采用低成本直流電機的電腦鼠動力學(xué)系統(tǒng)建模*

王貞炎，徐 琛，尹 仕

（華中科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，武漢 430074）

0 引言

電腦鼠走迷宮競賽是一項融合了多學(xué)科知識和實踐技能，富有競技性和挑戰(zhàn)性的機器人競賽項目。自1979年IEEE舉辦首屆迷宮機器人競賽以來，每年一次比賽，迄今已有40多年[1－3]。近年來，隨著我國智能化建設(shè)的不斷推進，機器人和人工智能技術(shù)迅猛發(fā)展，作為微型智能移動機器人的典型代表，電腦鼠涉及到運動控制、路徑規(guī)劃、動態(tài)決策、傳感器與測試、人工智能等多項前沿技術(shù)，其影響力逐步“破圈”，相關(guān)研究和應(yīng)用的重要價值進一步凸顯[4－5]。

傳統(tǒng)電腦鼠的研究和設(shè)計多以競賽為目標，為追求高運動性能和控制精度，通常選配的元件都比較高端。電機是電腦鼠動力系統(tǒng)中的核心部分，是影響電腦鼠速度的關(guān)鍵因素。一流電機制造商（如Faulhaber、Maxon 等）的每一款直流電機都會配有詳盡的數(shù)據(jù)手冊，提供足夠的電機參數(shù)以供系統(tǒng)控制，因此目前電腦鼠的設(shè)計和研究采用的直流電機基本都是這類[6－7]。而市面上大多數(shù)普通的直流電機則因為缺乏具體的動力學(xué)參數(shù)和模型，通常被排除在電腦鼠的元件選型考量之外。這些高端直流電機單個基本都在千元以上，電腦鼠一般需要配左右2 個電機，僅電機成本就在2 000 元以上。高昂的成本門檻，限制了其群體受眾面。目前電腦鼠在推出多年來仍相對小眾。

本文從電腦鼠硬件的成本大頭——直流電機著手，采用市面上低成本的普通空心杯直流永磁電機，通過計算推導(dǎo)結(jié)合反復(fù)實驗的方式獲得通用的電機動力學(xué)模型參數(shù)，并由此推導(dǎo)了基于兩輪轉(zhuǎn)速的電腦鼠動力微分方程組，構(gòu)建了電腦鼠動力學(xué)系統(tǒng)的仿真模型，實現(xiàn)了對其動力學(xué)模型狀態(tài)空間的有效描述。采用此動力學(xué)系統(tǒng)模型結(jié)合卡爾曼濾波和LQR控制器等進行系統(tǒng)控制，可以以不到原電機1/5 的價格，達到高水平競賽的性能需求（最大運行速度和加速度達2 m/s和10 m/s2以上）。在保留經(jīng)典電腦鼠的競技性和挑戰(zhàn)性的基礎(chǔ)上，極大地降低了迷宮機器人學(xué)習(xí)、研究和應(yīng)用的門檻，有效增強了其推廣性。

1 電機選型和參數(shù)測算

1.1 直流永磁電機模型

電機是電腦鼠運動的核心元件。在電腦鼠中，通常使用空心杯結(jié)構(gòu)的永磁直流電動機，圖1 所示為空心杯電機結(jié)構(gòu)。所謂“空心杯”是指其轉(zhuǎn)子繞組沒有鐵心，僅使用線圈和黏接劑形成一個堅固的杯狀轉(zhuǎn)子。

圖1 空心杯電機結(jié)構(gòu)

空心杯電機的轉(zhuǎn)子質(zhì)量小、轉(zhuǎn)動慣量小、線圈電感也小，響應(yīng)較鐵心轉(zhuǎn)子的直流電機快。

本文電機采用市售玩具四旋翼飛行器采用的微型空心杯有刷直流永磁電機，為外空心線圈轉(zhuǎn)子，內(nèi)稀土永磁定子結(jié)構(gòu)，慣量小、轉(zhuǎn)速高、成本極低，雖壽命不高，但用于研究、教學(xué)和競賽足矣，且可以作為易耗品適時更換。主要缺點是參數(shù)無法查證，本節(jié)通過實驗測算獲取到足夠用于動力系統(tǒng)建模的參數(shù)。

根據(jù)直流永磁電機模型[8－9]：

式中：u、i、ω、τ分別為輸入電壓、線圈中的電流、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、輸出扭矩，均為時間的函數(shù)。繞線電阻R、繞線電感L、反向電動勢常數(shù)Ke、扭矩常數(shù)Km、轉(zhuǎn)子阻尼D、轉(zhuǎn)子慣量J為描述一個永磁直流電機特性的6個重要常量。

搭建直流電機信號流模型如圖2 所示。這個模型使用輸入電壓和轉(zhuǎn)子角加速度作為輸入，使用線圈電流和輸出扭矩作為輸出，在Matlab Simulink 模型仿真中，可以在扭矩輸出外增加傳動輪轂和質(zhì)量等部分，然后反饋回角加速度，構(gòu)成整體。

圖2 直流電機信號流模型

一流電機制造商（如Faulhaber、Maxon 等）的每一款電機都會配有詳盡的數(shù)據(jù)手冊，會提供這些參數(shù)。而市面上大多數(shù)電機并不會明確告知用戶這幾個參數(shù)，因此需要進行測算。

1.2 參數(shù)測算

R和L可以直接測量得到。使用萬用表電阻擋直接測量繞組直流電阻R，使用RCL電橋直接測量繞組電感L，測量時注意旋動一下轉(zhuǎn)子，避免換向器處在換向間隙處，測得電阻和電感偏小。

反向電動勢常數(shù)Ke、扭矩常數(shù)Km和轉(zhuǎn)子阻尼D 可通過給電機施加額定電壓U0，空載測量轉(zhuǎn)速穩(wěn)定時的電流I0轉(zhuǎn)速ω0得到。此時，根據(jù)式（1）有：

理想情況下，扭矩常數(shù)Km＝Ke（國際單位制下），初步建模仿真時可取兩者相等?？蛰d穩(wěn)速旋轉(zhuǎn)時，式（2）中因而：

轉(zhuǎn)子慣量J、繞組電感L和轉(zhuǎn)子阻尼D相對整個動力系統(tǒng)的慣量（車體質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量）和阻尼（車體平動和轉(zhuǎn)動阻尼）非常微小，實際仿真和應(yīng)用中可忽略。

1.3 電機選型

高水平的競賽中，電腦鼠的最大運行速度和加速度可達2 m/s和10 m/s2以上。以此為基準，在3.7 V系統(tǒng)供電下，如果要在2 m/s時達到10 m/s2最大加速度，設(shè)此時電機的輸出扭矩為τ1，電機輸出軸轉(zhuǎn)速為ω1，繞組電流為i1，忽略繞組電感和轉(zhuǎn)子慣量，根據(jù)式（1）有：

根據(jù)電腦鼠質(zhì)量m、輪轂半徑r 和齒輪減速比λ（如表2所示），有：

根據(jù)式（6）～（7）及多次采購測算，最終采用的電機參數(shù)如表1所示，為某品牌型號為K120的航模直升機的尾旋翼電機。根據(jù)式（6），其在2 m/s 運行時，輸出扭矩τ1≈3.55 mN·m，堵轉(zhuǎn)時，短時輸出扭矩可達τstall≈4.3 mN·m 。因繞組電阻較小，電機的電流受電機驅(qū)動電路的1.8 A限制，實際最大輸出扭矩為τmax≈Km×1.8－D·899 ≈1.22 mN·m，大于要產(chǎn)生10 m/s2加速度所需的1.13 mN·m。

表1 電機的主要參數(shù)

2 動力學(xué)模型

記電腦鼠線性位移為x，航向角為ψ（定義俯視逆時針為正），左右兩輪距離為W，可知電腦鼠兩電機轉(zhuǎn)速和兩輪的轉(zhuǎn)速與它們的關(guān)系：

式中：λ 為傳動比，定義為電機軸轉(zhuǎn)速和輪轂轉(zhuǎn)速之比；r為輪胎半徑；R為左側(cè)，L為右側(cè)。

電機輸出的扭矩經(jīng)過傳動齒輪傳遞到輪轂，地面對電腦鼠的推力即輪胎對地面的推力：

考慮輪轂和輪胎的轉(zhuǎn)動慣量JW，式（9）修正為：

如果電腦鼠總質(zhì)量為m，平動阻尼為b，則：

式中：x為電腦鼠平動位移[10]。

如果電腦鼠轉(zhuǎn)動慣量為j，轉(zhuǎn)動阻尼為d，則：

式（1）、（8）、（10）、（11）、（12）共同組成了電腦鼠的整個動力微分方程組?；诖?，搭建整個系統(tǒng)的信號流模型如圖3 所示。其中，MotorR 和MotorL 為圖2 所示的電機模型。

在Simulink 中，為上面的模型輸入幾個階躍信號，即從UR和UL輸入幾個突變的電壓，得到輸出的階躍響應(yīng)。如果圖2～3 中的參數(shù)如表2 所示，則可以仿真得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如圖4所示。

圖4 線迷宮鼠模型的階躍響應(yīng)

表2 線迷宮鼠動力學(xué)模型參數(shù)表

3 動力學(xué)模型的狀態(tài)空間

這里使用狀態(tài)空間模型來描述系統(tǒng)，如圖5所示。

圖5 電腦鼠動力系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

以車體位移、速度、航向角和角速度為系統(tǒng)狀態(tài)，以右左2個電機的激勵電壓為系統(tǒng)輸入，則：

式中：u的下標1、2分別為右電機、左電機，下同。

根據(jù)直流電機的模型有關(guān)于2個電機的微分方程：

根據(jù)電機輸出扭矩τ1,2與車體運動之間的關(guān)系有：

其中：

分別為右左輪胎凈輸出扭矩。

根據(jù)電機輸出軸轉(zhuǎn)速與車體運動之間的關(guān)系有：

忽略J、L和D，整理式（13）～（14）和式（16）可得：

其中：

其可控性矩陣和觀測矩陣均滿秩，系統(tǒng)可控可觀測。

基于此狀態(tài)空間模型可進行電腦鼠控制系統(tǒng)的設(shè)計。所在團隊研發(fā)的Tiva－C 線迷宮鼠產(chǎn)品即是采用上述模型，控制采用卡爾曼濾波結(jié)合LQR控制器[11－12]方案。通過實驗測試，獲得電腦鼠運動性能指標如表3所示，與傳統(tǒng)電腦鼠對比，運動性能指標能夠保持在同一水平。由于本文主體內(nèi)容在電機及電腦鼠動力系統(tǒng)參數(shù)和模型的設(shè)計研究，同時也受篇幅限制，電腦鼠的控制算法不在本文詳細展開。

表3 電腦鼠的運動性能指標

4 結(jié)束語

本文采用市面上極低成本的空心杯永磁直流微型電機，構(gòu)建了電腦鼠動力學(xué)系統(tǒng)的仿真模型和狀態(tài)空間模型，為電腦鼠的精準控制奠定了基礎(chǔ)?；诒疚奶岢龅姆桨负湍Ｐ?，本團隊研發(fā)的Tiva－C 線迷宮鼠產(chǎn)品，采用文中所述空心杯永磁直流微型電機結(jié)合簡易編碼器和加速度傳感器，成本不到400 元，遠低于傳統(tǒng)電腦鼠動輒2 000 元以上的電機（含編碼器）成本。因其性能優(yōu)越、性價比高、通用性強，非常適合學(xué)校、科研機構(gòu)、相關(guān)企業(yè)等組織學(xué)習(xí)、研究、比賽。尤其其集技術(shù)性、挑戰(zhàn)性和趣味性于一體，融合多學(xué)科知識，是在高校開展工程實踐創(chuàng)新教育的極好載體，有利于培養(yǎng)新一代科技人才。目前所在團隊開發(fā)的Tiva－C 線迷宮鼠已經(jīng)獲得美國德州儀器（Texas Instruments,TI）公司中國大學(xué)計劃部批量采購，具有較高的推廣應(yīng)用價值。