當存在幅相誤差時，陣列流型矩陣則需被修正為

經(jīng)過精確校正后的陣元不存在誤差，因此這些陣元所對應的幅相誤差矢量中相應的值為1。為便于處理，將幅相誤差對角矩陣和陣列導向矢量進行如下分塊變換。

其中，vecd(·) 表示把括號里面的對角矩陣的主對角元素重構成列向量；a1(θ)表示a(θ)中前P個精確校正過的陣元所對應的導向矢量，a2(θ)表示a(θ)中M-P個存在幅相誤差的陣元所對應的導向矢量。至此，修正后的陣列導向矢量可以表示為

3.3 PCA 降維誤差校正

4 仿真分析

4.1 空間譜分析

本節(jié)采用MATLAB 工具對本文所提算法進行仿真驗證，在實驗中所設置的天線陣元數(shù)M=10，每個陣元間距為dmin=λ/2，dmin是信號的最小波長。在TR 前向探測階段中，探測信號的調制方式為線性頻率調制，載波頻率fc=200 MHz，帶寬B=20 MHz，其他參數(shù)如傳播時延和衰減因子等根據(jù)IEEE 802.3 標準中的參數(shù)設置。為確定PCA 降維之后的維數(shù)，本文分別仿真了不同維度下的均方根誤差（RMSE,root mean square error）、分辨成功率及運行時間并制成散點圖，最后用MATLAB 工具擬合成光滑曲線。本節(jié)所有仿真都根據(jù)蒙特卡羅方法來模擬實際場景，一般蒙特卡羅仿真次數(shù)設置為500 次，以使仿真具有可靠性和穩(wěn)健性。定義角度估計階段的RMSE 為

其中，T為蒙特卡羅仿真次數(shù)，θt為真實DOA 值，為第t次試驗中第n個信號的DOA 估計值。

分別對不同維數(shù)下所提算法的均方根誤差、運行時間和分辨成功率進行仿真（主要通過設置不同的維數(shù)來獲取仿真結果），結果如圖2 和圖3所示。

圖2 所提算法在不同維數(shù)下的均方根誤差與運行時間

圖3 所提算法在不同維數(shù)下的分辨成功率和運行時間

從圖2 和圖3 中可以看出，隨著維數(shù)增加本文所提算法的均方根誤差逐漸減少且分辨成功率逐漸增加，這是因為，維數(shù)越低PCA 步驟中的重構矩陣Rnew所含關鍵信息越少，進行估計時誤差越大；算法的計算量也會隨著矩陣維數(shù)的降低而變少，相應地，算法的運行時間將會降低。

綜合考慮均方根誤差、分辨成功率和運行時間3 種因素之后，本文算法將PCA 降維之后的維數(shù)設置為6。維數(shù)為6 時算法的均方根誤差較低，分辨成功率能達到80%以上且運行時間在可接受范圍內。為了對比算法性能，仿真中還加入了傳統(tǒng)ISM算法和文獻[14]所提的ESPRIT-ISM 算法作為對比。ESPRIT-ISM 算法在幅相誤差校正中的應用場景與本文算法十分接近，校正效果可觀且復雜度不高，在近幾年相關的校正算法中有較強的代表性。

誤差校正前后的空間譜如圖4 所示。在此仿真實驗中，信噪比SNR=0，入射信號真實角度值設置為{-20?,0?,20?}，幅度誤差服從均值為0、方差為σμ=0.4的隨機分布，相位誤差服從均值為0、方差為σφ=20的隨機分布。

圖4 誤差校正前后的空間譜

從圖4 可以看出，由于存在幅相誤差，校正前的信號空間譜幅度比校正后的幅度小，且譜峰不如校正后尖銳，同時校正前的信號的譜峰最大值所對應的入射角度與真實角度間存在偏移。采用所提算法對信號進行校正以后，信號空間譜的峰值幅度更明顯且譜峰也更加尖銳，與真實入射角的值更加接近，驗證了所提算法的誤差校正效果。

4.2 誤差與分辨成功率

在進行誤差分析前，需要引入一個對比參考量，即克拉美羅下界（CRLB,Cramer-Rao lower bound）。CRLB 用于計算無偏估計中能夠獲得的最佳估計精度，可為任何無偏估計量的方差確定一個下限，即不可能求得方差小于下限的無偏估計量，本文所設計系統(tǒng)的估計誤差只能無限接近這個下限，在理想狀況下可以達到這個下限值，與CLRB 越接近，估計的性能越好。定理1 用于求解本文理論CRLB。

定理1任何無偏估計量的方差必滿足

由于本文估計量?θ也是無偏估計量（證明詳見附錄1），根據(jù)上述定理可以得到所提算法的CRLB 為

其中，E為導數(shù)矩陣，如式(48)所示。

本文所提算法在不同多徑條件下的均方根誤差隨信噪比的變化如圖5 所示。從圖5 可以看出，所提算法在多徑數(shù)為4 時已經(jīng)有較好性能。但隨著信噪比上升，多徑數(shù)的增加對算法性能的提升并不明顯，此時不同多徑條件下的均方根誤差曲線接近重合。為了保證算法的有效性和運行效率，在后續(xù)仿真中將多徑數(shù)設為4。

圖5 所提算法在不同多徑條件下的均方根誤差隨信噪比的變化

傳統(tǒng)ISM 算法、ESPRIT-ISM 算法和所提算法在多徑數(shù)為4 時均方根誤差隨信噪比的變化如圖6 所示。從圖6 中可以看出，在低信噪比情況下，所提算法的誤差比另外2 種算法低。3 種算法的均方根誤差都會隨著信噪比的增加而下降，但所提算法利用TR 技術獨特的空時聚焦特性有效抑制了多徑效應，在多徑環(huán)境下可以降低信號源相干性，因此均方根誤差始終與CRLB 最靠近。

圖6 均方根誤差隨信噪比的變化

分辨成功率與信噪比以及快拍數(shù)的變化關系分別圖7 和圖8 所示。定義每次估計的角度值與真實值相差小于±1°時為分辨成功。從圖7 和圖8 中可以看出，3 種算法的分辨成功率都會隨著信噪比和快拍數(shù)的增加而提升。但是在低信噪比和低快拍數(shù)區(qū)域，影響算法性能的主要因素是多徑時延擴展及對信號源位置信息的捕獲程度。由于所提算法運用TR 技術的聚焦特性來獲取目標的多徑信息，并有效降低了多徑效應的作用，在低信噪比和低快拍數(shù)情況下的分辨成功率也能達到較高水平。但隨著信噪比和快拍數(shù)的增加，多徑效應對系統(tǒng)性能的影響不再占有主導地位，3 種算法的分辨成功率達到近似水平。

圖7 分辨成功率隨信噪比的變化

圖8 分辨成功率隨快拍數(shù)的變化

4.3 校正誤差估計值對照

表1～表4 是使用所提算法后，在信噪比SNR=0 和SNR=10 dB 情況下的幅度誤差估計值及相位誤差估計值與所對應的真實值之間的對照。陣元編號為5～10，前4 個陣元作為參考陣元（不存在誤差）。從表1～表4 可以看出，所提算法能有效估計幅度誤差與相位誤差，且誤差估計值和誤差真實值之間的差距會隨著信噪比的增加而減少。

表1 幅度誤差估計值對比（SNR=0）

表2 幅度誤差估計值對比（SNR=10 dB）

表3 相位誤差估計值對比（SNR=0）

表4 相位誤差估計值對比（SNR=10）

4.4 復雜度分析

計算復雜度是衡量算法性能的一個重要指標，本節(jié)主要分析3 種算法的復雜度，其中一次復數(shù)乘法作為一個計算復雜度的單位。3 種算法所對應的主要計算復雜度如表5 所示，其中，M、N、L、Q分別是天線陣元數(shù)、待估計的信號數(shù)、采樣快拍數(shù)和PCA 降維后的維數(shù)。

從表5 可以看出，3 種算法的主要計算復雜度來源于特征分解和求協(xié)方差矩陣，特征運算會產(chǎn)生約M3的計算復雜度，TR 部分產(chǎn)生的主要計算復雜度為4MN。所提算法在PCA 降維部分會多進行一次特征運算，但降維之后維數(shù)發(fā)生改變，相應地，算法的復雜度也會改變，總體來看，所提算法的計算復雜度低于對比算法。

表5 不同算法的主要計算復雜度

5 結束語

針對多徑環(huán)境下信號源相干性增強從而使幅相誤差校正算法精度不高的問題，本文提出了一種基于TR 的PCA 降維幅相誤差校正算法。首先通過TR 技術抑制多徑效應以降低DOA 信號源的相干性；然后通過PCA 使TR 重構矩陣維數(shù)降低以減少計算量；最后推導出相應的DOA 參數(shù)和誤差的表達式，并對含有幅相誤差的信號進行校正分析。仿真結果表明，所提算法能夠以較低復雜度對陣列幅相誤差進行有效校正，且在低信噪比和低快拍數(shù)情況下也能保持較高的分辨成功率。

附錄1 算法無偏估計量的證明

將本文算法的估計量記作θ?，將每次估計的值記作為估計量的均值，并將真實方差記作σ2，真實均值記作μ。若此時用式(49)來估計總體方差

求式(50)的均值，可表示為

由式(53)可知，E(s2)為σ2的無偏估計，即所提算法估計量為θ的無偏估計量。

證畢。