基于改進(jìn)響應(yīng)面法的電纜-碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料集成構(gòu)件電纜埋置位置優(yōu)化

楊 旭 周德儉, 莊功偉 宋 微 劉瀟龍 佘雨來

1.西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，西安，7100712.桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，桂林，541004 3.中國電子科技集團(tuán)公司第十研究所，成都，610036

0 引言

隨著無人機(jī)機(jī)載電子設(shè)備和電纜數(shù)量的不斷增加，電纜布線空間變得越來越擁擠。碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(CFRP)具有重量輕、強(qiáng)度高、穩(wěn)定性好等特點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于航空、航天和汽車等領(lǐng)域[1-2]。本研究將多根電纜埋入到CFRP基體中形成集成構(gòu)件，既可以節(jié)省寶貴的布線空間，又能很好地保護(hù)和定位電纜，具有很好的應(yīng)用前景。

現(xiàn)階段集成構(gòu)件已經(jīng)成為研究熱點(diǎn)，部分學(xué)者已對復(fù)合材料集成構(gòu)件的可行性和應(yīng)用效果進(jìn)行了研究。LING等[3]將光纖埋入到復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中形成集成構(gòu)件，已得到應(yīng)用并取得了很好的效果；ARELLANO等[4]和TORRES等[5]使用有限元法(FEM)研究了傳感器嵌入復(fù)合材料后對構(gòu)件力學(xué)性能的影響，結(jié)果表明這個影響并不顯著，證明了在復(fù)合材料中嵌入元器件的可行性。電纜的埋置位置是電纜-CFRP集成構(gòu)件的重要參數(shù)，但目前綜合考慮力學(xué)性能、電磁兼容性能和制造約束條件的電纜埋置位置優(yōu)化的研究還未見報道。響應(yīng)面法(RSM)適用于統(tǒng)計(jì)建模和參數(shù)優(yōu)化問題，近年來在機(jī)械工程和復(fù)合材料等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。學(xué)者們使用RSM對多因素交互作用下中部槽磨損問題[6]、塑制汽車離合器總泵的上下泵體在旋轉(zhuǎn)摩擦焊接工藝中的焊接參數(shù)[7]和高性能納米復(fù)合材料的參數(shù)優(yōu)化問題[8]進(jìn)行了研究，都取得了很好的效果。但現(xiàn)有的響應(yīng)面法在求解包含高階項(xiàng)的非線性問題時，可能會存在預(yù)測值與實(shí)際驗(yàn)證值吻合情況不佳的情況。

本文針對電纜-CFRP集成構(gòu)件中電纜埋置位置的優(yōu)化問題，提出了一種改進(jìn)響應(yīng)面法，并在此基礎(chǔ)上提出了一種求解電纜埋置位置參數(shù)優(yōu)化問題的方法。

1 建立問題模型

在建立問題模型之前，使用模壓工藝制造出了一批電纜-CFRP集成構(gòu)件的樣件，如圖1所示，可見，將電纜埋入CFRP基體后，會在電纜周圍形成一個楔形的樹脂富集區(qū)。一方面，本研究根據(jù)樣件富集區(qū)的大小比例來建立后續(xù)的幾何模型、有限元模型和電纜串?dāng)_仿真模型，從而保證計(jì)算精度；另一方面，通過前期的加工過程發(fā)現(xiàn)一些約束條件，它們將作為本研究中優(yōu)化問題的約束條件，保證研究結(jié)果的可加工性。

圖1 電纜-CFRP集成構(gòu)件的樣件

本研究中電纜-CFRP集成構(gòu)件的結(jié)構(gòu)示意圖見圖2，其長度、寬度和厚度尺寸分別為400 mm、160 mm和14 mm，頂面距離鋁制接地板7 cm，內(nèi)埋有三根平行布置的電纜。設(shè)電纜1和電纜2中心線的間距為D1,電纜2和電纜3中心線的間距為D2，電纜中心線距離接地板的距離為H。這三根電纜處于工作狀態(tài)時，均傳輸pulse型信號，信號的延遲時間和峰值保持時間為0.003 μs，上升沿時間和下降沿時間為0.001 μs，各電纜的信號周期、幅度、內(nèi)徑和外徑如表1所示。

表1 電纜參數(shù)

定義彎曲載荷工況1如下：以圖2所示的集成構(gòu)件底面的2個支撐線處為支撐，支撐跨距為320 mm；在構(gòu)件頂面的加載線上施加100 N的彎曲載荷，加載線位于頂面的中間位置。集成構(gòu)件幾何模型的正面視圖見圖3。

圖2 電纜-CFRP集成構(gòu)件的結(jié)構(gòu)示意圖

圖3 集成構(gòu)件幾何模型的正面視圖

由于集成構(gòu)件受到彎曲載荷時其內(nèi)埋電纜也會產(chǎn)生應(yīng)力，為了避免電纜的過度變形和損壞[9]，必須使電纜的最大應(yīng)力小于最大允許值；另外，電纜近端串?dāng)_過大會對敏感設(shè)備造成干擾[10-11]。綜合考慮系統(tǒng)整體設(shè)計(jì)的需求和制造工藝約束，給出本研究優(yōu)化問題的約束條件如下。

約束1：所有電纜的近端串?dāng)_電壓均不能超過其所傳輸信號幅度的4%。

約束2：電纜的應(yīng)力最大值不能超過4 MPa。

約束3：1.5 cm≤D1≤4.5 cm；2 cm≤D2≤6 cm；1 cm≤H≤1.6 cm；D1+D2≤7.5 cm。

本研究電纜埋置位置優(yōu)化問題的目標(biāo)是：集成構(gòu)件處于工況1時，在滿足以上所有約束的前提下，所有電纜的近端串?dāng)_電壓都盡可能小。

2 分析方法

2.1 基于FEM的應(yīng)力計(jì)算

本研究選用型號為T300/5208的各向異性碳纖維增強(qiáng)樹脂基復(fù)合材料作為集成構(gòu)件的基體材料，其材料屬性如表2所示。

表2 T300/5208的材料屬性

電纜內(nèi)芯、絕緣層和樹脂富集區(qū)的材料屬性如表3所示。

表3 電纜內(nèi)芯、絕緣層和樹脂富集區(qū)的材料屬性

使用ANSYS有限元分析軟件計(jì)算在工況1下集成構(gòu)件的應(yīng)力分布，如圖2所示，建立集成構(gòu)件的幾何模型后，以其底面的2個支撐線處為支撐，在頂面的加載線上施加100 N的彎曲載荷，支撐跨距為320 mm，然后劃分網(wǎng)格，基于FEM計(jì)算得到應(yīng)力分布。

2.2 基于多導(dǎo)體傳輸線法的電纜串?dāng)_電壓計(jì)算

本研究基于多導(dǎo)體傳輸線法，使用CST電磁仿真軟件建立電纜和接地板的幾何模型，然后采用集總法和模式法兩種方法提取出電纜的分布參數(shù)，生成等效電路模型并設(shè)置激勵信號和負(fù)載，計(jì)算出接收線上的串?dāng)_電壓[12-14]。以電纜2為發(fā)射線，電纜1和電纜3為接收線時的等效電路模型如圖4所示。

圖4 等效電路模型

激勵源設(shè)置在發(fā)射線上，每次仿真只設(shè)置一個激勵源，然后基于疊加原理，計(jì)算出所有激勵源同時工作時每根電纜的近端串?dāng)_電壓的最大值。疊加原理的表達(dá)式如下：

(1)

式中，U1為電纜1上的總串?dāng)_電壓；U1k為電纜k對電纜1產(chǎn)生的串?dāng)_電壓。

2.3 RSM試驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析方法

本研究使用Design-Expert.v8.0.6.1軟件進(jìn)行響應(yīng)面分析和優(yōu)化，在完成了試驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)和試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)的輸入之后，先嘗試使用一階模型進(jìn)行擬合，擬合公式如下：

(2)

其中，y表示響應(yīng)，x表示設(shè)計(jì)變量，e表示擬合誤差。如果一階擬合的擬合程度不能滿足要求，則采用二階模型進(jìn)行擬合，其表達(dá)式如下：

(3)

得到各因變量與響應(yīng)之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式之后，基于方差分析對模型的質(zhì)量進(jìn)行評價，以驗(yàn)證模型的正確性[8，15]。

3 電纜埋入位置的優(yōu)化

3.1 優(yōu)化方法

本研究提出一種求解電纜埋置位置參數(shù)優(yōu)化問題的方法，其流程如圖5所示。具體步驟如下：首先，建立優(yōu)化問題的ANSYS仿真模型和CST電磁兼容仿真模型；然后，建立RSM模型和基于Box-Behnken design(BBD)的優(yōu)化模型，得到初步的埋置位置參數(shù)后，將預(yù)測值與實(shí)際值進(jìn)行對比，判斷計(jì)算誤差是否滿足要求，若是，則優(yōu)化完成，否則使用改進(jìn)RSM法進(jìn)一步優(yōu)化；得到最優(yōu)解后，計(jì)算預(yù)測誤差和約束條件是否滿足，如果不滿足，根據(jù)誤差分布，在計(jì)算時對約束條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹靶拚币缘窒Ｕ`差，直至優(yōu)化結(jié)果滿足所有要求。

圖5 優(yōu)化方法的流程圖

3.2 基于RSM的優(yōu)化

定義電纜間距D1和D2為設(shè)計(jì)變量A和B；定義電纜中心與接地板間的距離H為設(shè)計(jì)變量C；電纜1、電纜2、電纜3的近端串?dāng)_電壓最大值U1、U2、U3和電纜的應(yīng)力最大值σ1為擬合模型中的4個響應(yīng)。采用BBD針對這3個設(shè)計(jì)變量和4個響應(yīng)設(shè)計(jì)了17組試驗(yàn)，包含5組中心重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)方案和試驗(yàn)結(jié)果如表4所示。

表4 試驗(yàn)方案和試驗(yàn)結(jié)果

計(jì)算出初步的擬合模型后，使用AB2、AC2等高階項(xiàng)對擬合模型進(jìn)行修正，并去除對響應(yīng)影響不大的因素項(xiàng)，得到各響應(yīng)模型的方差分析結(jié)果，如表5所示。使用F檢驗(yàn)來判斷模型的顯著性[8]，回歸平方和(F值)的值越大，說明模型越顯著；失效概率的值越小，說明擬合模型失效的概率越小，模型越有效。

表5 各響應(yīng)模型的方差分析結(jié)果

如表5所示，本研究中所有響應(yīng)的F值都很大，失效概率均小于0.05，且失擬項(xiàng)的數(shù)值都很小，這說明模型的擬合效果較好，建立的擬合模型是顯著的和正確的。

通過三維響應(yīng)值曲面圖來分析各因素對響應(yīng)的影響關(guān)系。由于篇幅原因，只列出其中三個三維響應(yīng)值曲面圖，見圖6。由圖6a可知，D1對U1的影響大于D2；由圖6b可知，D2對U3的影響大于H，當(dāng)D2和H的取值分別在2.0～2.5 cm和1.3～1.6 cm區(qū)間時，這兩個因素之間有較強(qiáng)的相互作用；由圖6c可知，H對σ1的影響大于D2。結(jié)合其余所有三維響應(yīng)值曲面圖可知：所有電纜的近端串?dāng)_電壓均隨著D1和D2的增大而減小，隨著H的增大而增大；電纜的最大應(yīng)力σ1隨著D1和D2的增大而增大，隨著H的增大而減小。

(a)U1相對于D1和D2

應(yīng)用RSM進(jìn)行基于BBD的優(yōu)化，以獲得初步的電纜布置優(yōu)化方案。由前面的分析可知，目標(biāo)函數(shù)G的表達(dá)式如下：

(4)

其中，ω1、ω2、ω3都取1。約束條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(5)

計(jì)算得到各響應(yīng)的預(yù)測值和參數(shù)組合后，將這些參數(shù)代入仿真模型中進(jìn)行計(jì)算，得到的優(yōu)化結(jié)果如表6所示，可見，有三個響應(yīng)的實(shí)際值與預(yù)測值的誤差大于5%，且σ1沒有滿足約束條件，說明使用傳統(tǒng)的RSM進(jìn)行優(yōu)化無法滿足精度要求和部分約束條件。

表6 優(yōu)化結(jié)果

3.3 基于改進(jìn)RSM的優(yōu)化

本研究提出基于貪心策略和切比雪夫多項(xiàng)式采樣策略的改進(jìn)響應(yīng)面法，以提高擬合模型的精度和預(yù)測性能。對于一個連續(xù)的擬合函數(shù)f(x)，其表達(dá)式可用n階多項(xiàng)式pn(x)來無限逼近，由于切比雪夫級數(shù)與最佳逼近函數(shù)十分相近[16]，故f(x)近似表達(dá)如下：

(6)

i=0,1,…,n

其中，Ci(x)為切比雪夫多項(xiàng)式，fi為常數(shù)項(xiàng)系數(shù)，可用式(7)近似表示[16]：

(7)

針對預(yù)測效果不理想的響應(yīng)，基于前面的RSM分析，找出影響最大的設(shè)計(jì)變量x，設(shè)其最小值為x1,最大值為x2,引入貪心因子δ1和δ2，縮減采樣點(diǎn)的區(qū)間，其采樣點(diǎn)集合X0的表達(dá)式為

(8)

x′1=x1+δ1(x2-x1)

x′2=x2-δ2(x2-x1)

如果滿足下面的式(9)和式(10)，則說明其取值范圍往左縮小能夠更接近優(yōu)化目標(biāo)值的區(qū)間，應(yīng)令δ1小于δ2；同理，如果滿足式(11)和式(12)，應(yīng)令δ1大于δ2；對于其他情況，可令δ1和δ2取相近值;為了避免陷入局部最優(yōu)，δ1和δ2的取值范圍為(0,0.3)。

(9)

(10)

(11)

(12)

在X0的基礎(chǔ)上，根據(jù)切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)得出的采樣點(diǎn)集合X1為

(13)

在X1的基礎(chǔ)上，為了提高全局搜索的能力，引入貪心補(bǔ)償項(xiàng)Δ1和Δ2，確保前一步得到的x的最優(yōu)值xr不在采樣區(qū)間的邊緣，以免陷入局部最優(yōu)，得到X2的表達(dá)式如下：

(14)

xr-(x″1+Δ1)<0.25(x″2+Δ2-x″1-Δ1)

(x″2+Δ2)-xr<0.25(x″2+Δ2-x″1-Δ1)

根據(jù)提出的改進(jìn)響應(yīng)面法，本研究對設(shè)計(jì)變量A的采樣策略進(jìn)行改進(jìn)，最終計(jì)算得到采樣點(diǎn)空間A2為(3.1,3.6,4.1)；其余設(shè)計(jì)變量的采樣點(diǎn)不變，計(jì)算得到各響應(yīng)模型的表達(dá)式如下：

U1=0.243 72-0.130 11A-0.048 216B+

0.215 19C+0.011 05AB-0.036 133AC+0.017 768A2+

0.005 2131B2-0.001 232 5AB2

(15)

U2=0.671 04-0.217 52A-0.178 91B+0.304 01C+

0.019 777AB-0.041 567AC-0.007 304 17BC+

0.027 343A2+0.018 543B2-0.002 163 75AB2

(16)

U3=0.830 08-0.236 04A-0.226 17B+0.142 42C+

0.035 082AB-0.013 95BC+0.028 965A2+

0.015 624B2-0.004 26A2B

(17)

σ1=32.872 35+0.002 15A-0.004 056 25B-

37.560 01C+0.003 75BC+11.629 03C2

(18)

得到的優(yōu)化結(jié)果如表7所示，可見，改進(jìn)后所有響應(yīng)的實(shí)際值與預(yù)測值的平均誤差僅為3.37%，另外，改進(jìn)后各響應(yīng)模型的F值、Adj R-Squared和Pred R-Squared均比改進(jìn)前有所提高，這說明改進(jìn)后的各響應(yīng)模型的質(zhì)量得到了提高。但是，改進(jìn)后σ1的實(shí)際值仍比預(yù)測值稍大，導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果未能滿足所有約束條件。

表7 改進(jìn)后的優(yōu)化結(jié)果

由于電纜最大應(yīng)力的實(shí)際值比預(yù)測值稍大，為了抵消誤差，在優(yōu)化時將應(yīng)力約束條件“修正”為：σ1≤3.88 MPa，其余約束條件不變。最終得到的最優(yōu)設(shè)計(jì)變量是：D1=3.39 cm,D2=4.11 cm,H=1.28 cm。得到的電纜最大應(yīng)力的位置如圖7所示，優(yōu)化結(jié)果如表8所示。可見所有響應(yīng)的實(shí)際值與預(yù)測值間的平均誤差僅為3%，且優(yōu)化結(jié)果滿足所有的約束條件。

圖7 電纜最大應(yīng)力的位置

表8 滿足約束條件的優(yōu)化結(jié)果

3.4 預(yù)埋電纜對CFRP基體力學(xué)性能的影響

預(yù)埋電纜前后CFRP基體的彎曲應(yīng)力分布如圖8所示。可見埋入電纜后，CFRP基體的應(yīng)力分布變化不大，且埋入電纜前后CFRP基體的最大應(yīng)力分別為2.154 MPa和2.168 MPa，可見，預(yù)埋電纜對CFRP基體的力學(xué)性能影響很小。

(a)預(yù)埋電纜前

為了驗(yàn)證使用仿真方法對電纜-CFRP集成構(gòu)件進(jìn)行應(yīng)力應(yīng)變分析的有效性，首先，根據(jù)本研究優(yōu)化得到的最優(yōu)設(shè)計(jì)變量(D1=3.39 cm,D2=4.11 cm,H=1.28 cm)加工得到電纜-CFRP集成構(gòu)件的實(shí)物；然后，使用應(yīng)變儀對其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測量，如圖9a所示。實(shí)驗(yàn)時施加的載荷和約束條件與前面有限元仿真中的保持一致(即前面定義的彎曲工況1)。

由于電纜被埋置在構(gòu)件內(nèi)部，故無法直接測量電纜的應(yīng)力應(yīng)變。CFRP基體應(yīng)力應(yīng)變最大的部位下面剛好是支撐底座，也不適合測量。由圖8b可見，集成構(gòu)件底面的中心部位的應(yīng)變較大且容易測量，因此，本研究在此處粘貼三向應(yīng)變花來測量其應(yīng)變(圖9)，并與仿真結(jié)果進(jìn)行對比。測量得到該部位在0°、45°和90°方向的應(yīng)變分別為-0.95×10-6、-17.05×10-6和46.05×10-6，通過三向應(yīng)變花的應(yīng)變計(jì)算公式可得應(yīng)變花粘貼位置的最大和最小主應(yīng)變的值分別為6.86×10-5和-2.35×10-5。有限元仿真得到的電纜-CFRP集成構(gòu)件底面上的應(yīng)變分布如圖10所示，仿真得到的最大和最小主應(yīng)變的值分別為7.40×10-5和-2.25×10-5。

1.實(shí)驗(yàn)樣件 2.支撐底座 3.加載件 4.信號線 5.應(yīng)變儀 6.測量界面

(a)最大主應(yīng)變分布

計(jì)算得到應(yīng)變花粘貼位置的最大和最小主應(yīng)變的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差分別為7.9%和4.3%，仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有很高的吻合度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了仿真分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，故采用仿真方法對電纜-CFRP集成構(gòu)件進(jìn)行應(yīng)力應(yīng)變分析是有效的。造成仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果之間誤差的原因可能是樣件加工時由工藝因素帶來的制造誤差和仿真模型中樹脂區(qū)的建模誤差。

4 結(jié)論

(1)電纜間距和電纜與接地板之間的距離對電纜間串?dāng)_和電纜上的最大應(yīng)力都有重要影響，且這些因素之間存在一定的相互作用。

(2)本文提出了基于貪心策略和切比雪夫多項(xiàng)式采樣策略的改進(jìn)響應(yīng)面法，與傳統(tǒng)響應(yīng)面法相比，使用提出的改進(jìn)響應(yīng)面法計(jì)算得到的擬合模型，其顯著性、擬合度和預(yù)測效果都有較大的提高，表明該方法更適合求解包含高階項(xiàng)的非線性問題。

(3)優(yōu)化結(jié)果滿足所有約束條件，所有指標(biāo)的預(yù)測值與實(shí)際值的平均誤差僅為3%。最優(yōu)參數(shù)組合為：D1=3.39 cm，D2=4.11 cm，H=1.28 cm。結(jié)果表明，本文提出的基于改進(jìn)RSM的優(yōu)化方法是非常有效的，可以預(yù)測高質(zhì)量的優(yōu)化結(jié)果。

(4)使用最優(yōu)埋置參數(shù)組合得到的集成構(gòu)件，埋置電纜對CFRP基體力學(xué)性能的影響很小,說明使用所提方法設(shè)計(jì)的電纜-CFRP集成構(gòu)件應(yīng)用于工程實(shí)踐是安全可靠的。