利用博弈確定分配因子的財(cái)富分配模型

潘 秋 惠， 宋 悅 銘， 俞 思 韻， 王 挺， 賀 明 峰

（1.大連理工大學(xué) 創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

只要一個(gè)群體中有兩個(gè)或以上的人，那么財(cái)富就存在分配問(wèn)題.人類(lèi)社會(huì)中有關(guān)財(cái)富分配的問(wèn)題涉及一個(gè)地區(qū)的政治、經(jīng)濟(jì)、文化等多個(gè)方面，成為國(guó)家與社會(huì)公眾普遍關(guān)注的問(wèn)題.當(dāng)前財(cái)富分配問(wèn)題的研究也較為廣泛.

Dragulescu等從物理學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，在分配因子固定的情況下，建立了基于Monte Carlo規(guī)則的動(dòng)能財(cái)富交換模型[1].Patriarca等也在分配因子固定的情況下，通過(guò)保守因子概念，對(duì)參與者進(jìn)行分類(lèi)，分別對(duì)同類(lèi)和異類(lèi)現(xiàn)象給出了具體的規(guī)則，建立了基于動(dòng)能交換機(jī)制的財(cái)富交換模型[2].

另一類(lèi)關(guān)于分配因子的確定是采用隨機(jī)的方式，Chakraborti等在動(dòng)能交換機(jī)制的基礎(chǔ)上，在分配因子隨機(jī)的情況下，分析了保守因子對(duì)參與者最終所得財(cái)富的影響[3].Chatterjee等在總?cè)藬?shù)、總財(cái)富量固定的條件下，利用隨機(jī)分配因子，對(duì)每對(duì)進(jìn)行財(cái)富交換的參與者加入保守因子，并在每次交易完成后隨機(jī)改變保守因子大小，研究保守因子對(duì)財(cái)富分配的影響[4].Gupta提出了一般的交換機(jī)制，在分配因子隨機(jī)的情況下，建立了從兩人參與到多人參與，再到帶保守因子的財(cái)富交換模型[5].Ding等討論了多人參與時(shí)，個(gè)別人具有優(yōu)先性條件下的財(cái)富分布問(wèn)題[6].Chatterjee等在分配因子隨機(jī)分布的前提下，討論了保守因子關(guān)于不同的函數(shù)，在不同的機(jī)制下，對(duì)財(cái)富分配的影響[7].

Cherkashin等提出了一種基于博弈的整體財(cái)富分配模型[8]，該模型中每位參與者先將個(gè)人財(cái)富按個(gè)人策略押到事件A上，A發(fā)生的概率為q，若A發(fā)生，則將押在A上的財(cái)富按給定方式重新分配，若A未發(fā)生，將其余財(cái)富重新分配.本文將基于博弈的整體財(cái)富分配方式應(yīng)用到兩人博弈時(shí)的財(cái)富分配，從而確定相應(yīng)的分配因子，以此為基礎(chǔ)討論不含保守因子[1]及含保守因子[3]時(shí)的財(cái)富分配問(wèn)題.

1 模 型

設(shè)有N個(gè)人，在t時(shí)刻，任選兩人i、j.首先進(jìn)行博弈游戲[8]，二人按各自的策略分別將自己擁有的財(cái)富量ωi（t－1）和ωj（t－1）按一定比例押在a、b兩種結(jié)果上，記Si、Sj為個(gè)體i、j的策略，即i個(gè)體押a的比例為Si，押b的比例為1－Si，j個(gè)體押a、b的比例分別為Sj和1－Sj.該賭局最終發(fā)生的結(jié)果為a的概率是q，發(fā)生的結(jié)果為b的概率是1－q.稱(chēng)q為客觀影響因子，其一定程度上反映了外在環(huán)境對(duì)系統(tǒng)的影響作用.二人在博弈結(jié)束后根據(jù)結(jié)果重新進(jìn)行財(cái)富分配.

若最終結(jié)果為a，則

同理，若最終結(jié)果為b，則

在此模型基礎(chǔ)上，又建立了引入保守因子λ的財(cái)富交換模型，即二人在博弈中，并未拿出全部財(cái)產(chǎn)，而是按比例保留部分財(cái)產(chǎn)[3].

同理可得到i、j個(gè)體t時(shí)刻的財(cái)富值

2 結(jié)果與分析

2.1 不含保守因子的財(cái)富分配

在不含保守因子時(shí)，分別取q＝0.2、0.5、0.7.迭代停止時(shí)，相應(yīng)的財(cái)富分布結(jié)果見(jiàn)圖1（R為相應(yīng)財(cái)富值人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例）.

圖1 t＝2 000時(shí)財(cái)富量的分布Fig.1 Wealth distribution at t＝2 000

從圖1可見(jiàn)，q＝0.2、0.5、0.7三種情況下，財(cái)富量的分布趨勢(shì)非常相近，表現(xiàn)為占有財(cái)富量多的人數(shù)很少，說(shuō)明在現(xiàn)在的交易規(guī)則中，大部分人擁有很少的財(cái)富，很少的人擁有多數(shù)財(cái)富，呈兩極化狀態(tài)，這與文獻(xiàn)[1]的結(jié)論相似.說(shuō)明就總體財(cái)富分布而言，基于博弈的財(cái)富交換沒(méi)有導(dǎo)致新的財(cái)富分布規(guī)律.這也是這種財(cái)富分布規(guī)律普遍性的一個(gè)體現(xiàn).

為了討論博弈對(duì)個(gè)體財(cái)富的影響，下面考察給定q值時(shí)，具有不同策略Si的個(gè)體的財(cái)富分布情況，見(jiàn)圖2.

如圖2（b）顯示，當(dāng)q＝0.5，個(gè)體策略Si趨于0.5時(shí)，對(duì)應(yīng)的群體在交易中可獲得更多的財(cái)富，個(gè)體策略Si距離0.5較遠(yuǎn)的群體在交易中失去較多的財(cái)富；同樣，圖2（a）、（c）中峰值分別位于Si＝0.2和Si＝0.7附近.即財(cái)富相對(duì)集中于具有與q相趨近的策略的人群中.

綜合圖1和2可知，當(dāng)q取不同值時(shí)，盡管整體財(cái)富的分布趨勢(shì)基本相同，但群體中擁有財(cái)富量多少的人員構(gòu)成卻是不同的，這是博弈作用的體現(xiàn).

2.2 包含保守因子λ的財(cái)富分配

在包含保守因子的模型下，仍取q＝0.2、0.5、0.7，λi＝λ（i＝1，2，…，N）.

取λ＝0.5，此時(shí)不同策略的個(gè)體的財(cái)富分布見(jiàn)圖3.

由圖3可以看出，在λ＝0.5時(shí)，取不同q值，財(cái)富量隨Si變化的分布與圖2的財(cái)富分布趨勢(shì)相似.說(shuō)明保守因子沒(méi)有影響策略值越接近q值，財(cái)富量越多這個(gè)性質(zhì).

下面討論保守因子λ對(duì)財(cái)富分布的影響，取q＝0.5，λ不同時(shí)，財(cái)富分布如圖4所示.

從圖4可見(jiàn)，財(cái)富分布的集散程度與保守因子有關(guān)，λ越小，財(cái)富的分布相對(duì)越集中，同等財(cái)富值對(duì)應(yīng)橫軸上的跨度越小；而當(dāng)λ較大時(shí)，跨度較大，即財(cái)富分布在較多的個(gè)體手中.且隨著λ的增加，個(gè)體財(cái)富的最大值變小.在迭代終止時(shí)，對(duì)給定的λ，記個(gè)體的最大財(cái)富量為ωmax（λ），即的變化趨勢(shì)見(jiàn)圖5.

圖2 不同策略的個(gè)體的財(cái)富分布Fig.2 Wealth distribution of agents with different strategies

圖3 λ＝0.5時(shí)不同策略的個(gè)體的財(cái)富分布Fig.3 Wealth distribution of agents with different strategies whileλ＝0.5

圖4 q＝0.5時(shí)不同策略的個(gè)體的財(cái)富分布Fig.4 Wealth distribution of agents with different strategies while q＝0.5

圖5 ωmax（λ）隨λ的變化趨勢(shì)Fig.5 ωmax（λ）as the function ofλ

從圖5可見(jiàn)，在迭代終止時(shí)，隨著給定λ的不斷增大，ωmax（λ）不斷減小.說(shuō)明當(dāng)保守因子增大時(shí)，個(gè)體財(cái)富的最大值變小.即保守程度的增加使參與交易的財(cái)富值份額減少，從而財(cái)富在個(gè)體之間的交易量減少，這有利于財(cái)富的平均分布，不利于財(cái)富在少數(shù)個(gè)體中聚集，這是ωmax（λ）減小的一個(gè)原因.

對(duì)給定的λ，將個(gè)體財(cái)富量從大到小累加，記累加值占總財(cái)富量20%時(shí)的人數(shù)為n（λ），n（λ）隨λ的變化趨勢(shì)見(jiàn)圖6.

從圖6可見(jiàn)，隨著λ的不斷增大，n（λ）的值不斷增大.說(shuō)明當(dāng)保守因子增大時(shí)，擁有很多財(cái)富的人數(shù)在減少，表明隨著λ增大財(cái)富分配相對(duì)更加分散.從n（λ）的增長(zhǎng)方式可以看出，當(dāng)λ從較小值開(kāi)始增加時(shí)，n（λ）的增加是緩慢的，說(shuō)明此時(shí)λ增加對(duì)財(cái)富聚集程度的減少效果是不明顯的，而λ從較大值開(kāi)始增加時(shí)，n（λ）增加很快，說(shuō)明此時(shí)λ增加，可有效防止財(cái)富的過(guò)度聚集.

圖6 n（λ）隨λ的變化趨勢(shì)Fig.6 n（λ）as the function ofλ

3 結(jié) 論

本文在封閉系統(tǒng)財(cái)富交換模型基礎(chǔ)上通過(guò)引入博弈游戲確定分配因子，分別討論不含保守因子和包含保守因子兩種情形下系統(tǒng)的財(cái)富分配.

不含保守因子時(shí)，盡管整體財(cái)富的分布趨勢(shì)基本相同，但群體中擁有財(cái)富量多少的人員構(gòu)成卻是不同的，這是博弈作用的體現(xiàn).

包含保守因子時(shí)，財(cái)富分布的集散程度與保守因子有關(guān)，且保守因子越小，財(cái)富的分布相對(duì)越集中，隨著保守因子增大財(cái)富分配相對(duì)更加分散.這主要是由于當(dāng)保守因子增大時(shí)，個(gè)人財(cái)富的最大值變小.即保守程度的增加使參與交易的財(cái)富值份額減少，從而財(cái)富在個(gè)體之間的交易量減少，這有利于財(cái)富的平均分布，不利于財(cái)富在少數(shù)個(gè)體中聚集.

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