基于演化博弈理論的城市軌道交通高峰票價定價研究

焦柳丹,朱影含,吳 雅,宋向南

(1. 重慶交通大學 經濟與管理學院，重慶 400074； 2. 西南大學 資源環(huán)境學院，重慶 400715；3. 廣州大學 管理學院，廣東 廣州 510006)

0 引 言

城市軌道交通是解決城市交通擁堵，提高城市公共交通出行服務水平的有效手段之一[1]。在過去10年間，我國城市軌道交通建設取得了巨大的成就。截至2018年末，我國內地已開通運營城市軌道交通線路的城市共計32個，運營線路總長度達到5 123.3 km，累計開通運營線路153條，運營車站3 255座[2]。然而，城市軌道交通在快速發(fā)展的同時，其客流量也在急速增長，相關線路運輸能力趨于飽和，給城市軌道交通的運營管理帶來了新的問題和難題[3]。其中，早晚上班高峰時段超負荷的客流強度，會導致在車站站臺和車廂內通常集聚了大量的乘客，從而引起的擁擠問題在各大城市日益突出[4]。而城市軌道交通擁擠問題，不僅會降低乘客的舒適性，還會帶來諸多如火災、踩踏事故等安全風險隱患[5]。另一方面，乘客在選擇城市軌道交通出行過程中，不僅受到城市軌道交通自身服務質量，如便捷性、快捷性、經濟性等多種因素的影響，還會對其他交通方式如地面公交、出租車等進行比較選擇。因此，在綜合考慮乘客出行選擇的情況下，合理降低城市軌道交通運營擁擠情況，從而提高城市居民出行質量，對于促進城市軌道交通可持續(xù)發(fā)展顯得十分重要。

伴隨著城市軌道交通客流擁擠問題不斷凸顯，如何降低其擁擠程度水平開始受到廣泛關注。其中，利用“削峰填谷”思想，對城市軌道交通的票價進行分時定價，被認為是一種降低城市軌道交通擁擠情況的管理方法和措施[4,6,7]。城市軌道交通分時定價，是針對軌道交通不同的運營時段制定不同的價格，利用乘客對票價的敏感性，引導乘客錯峰出行[6]。相關學者已針對城市軌道交通分時定價問題展開了一系列的研究。例如，李靜等[7]通過結合北京城市軌道交通的實際數據，對不同時段、不同票價下客流轉移比率、地鐵滿載率等指標進行Agent 建模分析，并建議在非高峰時段應收取低于3 元的平均票價，而在高峰時段則收取高于7元的平均票價；付聰等[8]基于最優(yōu)擁擠定價理論，探討了天津市城市軌道交通擁擠定價的收費標準；田貴超等[9]根據上海市城市軌道交通的實際情況并結合乘客行為與調查結果，提出了時間差別分時定價策略；秦華容等[10]則以寧波市為例，通過測算私家車出行成本，結合公交車票價、利用彈性原理確定了城市軌道交通的合理定價區(qū)間，并提出了相應的保障措施；王健等[11]則根據城市軌道交通不同時段的客流特點引入了時間權重系數，在拉姆塞定價理論的基礎上分析建立了城市軌道交通的多時段定價模型；張愛琳等[12]從票價收益和擁擠定價兩個角度，綜合運用了數據挖掘和SP 調查法，構建了基于人工智能系統(tǒng)Agent仿真模型的地鐵分時定價機制；Z.WANG等[13]認為提高城市軌道交通票價可以緩解車廂擁擠的同時，也可能導致城市軌道交通客流流失。因此，以北京城市軌道交通為例，探尋了票價上漲高、中、低3種情況下對客流量的影響進行了分析；H.YANG等[14]針對城市軌道交通高峰期客流擁擠問題，提出了一種客票獎勵方案，即乘客在高峰時段進行一定次數的出行后，可以在平峰時段免費乘車一次，從而改變通勤者的出發(fā)時間；Q.ZOU等[15]探尋了城市軌道交通高峰前票價降低對乘客出行時間的影響，指出不同乘客群體對票價折扣的影響存在較大差異，其中采用軌道交通出行頻率較低的乘客比頻率較高的乘客其票價敏感性更高。

然而，城市軌道交通票價制定的影響因素眾多，主要包括相關運輸成本、市場需求、乘客支付能力以及外部競爭等方面[16]。其中，城市軌道交通與地面公交是我國主要的兩種公共交通方式，通過合理分配城市軌道交通與地面公交之間的客流，從而降低軌道交通擁擠程度具有重要意義。同時城市軌道交通與地面公交之間具有一定的競爭關系[17]。也有學者指出，我國目前城市軌道交通票價較低，本該承接地面小汽車出行量的城市軌道交通成為了地面常規(guī)公交的競爭者，地面小汽車的數量不減反增，不僅沒有減輕道路擁堵情況，反而一定程度上加劇了城市軌道交通的擁擠狀況[18]。因此，在制定城市軌道交通分時定價策略時，還應考慮城市軌道交通與地面公交的時間、空間價值，確立合理的城市軌道交通高峰票價，以確保其與地面公交客流的相對均衡性，以發(fā)揮二者的最大價值。有關學者在這一方面進行了相關嘗試。例如，韓冰冰等[19]采用博弈模型分別對城市軌道交通和常規(guī)交通在4個階段即引入期、成長期、成熟期和衰退期的競爭關系做了描述和分析，最終得到合理的票價方案。譚金會等[20]通過建立地鐵與公交的兩方動態(tài)博弈模型求得均衡票價以確保地鐵、公交、居民三方利益的最大化。但通過對有關文獻進行梳理總結發(fā)現(xiàn)，利用分時定價策略，綜合考慮地面公交因素，合理確定城市軌道交通高峰票價，從而降低城市軌道交通擁擠狀況的研究相對較少?；诖耍ㄟ^構建群體成員高峰時段對于城市軌道交通以及地面公交選擇情景下的演化博弈高峰票價定價理論模型，并以重慶市為例進行實證分析，以期為促進我國城市軌道交通可持續(xù)發(fā)展提供相關政策建議和決策支撐。

1 演化博弈理論模型構建

1.1 演化博弈理論

黃凱南等[21]在其研究中介紹到，演化博弈理論的形成與發(fā)展大致經歷了3個階段：首先，生物學家從博弈論在經濟學中的運用得到啟示，通過博弈論中策略互動思想建構了各種生物競爭演化模型；隨后，生物學家根據生物演化的自身規(guī)律，通過引入生物適應度函數、突變機制以及選擇機制正式形成演化博弈理論；最后，經濟學家反過來借鑒生物學家的思想，通過隨機穩(wěn)定均衡以及隨機個體學習動態(tài)模型進一步推動演化博弈的發(fā)展。演化博弈論將博弈理論與動態(tài)演化過程相結合，采用動態(tài)系統(tǒng)方法分析不完全信息演化的穩(wěn)定性，已被應用于各個領域兩個群體4種策略之間的研究，如政府與企業(yè)之間為探究合理環(huán)境稅收的演化博弈模型[22]、供應商和制造商減排投入的演化博弈模型[23]、地方政府在是否執(zhí)行環(huán)境規(guī)制情景下的演化博弈模型[24]。具體而言，博弈分析的目的是通過建立一定的機制和規(guī)則，達到理想的穩(wěn)定均衡狀態(tài)[25]。而通過構建城市軌道交通高峰時期票價定價博弈模型，進而分析城市軌道交通與地面公交之間的博弈關系，從而促使二者之間承擔的客流量趨于均衡。相較于其他博弈方法，在個體有限理性的基礎上，演化博弈理論更便于研究選擇策略的整體變化趨勢以及掌握網絡動態(tài)的穩(wěn)定性。因此，筆者基于群體成員高峰時段對于城市軌道交通以及地面公交選擇的情景，進行了演化博弈模型的建立，從一定程度上避免了完全理性狀態(tài)下始終以個體利益或效用最大化為目標的條件，以更為現(xiàn)實地解釋群體成員對于出行方式的選擇，從而科學準確地提出城市軌道交通高峰票價定價建議。

1.2 模型構建

演化博弈構建過程中主要元素有：得益矩陣，指從支付表中抽象出來由損益值形成的矩陣，用于描述兩個人或多個參與人的策略和支付的矩陣；復制動態(tài)方程，用于描述某一特定策略在一個種群中被采用的頻數或頻度的動態(tài)微分方程[26]；進化穩(wěn)定策略，即促使博弈方在復制動態(tài)過程中最終收斂形成穩(wěn)態(tài)的思想。

1.2.1 基本假設

筆者針對于群體成員高峰時段在城市軌道交通與地面公交二者之間選擇的模型構建過程做出如下假設：

1)群體成員是有限理性[24]的，即愿意為城市軌道交通支付更高價格，愿意為地面公交付出更多時間。

2)群體成員的數量足夠大且滿足在博弈雙方同時選擇城市軌道交通或地面公交時，會產生部分成員需要等待下一班車次的情況；當博弈一方選擇城市軌道交通或地面公交，另一方選擇不相同的出行方式，則不需要等待下一班車次。

3)在出行過程中，不考慮城市軌道交通與地面公交到達同一目的地的出行距離差異，也不考慮同一出行方式的多種選擇性。

1.2.2 得益矩陣

該博弈是群體成員隨機配對形成兩個群體所進行的博弈，博弈雙方的策略均為選擇乘坐城市軌道交通或者選擇乘坐地面公交，故該博弈是2×2的對稱博弈。假設群體1在群體2選擇城市軌道交通出行的情況下，自己選擇城市軌道交通或地面公交出行的收益分別是A11以及A21；在群體2選擇地面公交出行的情況下，自己選擇城市軌道交通或地面公交出行的收益分別是A12以及A22。

出行收益主要考慮時間成本(C×T)以及票價成本P即A=-C×T-P，時間成本包括車外時間成本以及車內時間成本A=-(CoTo+CiTi)-P，車外時間包括步行時間以及等車時間，因此最終的出行收益可表示為[17]：

(1)

式中：Co為步行和候車的時間價值；Ci為行車的時間價值；Di為兩種出行方式平均站間距；vb為步行的速度；vi為兩種出行方式的行車速度；fij為4種策略下的候車時間；L為行車距離；Pi為兩種出行方式的票價。

(2)

同理，A12，A21,A22均可表示為：

(3)

(4)

(5)

式中：f1和f2分別為城市軌道交通以及地面公交高峰時段發(fā)車頻率。

因此，群體成員隨機配對形成兩個群體對于城市軌道交通以及地面公交選擇的對稱博弈得益矩陣如表1。

表1 兩出行方式的得益矩陣Table 1 Benefit matrix of two travel modes

1.2.3 復制動態(tài)方程

假設選擇城市軌道交通出行的群體比例為X1，選擇地面公交出行的群體比例為X2=1-X1,那么某人選擇城市軌道交通或者地面公交的期望收益為：

(6)

(7)

(8)

1.2.4 進化穩(wěn)態(tài)

(9)

(10)

圖1 動態(tài)相位(X=0)Fig. 1 Dynamic phase diagram(X=0)

圖2 動態(tài)相位(X=1)Fig. 2 Dynamic phase diagram(X=1)

3)當X=

F′(X)=

圖3 動態(tài)相位(0

故該博弈模型城市軌道交通出行比例最終演化穩(wěn)定狀態(tài)可表示為：

(11)

2 實證分析

2.1 重慶市公共交通高峰現(xiàn)狀

重慶市作為西部大開發(fā)以及長江經濟帶的重要支點，其經濟在近年來發(fā)展迅速，大量的人口流入以及日益增加的私家車數量給地面交通以及城市軌道交通都帶來了一定的擁堵情況。根據《城市軌道交通2018年度統(tǒng)計和分析報告》相關數據顯示，重慶市2018年城市軌道交通線路總長達313.4 km，高峰小時斷面客流量最高為3.75萬人次，重慶市城市軌道交通快速發(fā)展的同時，高峰時段軌道交通站點以及列車內擁擠現(xiàn)象嚴重[4]，極大地降低了乘客的安全性以及舒適度。根據《2018年度中國主要城市交通分析報告》顯示，重慶市2018年高峰行程延時指數為1.890，位居全國第4，地面交通狀況糟糕加劇了城市軌道交通客流集聚，地面公交空間價值未能有效利用。因此，以重慶市為例，采用所構建的演化博弈模型對城市軌道交通票價定價以及客流敏感性進行了分析。

2.2 重慶市軌道交通票價定價分析

根據《城市軌道交通2018年度統(tǒng)計和分析報告》，重慶市城市軌道交通平均旅行速度為40.9 km/h；根據《2018年度中國主要城市交通分析報告》，重慶市地面公交平均巡航速度為17.5 km/h；根據《2018重慶市主城區(qū)交通發(fā)展年度報告》，城市軌道交通線路高峰小時平均發(fā)車間隔為4 min，平均站點間距為1 750 m，票價按公里計算；結合重慶市公交線路數據，地面公交平均發(fā)車間隔為10 min，平均站點間距為740 m，票價為2元。

根據《2018年重慶市國民經濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》，2018年重慶市城鎮(zhèn)居民人均可支配收入34 889元，故重慶市出行者的時間收入約為16.5元/h。參考相關研究[27]，將交通成本進行量化，計算得出步行和候車的時間成本Co=0.42元/min，行車的時間成本Ci=0.14元/min，同時取vb=4.4 km/h。根據《2018重慶市主城區(qū)交通發(fā)展年度報告》，目前城市軌道交通出行占公共交通出行的7/25，平峰時段城市軌道交通擁擠現(xiàn)象明顯減少，地面公交空間價值也得到有效利用。故假設高峰時段城市軌道交通客流量占公共交通總客流量的7/25為此時的穩(wěn)態(tài)，根據博弈模型所給出的結果如表2。

表2 博弈票價對比Table 2 Game fare comparison

結果顯示，原票價以2元為基礎票價，以1元遞增，在高峰時段博弈模型中，票價以4元為基礎票價，以2元遞增能夠有效的讓地面公交分擔更多的出行從而減少城市軌道交通客流量以保證相對的安全性和舒適度。通過對高峰時段票價定價相關文獻研究分析[7,8,11,28]，高峰時段票價與平峰時段票價比值多在1.2～2.3之間，本研究中演化博弈模型下高峰時段票價為平峰時段票價的2倍，研究結果與其他學者的成果基本吻合。

2.3 重慶市軌道交通客流敏感性分析

由表3可知，當票價下降20%，城市軌道交通客流占比將上升到0.43～0.76；當票價下降10%，城市軌道交通客流占比將上升到0.35～0.52；當票價上升10%，城市軌道交通客流將下降到0.04～0.20；當票價上升20%，城市軌道交通客流在出行距離在17 km之內將下降到0.02～0.12，而出行距離在17 km以上，城市軌道交通將面臨無人乘坐的困境。將城市軌道交通客流變化幅度與票價變化幅度作點線圖如圖4。

由圖4可知，從橫向角度即相同出行距離的視角出發(fā)，票價幅度變化越大，客流量變化幅度也越大；從縱向角度即不同出行距離的視角出發(fā)，在相同票價變化幅度的情況下，出行距離越遠，客流變化幅度越大，且隨著出行距離的增加，客流變化幅度差值顯著增加。由此發(fā)現(xiàn)，票價變化對于城市軌道交通客流量的影響較大，且出行距離更遠，城市軌道交通客流對于票價的敏感程度越高。隨著城市軌道交通線網不斷的優(yōu)化與完善，遠距離出行乘客數量將會得到一定程度的增長，城市軌道交通客流對于票價的敏感程度也會越來越高，因此，未來對于高峰時段城市軌道交通票價的動態(tài)調控顯得十分重要。

圖4 票價變化幅度與客流變化幅度點線Fig. 4 Point chart of variation range of fare and passenger flow

3 結 語

通過構建群體成員高峰時段對于城市軌道交通以及地面公交選擇情景下的演化博弈模型，對重慶市高峰時段城市軌道交通票價定價進行了研究分析，結果顯示：當基礎票價達到4元并以2元遞增的情況下，城市軌道交通和地面公交會形成一個穩(wěn)態(tài)即雙方的客流量達到一個相對均衡的狀態(tài)，雙方不會出現(xiàn)過度擁擠的情況從而提升乘客舒適度同時降低安全隱患發(fā)生率，并能實現(xiàn)各自的時空價值。在該計算結果基礎下，筆者針對高峰時段城市軌道交通客流量與票價進行了敏感性分析，結果顯示：城市軌道交通客流量對于票價的敏感程度較高，同時，城市軌道交通票價越高，城市軌道交通客流量對于票價的敏感程度越高。

對研究結果梳理發(fā)現(xiàn)，通過提高城市軌道交通票價，從理論上能夠有效的轉移部分客流至地面公交從而達到有效緩解城市軌道交通擁堵的現(xiàn)象。然而，城市軌道交通票價變化對于客流量的影響較大，如何確定高峰時段票價的合理漲幅還有待進一步從乘客的主觀意愿開展相應的研究。