基于狀態(tài)相依風險厭惡的最優(yōu)投資再保險策略*

李淑琦，趙永霞

(曲阜師范大學統(tǒng)計學院，273165，山東省曲阜市)

0 引 言

隨著經(jīng)濟的高速發(fā)展，人們的財富水平日益提高，對保險的需求不斷加大.目前，保險業(yè)總資產(chǎn)正在急速增長，擁有大量資產(chǎn)的保險人已經(jīng)成為資本市場的主體，其面臨的問題也越來越多.一方面，我國經(jīng)濟政策的相繼出臺使得保險資金投資渠道增加，這加大了資本市場的利率風險、股市波動風險和通脹風險，使得保險人面臨更高的投資風險.另一方面，保險人的風險承擔壓力越來越大，為了控制保險風險，保險人選擇開展再保險業(yè)務，其目的是將部分保險風險轉(zhuǎn)移給再保險人.為了控制投資風險和保險風險，找到最優(yōu)投資和再保險策略，許多學者開始研究最優(yōu)投資再保險問題.

近年來，均值-方差準則下的最優(yōu)投資再保險問題受到眾多學者關(guān)注，Zeng和Li[1]基于擴散模型進行研究；楊鵬和劉琦[2]基于兩種相依保險業(yè)務進行研究；Zeng等[3]在盈余過程和風險資產(chǎn)過程中均引入跳擴散項，研究一個風險資產(chǎn)時的結(jié)果；孟祥波等[4]將其拓展到多個風險資產(chǎn).這四篇文獻所考慮的都是比例再保險，針對超額損失再保險，Li等[5]基于譜負Levy過程進行研究.上述文獻均考慮常數(shù)風險厭惡，研究結(jié)果顯示最優(yōu)策略與財富水平?jīng)]有相關(guān)性，這一結(jié)果不符合常理.現(xiàn)實中，一個人的風險厭惡水平應該與他的當前財富水平有一定的關(guān)聯(lián)，也就是說，風險厭惡依賴于保險人的當前財富水平.

考慮到上述原因，很多學者在引入狀態(tài)相依風險厭惡的均值-方差準則下研究最優(yōu)投資再保險問題.僅考慮投資時，Bjork等[6]根據(jù) Bjork和Murgoci[7]的研究框架在擴散模型下進行求解；Zhang和Liang[8]則在兩個跳擴散風險資產(chǎn)下進行討論.既考慮投資又考慮再保險時，Li等[9]基于擴散過程和比例再保險在風險資產(chǎn)價格與盈余過程相互獨立的條件下進行研究；Bi等[10]對其進行拓展，研究風險資產(chǎn)價格與盈余過程有相關(guān)性時的結(jié)果；Zhang等[11]則基于兩種相依保險業(yè)務，分別在擴散風險模型和 Cramér-Lundberg (C-L) 模型下進行研究.結(jié)果顯示，上述文獻所得到的最優(yōu)策略與保險人當前財富水平具有相關(guān)性，也就是說考慮狀態(tài)相依風險厭惡使得結(jié)果更為合理.

本文將從風險模型和再保險方式兩個方面對Bi和Cai[10]進行拓展，具體是考慮帶有狀態(tài)相依風險厭惡的均值-方差準則，擬在有泊松跳的風險模型中研究最優(yōu)投資和超額損失再保險問題.從狀態(tài)相依風險厭惡的角度看，本文也推廣了Li等[5]中的結(jié)果.

本文結(jié)構(gòu)安排如下：首先，對最優(yōu)化問題進行闡述，建立帶有狀態(tài)相依風險厭惡的均值-方差模型，并給出風險厭惡函數(shù)；其次，求解最優(yōu)化問題，得到最優(yōu)投資再保險策略及相應的值函數(shù)；最后，用數(shù)值實例說明模型參數(shù)對策略的影響.

1 模型介紹

(1)

定義1.1 策略u=(πt,l(z,t))t∈[0,T]稱為可允許策略，如果它滿足下列條件：

(1)u是F-循序可測的；

(2)對任意t∈[0,T]和z≥0，πt≥0,0≤l(z,t)≤z;

(3)對任意(t,x)∈[0,T]×，

(4)對任意(t,x)∈[0,T]×，隨機微分方程(1)有唯一的強解,

上述最優(yōu)化問題是時間不一致的，按照Bjork和Murgoci[7]提出的方法，本文在博弈論框架下將原來的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為尋找子博弈納什均衡的問題.下面給出均衡控制策略和均衡值函數(shù)的定義.

相應的均衡值函數(shù)V定義為V(t,x)=Ju*(t,x).

對于任意函數(shù)φ(t,x)∈C1,2([0,T]×)，定義無窮小算子

(2)

2 問題求解

由Bjork和Murgoci[7]的Theorem 4.1，給出下面的驗證定理，其證明類似，故此處省略.

定理2.1 如果存在函數(shù)V(t,x),g(t,x)∈C1,2([0,T]×)以及f(t,x,y)∈c1,2([0,T]××) 滿足下列條件，?(t,x)∈[0,T]×和y∈,

(3)

并且

那么u*是均衡投資再保險策略，并且V(t,x)=Ju*(t,x)，即V(t,x)是均衡值函數(shù).

注上述定理的條件，隱含函數(shù)f和g有下面的概率解釋

(4)

(5)

定理2.2 定義2.1中均衡控制問題的均衡策略為

其中

并且

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

證明猜測HJB方程系統(tǒng)(3)具有如下形式的解

其中c1(t),c2(t),k1(t) 和k2(t)是確定的函數(shù)，在這種情形下，財富過程變?yōu)?/p>

構(gòu)造如下的過程ρt:

則有

(14)

根據(jù)(14)式，可得

(15)

注意到

(16)

注意到V(t,x)=f(t,x,x)+(G◇g)(t,x)，所以HJB方程可以重寫為

即

(17)

根據(jù)(4),(5)式可得

(18)

g(t,x)=P1(t)x+Q1(t).

(19)

假設(17)式等號左邊的表達式在控制區(qū)間內(nèi)取到最大值，分別對(17)式中的π和l求一階偏導，令導數(shù)等于0，得

下面考慮值函數(shù)，因為有πt≥0,0≤l(z,t)≤z的限制條件，所以需要考慮下面的3種情況：

定理2.3 以上3種情況下定義2.1中控制問題的均衡值函數(shù)分別為：

情況1.V(t,x)的表達式為

(20)

其中P1(t),Q1(t),K(t),P2(t)和Q2(t)分別由(10),(11),(12),(13)和(16)式給出.

情況2.V(t,x)的表達式為在(20)式中取c2(t)=0,k2(t)=z.

情況3.V(t,x)的表達式為

(21)

因此有

3 數(shù)值分析

這一部分給出數(shù)值實例來說明模型參數(shù)對均衡投資策略π*(t)的影響.假設初始盈余x=0.6，索賠大小服從參數(shù)為λz的指數(shù)分布，即分布函數(shù)為F(z)=1-e-λzz,z≥0.選擇的模型參數(shù)值在表 1 中給出.

表1 保險市場和金融市場的參數(shù)

圖1 γ,σ對π*(t)的影響

從圖1，可以看到均衡投資策略π*(t)的動態(tài)變化.(a)圖給出了風險厭惡系數(shù)γ對均衡投資策略π*(t)的影響，首先，對于一個給定的風險厭惡系數(shù)γ，π*(t)隨著t的增加而增加，這意味著隨著t的增加，保險人應該在風險資產(chǎn)中投資越來越多的錢，這一點和現(xiàn)實情況相一致；其次，對于固定的時間t，π*(t)隨著γ的增加而減小，這一點也是合理的，一個較大的γ值意味著保險人有著更高程度的風險厭惡，風險厭惡水平高的保險人會選擇在風險資產(chǎn)中會投資較少的資金.(b)圖給出了風險資產(chǎn)的波動系數(shù)σ對均衡投資策略π*(t)的影響，π*(t)隨著σ的增加而減小.σ較大意味著風險資產(chǎn)的收益會有更大的波動，因此，在相同的風險厭惡下，保險人會減少在風險資產(chǎn)中的投資金額.