白楊河4至5月平均流量多項Logistic回歸分析與預(yù)報

琪美格

(新疆維吾爾自治區(qū)水文分析計算中心，新疆 烏魯木齊 830000)

在中長期水文預(yù)報實踐中，會遇到預(yù)報對象是分類因變量的情況，如一條河流未來來水是偏豐、正常還是偏枯。本文通過選用五圣宮水文站前期預(yù)報因子，將4至5月平均流量構(gòu)建為反映春季來水偏豐、正?；蚱莸姆诸愐蜃兞浚瑢Ψ诸愐蜃兞课磥砀黝惪赡馨l(fā)生的概率用多項Logistic回歸分析進行嘗試性的預(yù)報，確保符合精度要求。

1 基本思路

多項Logistic回歸分析是指通過一組預(yù)報因子，采用多個二值Logistic回歸方程，來描述分類因變量各類與參照類相比的條件下預(yù)報因子對預(yù)報對象的作用。

如果預(yù)報對象y(分類因變量)有J個類別，令第j(j=1、2、…、J)類的概率為Pj，則預(yù)報對象的樣本觀測值在這J個類別中的分布服從多項分布，且∑Pj= 1。若用xk(k=1、2、…、m，m是預(yù)報因子總數(shù))表示預(yù)報因子，aj和bjk分別表示第j類的常數(shù)項和預(yù)報因子回歸系數(shù)，則多項Logistic回歸方程可表示為：

ln(pj/pJ)=aj+bj1·x1+…+bjk·xk+…+bjm·xm(j=1、2、…、J-1)

上述方程是以分類因變量最后一類(J)為基線的，可見，在每個類別j與基線類別J之間建立了J-1個二值Logistic回歸方程。若令P=∑(Exp(aj+bj1·x1+…+bjk·xk+…+bjm·xm))，則分類因變量各類可能發(fā)生的概率Pj的計算式為：

Pj=Exp(aj+bj1·x1+…+bjk·xk+…+bjm·xm)/P(j=1、2、…、J-1)

基線對應(yīng)的常數(shù)項與回歸系數(shù)均為0，故基線類別可能發(fā)生的概率PJ=1/P。

2 多項Logistic回歸分析與預(yù)報

2.1 構(gòu)建4-5月平均流量分類因變量

五圣宮水文站1981-2019年3月下旬旬平均流量Q、2月中旬降水量R、1月上旬旬平均氣溫T及4至5月平均流量Q4-5序列SPSS數(shù)據(jù)文件(僅顯示局部)見圖1。

計得Q4-5序列多年均值為2.44 m3/s。本次約定，Q4-5低于2.20 m3/s(即距平值﹤-10)時，來水量為偏枯，對應(yīng)的分類因變量Y取1；介于2.20 m3/s和2.68 m3/s之間(即距平值介于-10和10之間)為正常，Y取2；高于2.68 m3/s(即距平值﹥10)為偏豐，Y取3。構(gòu)建的分類因變量Y序列見圖1。

圖1 五圣宮水文站分類因變量及前期預(yù)報因子序列

2.2 多項Logistic回歸分析

SPSS操作步驟為：

步驟1：在圖1中依次單擊菜單“分析→回歸→多項Logistic”，從彈出的多項Logistic回歸對話框左側(cè)的列表框中選擇“Y”，移動到因變量列表框，選擇“Q”、“R”和“T”，移動到協(xié)變量列表框。

步驟2：單擊“統(tǒng)計量”按鈕，在打開的對話框中勾擇“個案處理摘要”、“步驟摘要”、“模型擬合度信息”、“分類表”、“擬合度”、“估計”和“似然比檢驗”，單擊“繼續(xù)”按鈕返回多項Logistic回歸對話框。

步驟3：單擊“確定”按鈕，執(zhí)行多項Logistic回歸的操作。

2.3 回歸效果的統(tǒng)計檢驗

SPSS輸出的回歸效果統(tǒng)計檢驗結(jié)果如下：

(1)案例處理摘要：39個分類因變量個案全部有效，其中偏枯18個，正常9個，偏豐12個。

(2)模型擬合信息：僅包含截距項的模型和最終模型的似然比檢驗結(jié)果，其-2倍對數(shù)似然值分別為82.517、54.992，2=27.524，自由度為6，顯著性水平ρ=0.000<0.001，表明最終模型要優(yōu)于只含截距項的模型，即最終模型成立，說明模型中至少有1個預(yù)報因子有統(tǒng)計學意義。

(4)似然比檢驗：預(yù)報因子中，1月上旬旬平均氣溫T的顯著性水平ρ小于0.5，其余因子都小于0.05，說明在0.5顯著性水平下，預(yù)報因子對多項Logistic回歸方程的貢獻都有統(tǒng)計學意義。

(5)以類別3為基線的多項Logistic回歸方程參數(shù)估計

分類因變量Y各類可能發(fā)生的概率Pj的計算式為：

P1=Exp(11.334-13.830*Q-0.842*R-0.173*T)/(1+Exp(11.334-13.830*Q-0.842*R-0.173*T)+Exp(8.244-10.727*Q-0.673*R-0.182*T))

P2=Exp(8.244-10.727*Q-0.673*R-0.182*T)/(1+Exp(11.334-13.830*Q-0.842*R-0.173*T)+Exp(8.244-10.727*Q-0.673*R-0.182*T))

P3=1/(1+Exp(11.334-13.830*Q-0.842*R-0.173*T)+Exp(8.244-10.727*Q-0.673*R-0.182*T))

式中：P1是類別1與基線類別3相比較得到的預(yù)測概率(偏枯型)，P2是類別2與基線類別3相比較得到的預(yù)測概率(正常型)，P3是基線類別3的預(yù)測概率(偏豐型)。

(6)分類表中總的正確預(yù)測百分率為59.0%，說明多項Logistic回歸方程的預(yù)測效果良好。

2.4 預(yù)報

五圣宮水文站2020年3月下旬旬平均流量Q為0.754 m3/s，2月中旬降水量R為2.3 mm，1月上旬旬平均氣溫T為-8.7℃，代入上述3個類別的預(yù)測概率計算式，計得P1、P2、P3分別為0.42、0.32和0.26。

可見，P1值最大，所以分類因變量取1的可能性最大，即五圣宮水文站2020年4-5月平均流量預(yù)計為偏枯的可能性較大。實際情況是1.86 m3/s，低于偏枯的上限值2.20 m3/s，屬于偏枯型，預(yù)報正確。

3 結(jié)語

(1)選用前期預(yù)報因子，用多項Logistic回歸分析對分類因變量Y未來各類可能發(fā)生的概率進行預(yù)報，是一次成功的嘗試。

(2)多項Logistic回歸模型擬合信息表明，最終模型成立，且至少有1個預(yù)報因子有統(tǒng)計學意義；擬合優(yōu)度檢驗顯示，模型擬合優(yōu)度較好；似然比檢驗表明，預(yù)報因子對模型的貢獻在0.5信度下都有統(tǒng)計學意義；分類表顯示，模型的預(yù)測效果良好。

(3)2020年4-5月平均流量的豐枯趨勢的預(yù)報結(jié)果為正確，說明該技術(shù)在中長期水文定性預(yù)報方面有一定的實用價值。