帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)化與守恒分析

陳 曦

(中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100080)

張石友 張曉琳

(北京市第一七一中學(xué) 北京 100013)

在帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行高三復(fù)習(xí)時(shí)，遇到了一道看似平常的練習(xí)題，“奇怪”的是：從兩個(gè)不同的角度求解，得到的“答案”卻不同，引發(fā)了我們的思考與討論，問(wèn)題描述如下.

【例題】?jī)蓚€(gè)平行且彼此靠近的金屬板與一直流電源兩極相連，電源的內(nèi)阻可忽略不計(jì)，兩板間形成的電場(chǎng)可認(rèn)為是勻強(qiáng)電場(chǎng).有質(zhì)量為m，電荷量為-q的粒子，不間斷地從兩平行板左側(cè)中點(diǎn)以初速度v0沿垂直場(chǎng)強(qiáng)的方向射入電場(chǎng)，粒子偏轉(zhuǎn)后恰打在下極板的邊緣上，如圖1所示.已知單位時(shí)間入射的粒子數(shù)為n，兩平行板的間距為d，金屬板長(zhǎng)度為L(zhǎng)，不計(jì)粒子重力.求穩(wěn)定時(shí)電源的輸出功率.

圖1 單個(gè)粒子打在極板的邊緣

解法1(參考答案)：

解析：粒子打在極板上，電路導(dǎo)通，電流

(1)

(2)

由式(1)、(2)，可得電源輸出功率

解法2(從能量轉(zhuǎn)化與守恒的大思路來(lái)展開(kāi))：

(3)

對(duì)單個(gè)粒子來(lái)說(shuō)，電源做的功即增加的動(dòng)能為

(4)

單位時(shí)間內(nèi)電源對(duì)粒子所做的功，為

W=nW0

(5)

由式(3)、(4)、(5)，可得電源輸出的功率

上述兩種方法中，一個(gè)認(rèn)為回路中的電流是因?yàn)橛袔щ娏Ｗ哟虻綐O板上產(chǎn)生的；另一個(gè)則是避開(kāi)電流的問(wèn)題，直接利用能量守恒求解.孰對(duì)孰錯(cuò)？

為了弄清楚這個(gè)問(wèn)題，我們不妨做個(gè)假設(shè)：假如沒(méi)有帶電粒子打到極板上，如圖2所示.按照“參考答案”所給思路，電路中就會(huì)沒(méi)有電流，電源的輸出功率也將是零，那么帶電粒子偏轉(zhuǎn)后獲得的動(dòng)能哪里來(lái)的？豈不違背能量守恒定律嘛！據(jù)此我們可以判定，第一種求解方法應(yīng)該是存在問(wèn)題的.

圖2 單個(gè)粒子從極板間射出

經(jīng)查閱資料并討論交流后發(fā)現(xiàn)：帶電粒子(-q)在進(jìn)入平行板電容器后會(huì)引起兩板發(fā)生靜電感應(yīng)現(xiàn)象，在上下兩個(gè)極板上都感應(yīng)出電荷，感應(yīng)電荷的電量和帶電粒子與極板的距離有關(guān).偏轉(zhuǎn)過(guò)程中，帶電粒子和兩個(gè)極板的距離發(fā)生變化，導(dǎo)致兩個(gè)極板上感應(yīng)電荷的電量也發(fā)生變化.一部分感應(yīng)電荷沿著外電路從一個(gè)極板流向另一個(gè)極板，形成電流.因此我們并不能認(rèn)為只有帶電粒子打到極板上一瞬間，外電路中才會(huì)有電流，更不能認(rèn)為電流的大小等于單位時(shí)間內(nèi)打到極板上的電荷量.電流流過(guò)電源時(shí)，電動(dòng)勢(shì)做功將其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能和帶電粒子的動(dòng)能.

為了能在高中或者高中物理競(jìng)賽的知識(shí)范圍內(nèi)計(jì)算感應(yīng)電荷的電荷量，我們做以下兩個(gè)近似.第一，帶電粒子入射之前，只有兩極板之間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，空間其他位置處沒(méi)有電場(chǎng).第二，入射帶電粒子的電量遠(yuǎn)小于電容器所帶電量，帶電粒子入射之后，除帶電粒子周?chē)?，兩極板之間的大部分區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)仍然可以近似看作勻強(qiáng)電場(chǎng).在這兩個(gè)近似下，我們能得到兩個(gè)結(jié)論.首先，利用高斯定理可以證明兩個(gè)極板上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷總量保持為+q.其次，利用電勢(shì)疊加[1]和高斯定理[2]，可以證明兩極板上感應(yīng)電荷的電量之比等于兩極板和帶電粒子距離的反比.篇幅所限，我們將在后續(xù)的論文中進(jìn)一步討論計(jì)算感應(yīng)電荷的方法，并證明上述兩個(gè)結(jié)論.

具體舉例說(shuō)明如下.

說(shuō)明1：帶電粒子偏出電場(chǎng)

設(shè)單位時(shí)間內(nèi)有n個(gè)帶電粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)并發(fā)生偏轉(zhuǎn)，如圖3所示.僅考慮進(jìn)入電容器之間的帶電粒子引起兩極板發(fā)生靜電感應(yīng)而產(chǎn)生感應(yīng)電荷，整個(gè)“弧形帶電粒子流”在平行板電容器之間是穩(wěn)定存在的，因此引起兩極板的感應(yīng)電荷分布也是穩(wěn)定的，因此只需考慮單位時(shí)間內(nèi)“新進(jìn)入”和“剛飛出”的帶電粒子即可，考慮到整個(gè)過(guò)程是持續(xù)穩(wěn)定的過(guò)程，因此可以等效視為每1 s內(nèi)都有-nq的電荷量進(jìn)入,也有-nq的電荷“飛出”.事實(shí)上，為了弄清楚電路電流情況，我們只需考慮每秒內(nèi)兩極板上因上述“飛入”和“飛出”的-nq電荷量引起的極板上感應(yīng)電荷量變化即可，這個(gè)過(guò)程中電源負(fù)責(zé)搬運(yùn)的電荷量也恰好是這個(gè)數(shù)值，這個(gè)電荷量與電路中的電流相對(duì)應(yīng).

圖3 多個(gè)粒子從極板間射出

上極板感應(yīng)電荷量變化為

下極板感應(yīng)電荷量變化為

如果要維持系統(tǒng)穩(wěn)定，極板上的電荷量應(yīng)穩(wěn)定不變，這就需要電源把上極板多出的電荷搬運(yùn)到下極板.即：回路中的電流大小為

說(shuō)明2：粒子未偏出電場(chǎng)，最終打在下極板上

我們回到初始的題目，帶電粒子恰好打到下極板邊緣(圖4).若帶電粒子打在極板上作為末態(tài).沿用上述說(shuō)明1中的思路，可以得出下面的結(jié)論：

這里面要注意每秒內(nèi)打在下極板的電荷量-nq會(huì)使得下極板電荷變化，同時(shí)因這部分電荷打在了下極板而使上極板上的感應(yīng)電荷消失.這樣總的來(lái)看：

上極板每秒內(nèi)感應(yīng)電荷量增加為

下極板感應(yīng)電荷量增加量與打在下極板引起電荷變化的總和為

按照上述理論，回路中的電流大小應(yīng)為

電源的輸出功率為

圖4 多個(gè)粒子打在下極板邊緣

當(dāng)然了，盡管這種算法也能得到答案，但是筆者依然建議從能量轉(zhuǎn)化與守恒的角度來(lái)分析問(wèn)題.

綜上所述，問(wèn)題核心在于由于進(jìn)入平行板電容器的并不是“等離子體”，這樣使得通過(guò)電路的電荷量不是打在極板上的“電荷”量.在帶電粒子不斷靠近極板時(shí)，極板上感應(yīng)電荷發(fā)生變化，為形成穩(wěn)定的狀態(tài)，電源會(huì)不間斷地把多出的電荷從一個(gè)極板挪到另一個(gè)極板上，從而在回路中形成電流.

但也要注意到，上面的討論也存在一定的局限性.考慮這樣一種情況：電容器兩極板帶等量異號(hào)的電荷，和電源斷開(kāi)，如圖5所示.帶電粒子沿著虛線(xiàn)方向從無(wú)窮遠(yuǎn)處射入電容器，偏轉(zhuǎn)之后離開(kāi)電容器再運(yùn)動(dòng)至無(wú)窮遠(yuǎn)處.這個(gè)系統(tǒng)的能量包含3部分，帶電粒子的電勢(shì)能、電容器的電勢(shì)能和帶電粒子的動(dòng)能.帶電粒子從無(wú)窮遠(yuǎn)處來(lái)，又運(yùn)動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處，它的電勢(shì)能不變.電容器的電荷量不變，電勢(shì)能也不變.帶電粒子在電容器中被偏轉(zhuǎn)電壓加速，動(dòng)能增加.綜上所述，系統(tǒng)的總能量是增加的.在沒(méi)有電源供電的情況下，系統(tǒng)增加的那部分能量是從哪里來(lái)呢？是否能量不守恒了呢？

圖5 多個(gè)粒子的電偏轉(zhuǎn)

實(shí)際上，“忽略邊緣效應(yīng)”這一錯(cuò)誤近似導(dǎo)致了“能量不守恒”這一似是而非的結(jié)果.高中階段，我們通常認(rèn)為只有電容器的兩極板之間存在電場(chǎng).而實(shí)際情況是，為了保證靜電場(chǎng)做功和路徑無(wú)關(guān)，電容器的外部也必然存在電場(chǎng)，我們將這種現(xiàn)象稱(chēng)為邊緣效應(yīng).帶電粒子穿過(guò)電容器兩極板之間時(shí)被電場(chǎng)力加速，電勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能；帶電粒子穿出電容器后，邊緣效應(yīng)又會(huì)對(duì)帶電粒子減速，使其動(dòng)能又重新轉(zhuǎn)化為電勢(shì)能.當(dāng)帶電粒子回到無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，它的動(dòng)能和電勢(shì)能都會(huì)回到其從無(wú)窮遠(yuǎn)出發(fā)時(shí)的數(shù)值，系統(tǒng)總能量守恒.

這些例子告訴我們，在高中物理范圍內(nèi)分析帶電粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)時(shí)，模型本身的局限性可能會(huì)導(dǎo)致某些荒謬的結(jié)論.在日常教學(xué)中應(yīng)加以重視，引導(dǎo)學(xué)生們通過(guò)推理論證，認(rèn)識(shí)物理模型的局限性，加深對(duì)能量、運(yùn)動(dòng)與相互作用等物理觀念的理解.