對(duì)拉普拉斯變換的教學(xué)理解

楊晶

[摘? ? ? ? ? ?要]? 拉普拉斯變換是本科常微分方程教學(xué)中的一個(gè)基本理論，也是研究生數(shù)學(xué)物理方程教學(xué)中的重點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于微分方程的求解中。從拉普拉斯變換的定義及拉普拉斯變換在微分方程求解中應(yīng)用的角度對(duì)拉普拉斯變換進(jìn)行認(rèn)識(shí)，從而幫助學(xué)生更好地理解及掌握拉普拉斯變換這一知識(shí)點(diǎn)。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 拉普拉斯變換;應(yīng)用;教學(xué);微分方程

[中圖分類號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2021）11-0164-02

隨著18世紀(jì)傳統(tǒng)力學(xué)的蓬勃發(fā)展，在物理學(xué)的研究中產(chǎn)生了大量的微分方程，而對(duì)這些微分方程的研究受到了眾多學(xué)者的關(guān)注。拉普拉斯變換，作為解決電工計(jì)算中遇到的一些基本問(wèn)題應(yīng)運(yùn)而生。拉普拉斯變換是一種簡(jiǎn)化微分方程的“運(yùn)算”，可將復(fù)雜的微積分計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)計(jì)算，是研究和求解微分方程的一種簡(jiǎn)便方法，為工程技術(shù)工作者所普遍采用，在電學(xué)、力學(xué)及自動(dòng)控制等科學(xué)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。下面我們將從一個(gè)教師的角度，針對(duì)拉普拉斯變換的定義、性質(zhì)及應(yīng)用闡述關(guān)于教學(xué)的思考和理解。

一、拉普拉斯變換的定義與性質(zhì)

在進(jìn)行拉普拉斯變換的教學(xué)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)傅里葉變換[1-2]的相關(guān)知識(shí)。怎么從傅里葉變換過(guò)渡到拉普拉斯變換，或者說(shuō)怎么引入拉普拉斯變換是教師在教學(xué)中應(yīng)該要思考的問(wèn)題。傅里葉變換的重要性毋庸置疑，它將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換為易于分析的頻域信號(hào)，是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法，也是求解微分方程的重要手段。但是在學(xué)習(xí)傅里葉變換時(shí)，我們已經(jīng)知道進(jìn)行傅里葉變換的函數(shù)除了要求滿足狄利克雷條件外，還必須在整個(gè)實(shí)數(shù)域上絕對(duì)可積。但在物理、無(wú)線電技術(shù)等實(shí)際應(yīng)用中，許多以時(shí)間t為自變量的函數(shù)在t<0時(shí)是無(wú)意義的，或者說(shuō)對(duì)于有些函數(shù)是不需要考慮t<0時(shí)的情形的。這樣，傅里葉變換的應(yīng)用范圍就受到很大限制。怎樣弱化這些限制就顯得尤為重要，而且這也是值得學(xué)生探討和思考的問(wèn)題。

前面已經(jīng)提到過(guò)傅里葉變換是特殊的拉普拉斯變換，傅里葉變換自法國(guó)數(shù)學(xué)家Joseph Fourier于1801年解釋圓環(huán)面周圍熱流動(dòng)時(shí)首次提出之后，成為許多學(xué)科用來(lái)解決無(wú)界區(qū)域上同方程有關(guān)的定解問(wèn)題的一個(gè)重要工具[5]。它的重要性和適用的廣泛性在學(xué)習(xí)傅里葉變換時(shí)學(xué)生已經(jīng)很清楚了，那么對(duì)于拉普拉斯變換而言，它同樣可以用于求解微分方程，接下來(lái)我們給出拉普拉斯變換的應(yīng)用，以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解及掌握拉普拉斯變換。

二、拉普拉斯變換的應(yīng)用

在本科階段常微分方程的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)知道了借助拉普拉斯變換可以把常系數(shù)線性常微分方程（組）轉(zhuǎn)換成復(fù)變量s的代數(shù)方程（組）。然后通過(guò)一些代數(shù)計(jì)算，進(jìn)行拉普拉斯逆變換即可求出微分方程（組）的解。同樣借助拉普拉斯變換我們可以求解無(wú)界區(qū)域上的偏微分問(wèn)題（如下例）。

值得注意的是，利用拉普拉斯變換解決偏微分方程的問(wèn)題時(shí)，在答題之前對(duì)哪個(gè)變量進(jìn)行拉普拉斯變換是需要學(xué)生認(rèn)真考慮的地方。并且在由像函數(shù)求像原函數(shù)的拉普拉斯逆變換過(guò)程中，應(yīng)該盡量避免直接進(jìn)行復(fù)雜的復(fù)積分計(jì)算。一般的做法是將像函數(shù)分解為最簡(jiǎn)分式，盡可能利用拉普拉斯變換表得到各個(gè)最簡(jiǎn)分式的原函數(shù)，從而由拉普拉斯逆變換的線性性質(zhì)即可得到所要求的像原函數(shù)。

拉普拉斯變換是常微分方程和數(shù)學(xué)物理方程中極其重要的環(huán)節(jié)，對(duì)此部分內(nèi)容的教學(xué)，教師應(yīng)通過(guò)弱化傅里葉變換限制條件的方式引入，以學(xué)生的思維方式為基礎(chǔ)，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)拉普拉斯變換的本質(zhì)，進(jìn)而過(guò)渡深化到理論上更深層次的理解。同時(shí)，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)盡量引入能夠幫助學(xué)生理解的感性材料，降低學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，同時(shí)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)及時(shí)總結(jié)，對(duì)傅里葉變換和拉普拉斯變換進(jìn)行整理比較，對(duì)所學(xué)的知識(shí)能夠形成一個(gè)有機(jī)整體，進(jìn)而能夠靈活運(yùn)用并解決實(shí)際問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳才生，李剛，周繼東，等.數(shù)學(xué)物理方程[M].北京：科學(xué)出版社，2008-04.

[2]李志榮，白靜.高等數(shù)學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2018-07.

[3]吳志堅(jiān)，吳筱堅(jiān).傅里葉變換與拉普拉斯變換[J].石油大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1996（10）.

[4]謝緒愷.工數(shù)筆談[M].沈陽(yáng)：東北大學(xué)出版社，2018-12.

[5]田保，田宏根.關(guān)于拉普拉斯變換法的一個(gè)注記[J].伊犁師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007（4）.

編輯 薛直艷