一類Klein-Gordan方程的精確解*

張 娟，楊吉英

(①昆明理工大學(xué)津橋?qū)W院理工學(xué)院,650106，昆明市；②保山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院， 678000，云南省保山市)

0 引 言

Klein-Gordan方程是由瑞典理論物理學(xué)家奧斯卡·克萊因和德國人沃爾特·戈登于1927年分別獨(dú)立推導(dǎo)得出的.Klein-Gordan方程是相對論量子力學(xué)和量子場論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一.有許多積分變換方法可以求解常微分方程、偏微分方程和積分方程[1-8].同時，許多學(xué)者提出了不同的方法來處理各種類型的Klein-Gordan方程，如約化微分變換法(RDTM)[9]、變分迭代法(VIM)[10-11]、Adomian分解法(ADM)[12]、改進(jìn)的Adomian分解法(MADM)[13]和自然分解法(NDM)[14，15].

Adomian分解法是由美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家George.Adomian提出的，自提出以來已被應(yīng)用于求解各種數(shù)學(xué)物理問題.用該方法得到的解一般為級數(shù)形式，具有很好的收斂性且便于計(jì)算.自然變換(Natural transform)[6]是一種類似于Laplace變換和Sumudu變換的新的積分變換，這種積分變換的特點(diǎn)是其收斂于Laplace變換和Sumudu變換.自然分解法是自然變換法和傳統(tǒng)的Adomian分解法的結(jié)合.本文通過兩個例子來說明這種方法的有效性和準(zhǔn)確性,并與已有的結(jié)果進(jìn)行了比較.

1 自然變換

定義1.1[6-8]設(shè)f(t) 當(dāng)t≥0時有定義. 稱

為函數(shù)f(t)的自然變換,其中f(t)∈A,而

A={f(t)|?M,τ1,τ2,使得|f(t)|

若R(s,u)是f(t)的自然變換，則稱f(t)為R(s,u)的逆變換.

下面,給出自然變換的一些基本性質(zhì).

定理1.2[6-8]若R(s,u),F(S)分別是f(t)∈A的自然變換和Laplace變換,則

定理1.3[6-8]若R(s,u),G(u)分別是f(t)∈A的自然變換和Sumudu變換,則

定理1.6[6-8]若a,b是非零常數(shù),f(t) 與g(t) 是A上的函數(shù),則

N+[af(t)±bg(t)]=aN+[f(t)]±bN+[g(t)].

2 自然分解法

下面介紹自然分解法[14,15].考慮下面的非線性非齊次Klein-Gordan方程

vtt(x,t)-vxx(x,t)+cv(x,t)+Fv(x,t)=h(x,t),

(1)

v(x,0)=f(x),vt(x,0)=g(x),

(2)

這里,t是時間變量,s是空間變量,c是常數(shù),F代表一般的非線性微分算子,h(x,t),f(x),g(x)是源項(xiàng).

方程(1)式兩邊同時取自然變換,有

(3)

將方程(2)代入方程(3),得

(4)

方程(4)兩邊同時取逆變換，有

(5)

其中H(x,t)來自源項(xiàng).

設(shè)

(6)

引入Adomian多項(xiàng)式來表示非線性項(xiàng)

(7)

其中

(8)

將(6),(7)式代入方程(5),得

(9)

比較方程(9)兩邊，得

以此類推,

3 應(yīng)用舉例

下面將自然分解法應(yīng)用于求解線性及非線性Klein-Gordan方程.

例1 考慮下面的非齊次線性Klein-Gordan方程[12]

vtt(x,t)-vxx(x,t)+v(x,t)=2cosx,

(10)

其初始條件為

v(x,0)=cosx,vt(x,0)=1.

(11)

首先,方程(10)兩邊取自然變換,得

(12)

將式(11)代入方程(12),有

(13)

方程(13)兩邊同時取逆變換,得

(14)

設(shè)

(15)

結(jié)合(14),(15)式得

(16)

比較(16)式兩邊,有

v0(x,t)=cosx+sint+cosx(1-cost),

以此類推，

(17)

由(17)式,計(jì)算得

以此類推,可以得到以下級數(shù)形式的解

v(x,t)=v0(x,t)+v1(x,t)+v2(x,t)+….

另外，通過消去v0(x,t)和v1(x,t)之間的噪聲項(xiàng),發(fā)現(xiàn)v0(x,t)的剩余部分仍然是原方程的解.于是得到原方程的精確解v(x,t)=cosx+sint.這與文獻(xiàn)[13]中通過改進(jìn)的Adomian分解法(MADM)得到的結(jié)果是一致的.

例2 考慮下面的非齊次非線性Klein-Gordan方程[12]

vtt(x,t)-vxx(x,t)+v2=1+2xt+x2t2,

(18)

其初始條件為

v(x,0)=1,vt(x,0)=x.

(19)

首先,方程(18)兩邊取自然變換，得

(20)

將式(19)代入方程(20),有

(21)

方程(21)兩邊同時取逆變換,得

(22)

設(shè)

(23)

結(jié)合(22),(23)式得

(24)

其中An是表示非線性項(xiàng)v2的Adomian多項(xiàng)式.

比較(24)式兩邊,有

于是

(25)

由式(25),計(jì)算得

以此類推,可以得到以下級數(shù)形式的解v(x,t)=v0(x,t)+v1(x,t)+v2(x,t)+….

另外，通過消去v0(x,t)和v1(x,t)之間的噪聲項(xiàng),發(fā)現(xiàn)v0(x,t)的剩余部分仍然是原方程的解.于是得到原方程的精確解v(x,t)=1+xt.這與文獻(xiàn)[13]中通過改進(jìn)的Adomian分解法(MADM)得到的結(jié)果是一致的.

4 結(jié) 論

本文利用自然分解法，研究了一類Klein-Gordan方程的精確解.通過兩個例子驗(yàn)證了該方法的有效性和準(zhǔn)確性.我們將致力于更一般化的模型，以供將來的研究，并將此方法應(yīng)用于其他非線性偏微分方程的求解.