基于廣義帕累托分布模型的短期風(fēng)速資料抗風(fēng)設(shè)計(jì)風(fēng)速計(jì)算研究

王曉惠，潘曉春，張 洋

( 中國能源建設(shè)集團(tuán)江蘇省電力設(shè)計(jì)院有限公司，江蘇 南京 211102)

0 引言

設(shè)計(jì)風(fēng)速是涉及結(jié)構(gòu)抗風(fēng)安全的重要參數(shù)。實(shí)際生產(chǎn)工作中往往因?yàn)闅庀笥^測(cè)站點(diǎn)觀測(cè)資料年限不夠等問題，導(dǎo)致工程設(shè)計(jì)風(fēng)速取值困難，為此許多學(xué)者及工程設(shè)計(jì)人員進(jìn)行了有益的研究。

許多學(xué)者[1-6]將臨時(shí)測(cè)站與氣象站的同步觀測(cè)資料進(jìn)行相關(guān)性分析，并以此相關(guān)關(guān)系在氣象站的統(tǒng)計(jì)風(fēng)速基礎(chǔ)上進(jìn)行修正，獲得工程區(qū)域的設(shè)計(jì)風(fēng)速。由于許多情況下，同步資料的相關(guān)關(guān)系并不能達(dá)到修正的預(yù)期等原因，不少學(xué)者試著僅采用短期實(shí)測(cè)資料進(jìn)行分析研究。董安正[7]等針對(duì)短期風(fēng)速樣本不足的缺陷，采用由Monte Carlo 模擬方法得到的“理想”數(shù)據(jù)樣本對(duì)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，然后由“非理想”的短期風(fēng)速原始資料估計(jì)設(shè)計(jì)風(fēng)速。然而搭建人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型相對(duì)復(fù)雜，且不具有普適性。隨著數(shù)值計(jì)算的發(fā)展，龐加斌[8]等、羅穎[9]等采用虛擬氣象站法，根據(jù)周圍氣象站基本風(fēng)速與海拔高度之間的關(guān)系來推算虛擬氣象站的設(shè)計(jì)風(fēng)速，但在復(fù)雜地形區(qū)域數(shù)值模型難以得到可靠的風(fēng)速與海拔的關(guān)系。

基于極值理論的數(shù)理模型是具有長(zhǎng)期觀測(cè)資料的設(shè)計(jì)風(fēng)速計(jì)算的基本方法。許多學(xué)者嘗試在短期資料中改進(jìn)極值理論以求獲得期望的結(jié)果。張秀芝[10]等采用二項(xiàng)—對(duì)數(shù)正態(tài)復(fù)合極值分布擬合短期風(fēng)速資料計(jì)算海面設(shè)計(jì)風(fēng)速基準(zhǔn)值，并以沿岸站長(zhǎng)年大風(fēng)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算訂正值，基準(zhǔn)值與訂正值疊加作為設(shè)計(jì)風(fēng)速。丘海珊[11]等利用短期風(fēng)速及經(jīng)驗(yàn)頻率的對(duì)數(shù)關(guān)系進(jìn)行線性擬合，計(jì)算風(fēng)電場(chǎng)的設(shè)計(jì)風(fēng)速。廣義帕累托分布模型在極值模型的基礎(chǔ)上，通過閾值設(shè)置增加樣本容量，充分利用短期觀測(cè)資料，模擬效果優(yōu)于極值模型，越來越受到青睞[12]。國外學(xué)者[13-16]用GPD 模型，采用小時(shí)、天、周及月最大風(fēng)速求解重現(xiàn)期為小時(shí)、天、周、月的設(shè)計(jì)風(fēng)速。羅乃東[17]利用月最大風(fēng)速及年最大風(fēng)速構(gòu)建新的樣本，用GPD 模型嘗試計(jì)算短期風(fēng)速資料的設(shè)計(jì)風(fēng)速。GPD 模型中閾值的選擇直接影響設(shè)計(jì)風(fēng)速取值，而常用的平均剩余函數(shù)圖法[18-19]、Hill 圖法[20]在閾值選擇時(shí)存在較大的主觀性，使得設(shè)計(jì)風(fēng)速的取值存在不穩(wěn)定的現(xiàn)象[21]。在已有的研究中，難見普適的、可靠的短期資料計(jì)算設(shè)計(jì)風(fēng)速的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。

本文基于短期風(fēng)速觀測(cè)資料，擬采用GPD模型推導(dǎo)重現(xiàn)期單位為年的設(shè)計(jì)風(fēng)速計(jì)算方法，并對(duì)現(xiàn)有的閾值方法進(jìn)行改進(jìn)。采用多座氣象站實(shí)測(cè)資料進(jìn)行短期資料的年設(shè)計(jì)風(fēng)速計(jì)算成果與長(zhǎng)期資料的Gumbel 分布模型分析成果對(duì)比，驗(yàn)證方法的可靠性與適用性。

1 短期風(fēng)速資料的GPD模型

1.1 GPD函數(shù)

利用長(zhǎng)期測(cè)風(fēng)資料計(jì)算設(shè)計(jì)風(fēng)速時(shí)常采用年最大風(fēng)速序列進(jìn)行分析。年最大風(fēng)速序列一般符合廣義極值分布(generalized extreme value，GEV)。當(dāng)形狀參數(shù)為0 時(shí)，GEV 便退化為Gumbel(亦稱極值I 型)分布，常被用于工程結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)設(shè)計(jì)。

假設(shè)年最大風(fēng)速序列{Xi}，閾值為u0，則超閾值系列{X｜X＞u0}的頻率分布模型近似符合GPD，見式(1)。

式中：u0為閾值；σ為尺度參數(shù)，且恒為正值。

由于風(fēng)速的隨機(jī)性，可以認(rèn)為超越閾值的風(fēng)速發(fā)生也是隨機(jī)的。因此超過閾值的大風(fēng)年發(fā)生次數(shù)m為一隨機(jī)變量，且服從Poisson 分布[22]，見式(2)。

式中：λ為超過閾值年平均發(fā)生次數(shù)，λ＞0；k為任意整數(shù)。

按超閾值模型的經(jīng)典假設(shè)，每年超過閾值的大風(fēng)發(fā)生次數(shù)服從以λ為參數(shù)的Poisson 分布，則在R年中共發(fā)生λR個(gè)超過閾值的大風(fēng)。對(duì)應(yīng)R年一遇大風(fēng)的重現(xiàn)期見式(3)。

式中：Pe為GPD 模型設(shè)計(jì)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的頻率。

對(duì)應(yīng)R年一遇設(shè)計(jì)風(fēng)速VR可由式(4)計(jì)算。

GPD 的參數(shù)估計(jì)方法有多種，如矩估計(jì)、最小二乘估計(jì)、基于分位數(shù)估計(jì)、近似廣義最小二乘估計(jì)等?？紤]到采用的是尺度參數(shù)為0時(shí)GPD 模型，本文采用矩估計(jì)，得到尺度參數(shù)的計(jì)算公式如式(5)。

1.2 短期風(fēng)速序列推算設(shè)計(jì)風(fēng)速

Grigoriu 認(rèn)為，對(duì)于短期數(shù)據(jù)，可采用月最大風(fēng)速來推算年最大風(fēng)速分布[23]。假定各月的月最大風(fēng)速滿足獨(dú)立同分布的條件，此時(shí)風(fēng)速的年最大分布和月最大分布滿足式(6)[24]。

式中：Fa(x)和Fm(x)分別為風(fēng)速年最大和月最大分布。

定義λ為超過閾值u0的月平均發(fā)生次數(shù)，F(xiàn)G(Y)為短期風(fēng)速資料的GPD 分布，則有式(7)。

按照式(6)，以短期風(fēng)速資料求解年設(shè)計(jì)風(fēng)速VR，可得到式(8)。

式中，σ為短期風(fēng)速資料GPD 模型的尺度參數(shù)。

經(jīng)方程式變換得到式(9)：

考慮到R＞10 時(shí)，1-(1-1/R)1/12≈1/(12R)，則得到不同年重現(xiàn)期的設(shè)計(jì)風(fēng)速近似計(jì)算公式，如式(10)。

1.3 閾值選取的改進(jìn)

在GPD 模型中閾值u0的選取是準(zhǔn)確估計(jì)分布參數(shù)的前提，并且對(duì)模型的有效性至關(guān)重要。常用的閾值選擇方法有Hill 圖法、平均超額函數(shù)(Mean Excess Function，MEF)圖法[25]。

Hill 圖法、MEF 圖法在分別尋找穩(wěn)定區(qū)域、近似線性區(qū)域的判斷均屬定性判斷，具有主觀性，閾值選擇的誤差較大，而Moriarty 提出的經(jīng)驗(yàn)閾值法容易造成閾值選擇過大，剔除較多的有效樣本。本文在Moriarty 提出的方法基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，推薦閾值按“樣本均值加Δ倍的標(biāo)準(zhǔn)差”取值，Δ值的選取兼顧樣本長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)及同時(shí)通過“K-S擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”“以λ為參數(shù)的Poisson 分布檢驗(yàn)”的最大值，并以江蘇省的主要?dú)庀笳緸槔M(jìn)行驗(yàn)證分析。

2 閾值選取方法對(duì)比分析

2.1 資料的選擇

為避免觀測(cè)環(huán)境變化對(duì)風(fēng)速觀測(cè)成果的影響，確保短期資料具有較好的代表性，本文以江蘇某海島氣象站點(diǎn)2009 年7 月1 日—2011 年6 月30 日整兩年的日最大10 min 平均風(fēng)速觀測(cè)資料為基礎(chǔ)，如圖1 所示?？紤]到連續(xù)的風(fēng)速樣本間可能存在較強(qiáng)的相關(guān)性，同時(shí)結(jié)合江蘇地區(qū)大風(fēng)過程不超過4 d 的特征，將日最大10 min 平均風(fēng)速數(shù)據(jù)4 d 作為一個(gè)周期進(jìn)行取樣。選取每個(gè)周期的最大值，且相鄰的最大值的間距不能小于半個(gè)周期。

圖1 某海島氣象站日最大10 min平均風(fēng)速變化圖

2.2 現(xiàn)有閾值選取方法的可靠性分析

按照Hill 圖法的繪制方式，將選取的日最大10 min 平均風(fēng)速按降序進(jìn)行排列，計(jì)算極值指 數(shù)Hk，點(diǎn) 繪 集 合{(k，Hk-1)；1 ≤k≤n-1}得 到Hill 圖， 如 圖2 所 示。 由 于Loretan、Phillips 驗(yàn)證了Hill 圖法選取閾值的范圍不會(huì)超過樣本容量的10%[29]，因此Hk-1趨于穩(wěn)定區(qū)間為[32，45]，相對(duì)應(yīng)的閾值的選取范圍為[14.8，15.3]，閾值取該范圍的起始值14.8。按照MEF圖法的繪制原理，得到圖形如圖3 所示，按照平均超額函數(shù)e(x) =E(X-x|X＞x)是線性的且斜率為正的特點(diǎn)，在[16.8， 17.4]范圍內(nèi)平均超額函數(shù)近似為斜率為正的直線，閾值即為16.8。另外可發(fā)現(xiàn)MEF 圖法的成果與Hill 圖推薦的范圍[14.8， 15.3]并無交集。按照Moriarty 提出的經(jīng)驗(yàn)閾值法，該海島氣象站日最大10 min 平均風(fēng)速序列的均值、標(biāo)準(zhǔn)差分別為9.38、3.11，按照經(jīng)驗(yàn)閾值法閾值取值為13.7。

圖2 日最大10 min平均風(fēng)速的Hill圖

圖3 日最大10 min平均風(fēng)速的MEF圖

根據(jù)現(xiàn)有不同的閾值選取方法得到對(duì)應(yīng)的閾值及λ，本文估算了GPD 模型的尺度參數(shù)，發(fā)現(xiàn)尺度參數(shù)的估算值、樣本容量隨閾值減小而增大，如表1 所示。三種方法中，Hill 圖法、Moriarty 經(jīng)驗(yàn)法的λ值均大于1，且超越閾值的樣本數(shù)大于月最大10 min 平均風(fēng)速序列的樣本數(shù)，較月最大風(fēng)速樣本的容量有所擴(kuò)大；MEF圖法的λ值小于1，且樣本容量?jī)H為11 個(gè)，不足月最大風(fēng)速樣本的50%，這一特點(diǎn)與使用GPD 模型增大樣本容量的初衷不一致。

表1 不同閾值取值方法的GPD模型參數(shù)

本文分別采用K-S擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法、χ2檢驗(yàn)法對(duì)GPD 模型的擬合程度、λ值是否符合Poisson 分布進(jìn)行了檢驗(yàn)。如表2 所示的檢驗(yàn)結(jié)果可知，現(xiàn)有的三種閾值選取方法均通過了置信度95%的檢驗(yàn)。

表2 不同閾值取值的GPD模型參數(shù)的K-S檢驗(yàn)、χ2檢驗(yàn)

為說明不同閾值選取方法得到的設(shè)計(jì)風(fēng)速取值準(zhǔn)確性，本文列舉了短期、長(zhǎng)期資料采用Gumbel 分布模型的分析計(jì)算成果。短期資料采用同期的月最大風(fēng)速序列進(jìn)行分析，長(zhǎng)期資料采用1974—2014 年年最大風(fēng)速序列計(jì)算，其中以長(zhǎng)期資料的計(jì)算成果為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行各個(gè)方法的誤差分析，如表3 所示。

表3 不同方法的設(shè)計(jì)風(fēng)速成果對(duì)比m/s

現(xiàn)有閾值選取方法的GPD 模型的設(shè)計(jì)風(fēng)速計(jì)算成果表明，三種方法計(jì)算成果均明顯偏小，誤差自大到小依次為Hill 圖法、Moriarty 經(jīng)驗(yàn)法、MEF 圖法，計(jì)算誤差均在9.3%以上，Moriarty 經(jīng)驗(yàn)法、Hill 圖法的計(jì)算誤差達(dá)到13.5%～17.1%。同為基于Gumbel 分布模型，采用短期月最大風(fēng)速序列采用得到的設(shè)計(jì)風(fēng)速明顯小于長(zhǎng)期年最大風(fēng)速序列的成果，且小了約20%。

2.3 本文推薦方法的閾值選取分析

本文推薦閾值按“樣本均值加Δ倍的標(biāo)準(zhǔn)差”取值，Δ值的選取兼顧樣本長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)及同時(shí)通過“K-S擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”、“以λ為參數(shù)的Poisson 分布檢驗(yàn)”的最大值。具體的選取方法既u0=X-+Δ·s，其中Δ∈[-1.4，1.4]，變化步長(zhǎng)為0.1，由大至小試算至GPD 模型不能同時(shí)通過“K-S擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”及“以λ為參數(shù)的Poisson 分布檢驗(yàn)”的第一個(gè)拐點(diǎn)的前一個(gè)Δ值，具體的計(jì)算成果如表4 所示。尺度參數(shù)的估算成果隨著Δ值減小而增大，對(duì)應(yīng)的不同重現(xiàn)期風(fēng)速也增大，以100 a 一遇設(shè)計(jì)風(fēng)速為例，Δ從1.4降低至-1.4 時(shí)，尺度參數(shù)由1.856 增大至4.578，設(shè)計(jì)風(fēng)速由29.0 m/s 增加至52.9 m/s。以置信度95%，對(duì)GPD 模型進(jìn)行K-S擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，沒有呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律，在Δ值由大變小時(shí)，檢驗(yàn)依次呈現(xiàn)出通過、不通過、通過、不通過的交替規(guī)律。概率以λ為參數(shù)的Poisson 分布檢驗(yàn)也呈現(xiàn)出同樣的規(guī)律，但兩者的通過檢驗(yàn)的Δ值區(qū)間不同，具體如圖4 所示，按照前文所述的取值方法，Δ按0.6 取值。

圖4 兩者檢驗(yàn)置信度95%的通過情況及Δ值的尋找

表4 本文推薦的不同閾值取值對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)風(fēng)速成果m/s

續(xù)表

通過閾值選取、設(shè)計(jì)風(fēng)速誤差對(duì)比分析，可見基于本文推薦閾值選取方法的GPD 模型得到的設(shè)計(jì)風(fēng)速成果準(zhǔn)確度更高，且通過了K-S擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，λ值亦符合Poisson 分布。

通過如圖5 所示P-P 圖(概率圖)、如圖6所示Q-Q 圖(分位數(shù)圖)，可見基于本文推薦閾值選取方法的GPD 模型對(duì)樣本的擬合效果較好，能可靠地反應(yīng)樣本的真實(shí)分布。

圖5 本文推薦方法的P-P圖

圖6 本文推薦方法的Q-Q圖

3 GPD模型應(yīng)用分析

選取江蘇10 座主要國家基本氣象站，分別進(jìn)行基于短期資料、長(zhǎng)期資料的設(shè)計(jì)風(fēng)速計(jì)算，并進(jìn)行對(duì)比分析，用以驗(yàn)證GPD 模型進(jìn)行短期資料設(shè)計(jì)風(fēng)速計(jì)算成果的可靠性，GPD 模型的閾值選取采用本文推薦的方法。短期資料采用各氣象站2009 年7 月1 日—2011 年6 月30 日兩年的日最大10 min 平均風(fēng)速資料?？紤]到短期資料采用自計(jì)儀器獲得，為確保可比性，長(zhǎng)期資料亦選取自記資料，并使用Gumbel 分布模型計(jì)算設(shè)計(jì)風(fēng)速。

10 座氣象站均按照推薦的閾值選取方法找到了滿足條件的閾值，具體如表5 所示。滿足兩種假設(shè)檢驗(yàn)的情況下，以長(zhǎng)期資料的設(shè)計(jì)風(fēng)速計(jì)算成果為依據(jù)，分析短期資料的設(shè)計(jì)風(fēng)速取值誤差，如表6 所示。誤差在±5%以內(nèi)的氣象站有5 座，不同重現(xiàn)期設(shè)計(jì)風(fēng)速的取值誤差在-3.7%～3.0%，其中4 座氣象站的誤差在±3%以內(nèi)；誤差介于±5%～±10%之間的氣象站5 座，誤差在-6.8%～6.7%。

表5 江蘇13座氣象站長(zhǎng)、短期資料的設(shè)計(jì)風(fēng)速成果m/s

表6 短期資料設(shè)計(jì)最大風(fēng)速成果的誤差分析

江蘇省氣象站實(shí)測(cè)年最大風(fēng)速呈現(xiàn)逐年下降的趨勢(shì)，主要因周邊的探測(cè)環(huán)境受城市化影響而發(fā)生了變化。從而導(dǎo)致短期資料脫離了長(zhǎng)期資料的樣本特征，使得短期資料的分析成果誤差較大。因此，本文推薦的GPD 模型在采用此類氣象站點(diǎn)的實(shí)測(cè)資料計(jì)算設(shè)計(jì)風(fēng)速時(shí)準(zhǔn)確度不佳，而周圍相對(duì)空曠、周邊探測(cè)環(huán)境變化較小的氣象站點(diǎn)的短期實(shí)測(cè)資料在采用本文推薦的方法時(shí)，計(jì)算誤差基本滿足實(shí)際工程的使用要求，計(jì)算成果基本可靠。

4 結(jié)論

通過短期資料進(jìn)行設(shè)計(jì)風(fēng)速計(jì)算的GPD 模型推導(dǎo)及閾值選取方法的比較，采用江蘇10 座氣象站的長(zhǎng)期、短期風(fēng)速資料的設(shè)計(jì)風(fēng)速成果對(duì)比，得出如下的結(jié)論。

1)在使用GPD 模型計(jì)算短期資料的設(shè)計(jì)風(fēng)速時(shí)，采用合理的閾值，可得到精度可靠的設(shè)計(jì)風(fēng)速取值。

2)只有2 年的短期資料時(shí)，本文推薦采用均值與標(biāo)準(zhǔn)差的組合來確定閾值的取值，即u0=X-+Δ·s，其中Δ∈[-1.4，1.4]，變化步長(zhǎng)為0.1，由大至小試算至GPD 模型不能同時(shí)通過“K-S擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”及“以λ為參數(shù)的Poisson 分布檢驗(yàn)”的第一個(gè)拐點(diǎn)的前一個(gè)Δ值。推薦的方法較常規(guī)的Hill 圖法、MEF 圖法，Moriarty 經(jīng)驗(yàn)法精度更高。

3)采用GPD 模型進(jìn)行短期資料的設(shè)計(jì)風(fēng)速計(jì)算時(shí)，周圍相對(duì)空曠、周邊探測(cè)環(huán)境變化較小的地區(qū)相比城市化影響較大的區(qū)域，成果更加可靠。

本文研究GPD 模型在短期資料設(shè)計(jì)風(fēng)速計(jì)算時(shí)采用了2 年的日最大10 min 平均風(fēng)速序列，得出滿意的結(jié)果。然而，對(duì)1 年、3 年等不同長(zhǎng)度的短期資料時(shí)本文的閾值選取方法及其可靠性尚需進(jìn)一步研究。