結(jié)合奇異值分解與最小描述長(zhǎng)度準(zhǔn)則的變壓器極化電流數(shù)據(jù)去噪方法

汪倩文 饒紅疆 何益宏

結(jié)合奇異值分解與最小描述長(zhǎng)度準(zhǔn)則的變壓器極化電流數(shù)據(jù)去噪方法

汪倩文 饒紅疆 何益宏

（五邑大學(xué)智能制造學(xué)部，廣東 江門 529020）

現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量變壓器極化電流受噪聲干擾造成測(cè)量精度偏低，為消除噪聲干擾，本文提出一種奇異值分解（SVD）結(jié)合最小描述長(zhǎng)度準(zhǔn)則（MDL）的信號(hào)去噪算法。利用測(cè)量數(shù)據(jù)構(gòu)建Hankel矩陣并進(jìn)行奇異值分解，將信號(hào)分解為有用分量與無用分量的線性疊加，再利用MDL確定信號(hào)與噪聲的界限，提取有用分量重構(gòu)信號(hào)。對(duì)變壓器極化電流的仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)表明，利用MDL能有效區(qū)分有用分量與噪聲，去噪數(shù)據(jù)趨勢(shì)完整，噪聲得到有效去除。與小波硬、軟閾值去噪結(jié)果對(duì)比，信噪比最大可提高12.61dB，方均根誤差最大可減小47%。

奇異值分解；高斯噪聲；極化電流；變壓器絕緣介質(zhì)；信號(hào)去噪

0 引言

變壓器絕緣電阻測(cè)量和絕緣介質(zhì)分析是評(píng)估變壓器絕緣性能的重要參考依據(jù)[1-3]。變壓器絕緣介質(zhì)可以等效為電阻電容串并聯(lián)形式，其絕緣介質(zhì)等效模型如圖1所示。圖1中，為測(cè)試電源，電壓幅值根據(jù)變壓器電壓等級(jí)及容量確定，為絕緣介質(zhì)的幾何等效電容，g為絕緣介質(zhì)吸收能量穩(wěn)定后的絕緣電阻，、（=1, 2,…,）為極化等效支路的電阻、電容。絕緣電阻由測(cè)試電壓和極化電流計(jì)算得到。

圖1 絕緣介質(zhì)等效模型

極化電流可表示為

式中：為信號(hào)模態(tài)數(shù)；為極化等效支路的時(shí)間常數(shù)；g為泄漏電流，通常認(rèn)為其是一個(gè)常數(shù)；由于純電容充電時(shí)間短，儀器難以檢測(cè)到充電電流c，因此常常將其忽略[4-5]。

由于極化電流信號(hào)微弱，現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量信號(hào)不可避免地帶有噪聲，由此得到的絕緣電阻數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)不明顯，不便于判斷絕緣狀態(tài)。為確保測(cè)量精度，有必要對(duì)極化電流信號(hào)進(jìn)行去噪處理?，F(xiàn)有的去噪算法有經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（empirical mode decomposition, EMD）、小波變換、奇異值分解（singular value decomposition, SVD）等[6-8]。EMD仍然存在模態(tài)重疊問題，去噪效果不好。小波變換需要確定基函數(shù)和分解層數(shù)，基函數(shù)的選取影響去噪效果。奇異值分解降噪算法具有較好的穩(wěn)定性和零相移特性，常應(yīng)用于信號(hào)處理[9-11]。SVD主要包括兩部分：利用相空間理論進(jìn)行矩陣構(gòu)建和確定有效奇異值重構(gòu)矩陣。本文使用Hankel矩陣[12]進(jìn)行奇異值分解。奇異值分解可將含噪信號(hào)矩陣分為信號(hào)子矩陣和噪聲子矩陣，將前個(gè)奇異值重構(gòu)的矩陣表示信號(hào)矩陣，因此如何選取奇異值數(shù)是一個(gè)關(guān)鍵問題。文獻(xiàn)[13]提出利用奇異值差分譜確定有效奇異值個(gè)數(shù)，但極化電流屬于直流信號(hào)，差分譜呈現(xiàn)遞減趨勢(shì)無法找到合適的峰值。文獻(xiàn)[14]引入最優(yōu)閾值作為選取指標(biāo)，但計(jì)算閾值過大使去噪后的信號(hào)缺失嚴(yán)重。文獻(xiàn)[15-16]將奇異值序列的均值作為有效階次選取指標(biāo)，去噪結(jié)果容易引入噪聲。因此，為了合理確定有效奇異值個(gè)數(shù)，本文引入最小描述長(zhǎng)度準(zhǔn)則（minimum description length, MDL）[17]，根據(jù)似然估計(jì)項(xiàng)與懲罰項(xiàng)之間的相互博弈，取其平衡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的階次作為有效奇異值個(gè)數(shù)。對(duì)變壓器極化電流的去噪結(jié)果表明，奇異值分解與最小描述長(zhǎng)度準(zhǔn)則相結(jié)合的去噪方法具有較好的噪聲抑制能力。

1 奇異值分解降噪算法

設(shè)含噪信號(hào)序列可表示為=+，為帶噪信號(hào)，為無噪信號(hào)，為加性高斯噪聲。對(duì)采集到的離散信號(hào)進(jìn)行矩陣構(gòu)建，通常使用Hankel矩陣形式，可表示為

式中：為信號(hào)長(zhǎng)度；為矩陣行數(shù)；為矩陣列數(shù)。且有1，為偶數(shù)時(shí)，/2，/2+1；為奇數(shù)時(shí)，(-1)/2(3)/2。對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解，即

式中：、為的左、右奇異矩陣，兩者均是正交矩陣；為由矩陣的奇異值構(gòu)成的對(duì)角矩陣?！?R×m，∈R×n，∈R×n，=[diag(1,2,???,,???,), 0]或=[diag(1,2,???,,???,); 0]，0表示零矢量，= min(,)。從式（3）可知含噪信號(hào)矩陣被分解為奇異值及相應(yīng)奇異矢量構(gòu)成的矩陣的線性疊加。單個(gè)奇異值重構(gòu)的信號(hào)只包含原信號(hào)的部分信息。根據(jù)奇異值由大到小的分布規(guī)律，在奇異值序列中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，即前個(gè)奇異值重構(gòu)的信號(hào)表示去噪信號(hào)。這也說明矩陣能夠被分解為以信號(hào)為主的子空間和以噪聲為主的子空間，從而能夠有效去除噪聲并保留含噪信號(hào)的主要信號(hào)成分。

2 重構(gòu)矩陣階次選取規(guī)則——MDL

根據(jù)式（1），極化電流信號(hào)可以分解為個(gè)模態(tài)信號(hào)的疊加和。根據(jù)文獻(xiàn)[18]的研究結(jié)果，一個(gè)模態(tài)信號(hào)構(gòu)建的Hankel矩陣可用最大奇異值進(jìn)行矩陣重構(gòu)，因此在無噪聲的情況下，個(gè)模態(tài)信號(hào)可用前個(gè)奇異值進(jìn)行矩陣重構(gòu)。有效模態(tài)數(shù)與有效奇異值個(gè)數(shù)相等，因此確定重構(gòu)矩陣的階次可等效為確定信號(hào)有效模態(tài)個(gè)數(shù)。極化電流的各階模態(tài)能量與時(shí)間常數(shù)有關(guān)。通常時(shí)間常數(shù)短的模態(tài)其所含能量較高，而時(shí)間常數(shù)長(zhǎng)（≥1 000s）的模態(tài)所含能量微弱。因此，在含有噪聲的情況下，能量微弱的信號(hào)模態(tài)容易疊加噪聲而難以辨識(shí)，本文所述有效模態(tài)數(shù)指信號(hào)能量大于噪聲能量的模態(tài)，并非真實(shí)的模態(tài)個(gè)數(shù)。

為有效確定重構(gòu)奇異值個(gè)數(shù)，本文引入最小描述長(zhǎng)度準(zhǔn)則[17]，具體形式為

式中：為濾波器階數(shù)；為所求階次，=1, 2, ???,；為矩陣的截?cái)嗑仃嚕?為矩陣的偽逆，定義為+=(T)-1T。對(duì)于離散數(shù)據(jù){(1),(2),…,()}，矩陣表示為

則

=-[(1)(2) …(-)]T

式中，矩陣為Hankel矩陣，矩陣維數(shù)為(-)×。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，= (-1)/2；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=/2。根據(jù)奇異值分解降噪思想，有效奇異值個(gè)數(shù)應(yīng)該是極少的。

最小描述長(zhǎng)度準(zhǔn)則屬于信息準(zhǔn)則中的一種，其基本思想是兩項(xiàng)以為自變量的函數(shù)相互博弈，取其平衡位置的值作為重構(gòu)階次，則有效奇異值個(gè)數(shù)為

3 實(shí)驗(yàn)

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

表1 仿真參數(shù)

向采集的極化電流中加入均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為2.236 1μV的高斯噪聲，仿真時(shí)間10s，采樣間隔0.01s。仿真得到的含噪信號(hào)如圖2（c）所示，從圖中可知，信號(hào)初始階段噪聲干擾較小，其余部分都已被噪聲覆蓋，從圖中只能看出信號(hào)的大致趨勢(shì)。若直接使用測(cè)量信號(hào)進(jìn)行絕緣電阻計(jì)算勢(shì)必會(huì)影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度。因此采用本文所述奇異值分解去噪算法對(duì)測(cè)量信號(hào)進(jìn)行消噪以保證測(cè)量的準(zhǔn)確性。去噪結(jié)果如圖2所示。根據(jù)圖2（a）和圖2（b）所示結(jié)果，使用最小描述長(zhǎng)度準(zhǔn)則確定的有效奇異值個(gè)數(shù)與根據(jù)信噪比（signal to noise ratio, SNR）指標(biāo)確定的最優(yōu)奇異值個(gè)數(shù)相等，矩陣重構(gòu)最優(yōu)階次均為2，證明最小描述長(zhǎng)度準(zhǔn)則在本文中是適用的。由圖2（d）所示可知去噪后的信號(hào)與理想信號(hào)很接近且信號(hào)趨勢(shì)光滑無振蕩，表明主要噪聲能量被消除并保留了能量較強(qiáng)的信號(hào)成分。

圖2 去噪結(jié)果

為了更準(zhǔn)確地描述去噪后信號(hào)的質(zhì)量，引入擬合度（new）、方均根誤差（root mean square error, RMSE）和信噪比（SNR）作為評(píng)判指標(biāo)，具體形式為

為了更好地說明奇異值分解降噪方法的優(yōu)勢(shì)，將去噪結(jié)果與小波閾值（軟/硬閾值）去噪結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。使用小波類型為sym8，分解層數(shù)為6層。小波閾值去噪結(jié)果如圖3所示，與理想信號(hào)相比，小波去噪信號(hào)在1～2s曲線帶有振蕩，表明小波閾值去噪結(jié)果將部分噪聲成分作為有用信號(hào)處理，使去噪結(jié)果不能很好地?cái)M合理想信號(hào)。

圖3 小波閾值去噪結(jié)果

表2為六種去噪方法結(jié)果對(duì)比，與含噪信號(hào)相比，六種去噪方法均能有效去除噪聲，但奇異值分解去噪結(jié)果的信噪比和擬合度都要高于小波閾值去噪結(jié)果。相應(yīng)地，奇異值分解去噪結(jié)果方均根誤差比小波閾值去噪結(jié)果的方均根誤差要更小。奇異值分解去噪結(jié)果的SNR比小波軟閾值提高12.61dB，比小波硬閾值提高3.69dB；new比小波軟閾值提高0.08，比小波硬閾值提高0.02；RMSE比小波軟閾值減少47%，比小波硬閾值減少17%。奇異值差分譜[13]的方法處理極化電流數(shù)據(jù)無法選取合適的峰值，本文方法有效避免了這一缺陷。短時(shí)奇異值分解[14]和特征均值SVD[15-16]方法對(duì)本文數(shù)據(jù)去噪得到的new雖然較好，但其SNR和RMSE效果較差，不適用本文數(shù)據(jù)。本文方法new值較好，且其去噪效果計(jì)算值明顯優(yōu)于其他方法。

表2 六種去噪方法結(jié)果對(duì)比

3.2 現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量實(shí)驗(yàn)

測(cè)量?jī)x器為安捷倫34461a，現(xiàn)場(chǎng)采樣含噪信號(hào)如圖4（a）所示，采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為600。由圖4（a）可知噪聲分布很不均勻，在30～60s信號(hào)出現(xiàn)許多尖峰點(diǎn)。MDL確定有用分量個(gè)數(shù)為6，因此前6個(gè)奇異值重構(gòu)信號(hào)如圖4（b）所示，去噪后的信號(hào)非常光滑，曲線上分布的毛刺得到有效去除，且保留了實(shí)際信號(hào)的變化趨勢(shì)。圖4（c）和圖4（d）分別為含噪信號(hào)頻譜和去噪信號(hào)頻譜，從頻譜上看采樣信號(hào)在頻率大于零的位置都含有噪聲，經(jīng)過去噪后信號(hào)頻譜很光滑，說明噪聲得到有效抑制。圖4（e）和圖4（f）為小波閾值去噪結(jié)果，與圖4（b）相比，小波硬閾值去噪曲線存在信號(hào)失真，小波軟閾值去噪結(jié)果過于平滑，細(xì)節(jié)信息丟失；小波硬閾值去噪信號(hào)在40～50s出現(xiàn)明顯跳變，小波軟閾值去噪信號(hào)跳變抑制效果要好一點(diǎn)。圖5為絕緣電阻測(cè)量結(jié)果。直接計(jì)算絕緣電阻結(jié)果振蕩較為嚴(yán)重，視覺效果極其不好，影響對(duì)變壓器絕緣介質(zhì)整體絕緣狀態(tài)的判斷。而經(jīng)過去噪的計(jì)算結(jié)果不僅趨勢(shì)明顯而且曲線光滑，可以清楚地看出絕緣電阻呈上升趨勢(shì)，可以初步判斷變壓器整體絕緣狀態(tài)良好。

圖5 絕緣電阻測(cè)量結(jié)果

4 結(jié)論

本文將奇異值分解應(yīng)用于變壓器絕緣介質(zhì)極化電流信號(hào)去噪，由于Hankel矩陣的奇異值序列中第一個(gè)奇異值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于后續(xù)奇異值，使得現(xiàn)有的確定有效奇異值個(gè)數(shù)的方法失效。對(duì)于極化電流而言，確定有效奇異值個(gè)數(shù)等同于確定有效模態(tài)分量數(shù)。利用最小描述長(zhǎng)度準(zhǔn)則在似然估計(jì)項(xiàng)與懲罰項(xiàng)之間作取舍，即MDL取最小值對(duì)應(yīng)的階次為有效奇異值個(gè)數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法具有較好的去噪效果，只需確定有用分量個(gè)數(shù)便可重構(gòu)信號(hào)，不存在小波基函數(shù)的選取和分解層數(shù)確定的難題，克服了EMD的模態(tài)混疊現(xiàn)象，適合應(yīng)用于實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)處理。下一步將對(duì)不同矩陣結(jié)構(gòu)的去噪效果進(jìn)行研究，進(jìn)一步提升奇異值分解去噪的性能。

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Denoising method of transformer polarization current data based on singular value decomposition and minimum description length

WANG Qianwen RAO Hongjiang HE Yihong

(Intelligent Manufacturing Department of Wuyi University, Jiangmen, Guangdong 529020)

In order to eliminate the noise interference, a signal denoising algorithm is proposed based on singular value decomposition (SVD) and minimum description length (MDL). The measured data are used to construct Hankel matrix and perform singular value decomposition. The signal is decomposed into a linear superposition of useful components and useless components. The MDL is used to determine the boundary between signal and noise, and the useful components are extracted to reconstruct the signal. The results of simulation and measured data show that MDL can effectively distinguish the useful component from the noise, the trend of denoising data is complete, and the noise is effectively removed. Compared with the results of wavelet hard and soft threshold denoising, the signal to noise ratio (SNR) can be increased by 12.61dB, and the root mean square error (RMSE) can be reduced by 47%.

singular value decomposition (SVD); Gaussian noise; polarization current; transformer insulating medium; signal denoising

廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司科技項(xiàng)目（GDKJXM20173121）

2021-01-12

2021-02-03

汪倩文（1995—），女，安徽桐城人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)殡姎鉁y(cè)量及信號(hào)處理。