考慮滲流及軟化效應的深埋引水隧洞圍巖彈塑性分析

惠 強， 姜海波， 張玉潔， 翟棟森

(石河子大學 水利建筑工程學院， 新疆 石河子 832003)

1 研究背景

水工引水隧洞是水利樞紐的重要組成部分，隨著我國溪洛渡水電站、烏東德水電站、白鶴灘水電站等大型水利工程的陸續(xù)建設，水工隧洞埋深逐漸增大，而深部巖體中往往存在豐富的地下水，故水工引水隧洞往往受地應力、滲流場綜合作用，極大地影響了隧洞圍巖應力分布。因此考慮滲流影響下深埋水工引水隧洞圍巖的受力及應力分布的研究成為學術界與工程界關注的熱點[1]。

近年來，許多學者在隧洞經(jīng)典彈塑性解的基礎上進行研究，推導出了考慮滲流場影響下的隧洞彈塑性解，文獻[2]通過將深埋圓形隧洞簡化，運用Mohr-Coulomb強度準則求解得到考慮滲流場的圍巖應力解析解，探討了滲流場對圍巖應力的影響；文獻[3]在文獻[2]研究的基礎上引入應力調(diào)整系數(shù)，求得考慮地應力重分布影響，深埋圓形透水隧洞彈塑性解析解；文獻[4]運用彈塑性損傷力學理論，推導出了巷道圍巖穩(wěn)定性的理論解答；文獻[5]通過對包括Mohr-Coulomb準則和Hoek-Brown準則在內(nèi)的4種巖石強度準則進行歸納整理，得到了平面應變條件下圍巖屈服方程的統(tǒng)一形式，在此基礎上推導了滲流作用下的圍巖應力場、位移場的統(tǒng)一解；文獻[6]改進了基于Hoek-Brown準則推導出來的圍巖彈塑性應力解答，使其不含有積分項?？梢钥吹?，目前學者進行圍巖彈塑性計算分析時，大多選擇采用未考慮中間主應力的Mohr-Coulomb準則[3]和Hoek-Brown準則[6-7]導致計算結果偏于保守[8]，并且在進行滲流場計算時，以往大多采用各向同性進行計算，即各個方向上滲透系數(shù)相等，這與工程實際存在差異，只有掌握了隧洞開挖后圍巖滲流場的分布規(guī)律，才能分析出滲流作用對圍巖應力及塑性區(qū)范圍的影響程度，為相關工程實踐提供可靠的理論指導。

本文在前人研究的基礎上，基于統(tǒng)一強度理論準則，同時考慮應變軟化、滲流及中間主應力的影響，將引水隧洞圍巖分為塑性殘余區(qū)、塑性軟化區(qū)及彈性區(qū)，推導圍巖各分區(qū)的應力及半徑解析表達式，同時考慮水平方向和垂直方向上滲透系數(shù)的不同，通過定義不均勻滲透系數(shù)，分析其對圍巖各方向上孔隙水壓力分布規(guī)律的影響。最后通過算例分析了圍巖軟化、滲流作用、中間主應力系數(shù)對隧洞切向應力和塑性區(qū)半徑的影響規(guī)律。研究結果可為進一步研究含水巖體下隧洞開挖圍巖穩(wěn)定性等問題提供參考。

2 基本假設及理論模型

2.1 力學模型

為了定性研究考慮滲流及應變軟化作用下圓形引水隧洞圍巖應力分布情況，本文求解時對實際問題做了如下假定：(1)計算過程按軸對稱下平面應變問題考慮。(2)將含水圍巖視為滿足達西定律的兩相介質(zhì)體。(3)為耦合計算方便，文章在計算時以壓應力為正值，拉應力為負值。

圖1為隧洞圍巖力學模型，根據(jù)圍巖應力應變狀態(tài)，將隧洞圍巖分為3個區(qū)域，即彈性區(qū)、塑性軟化區(qū)和塑性殘余區(qū)，彈性區(qū)的圍巖處于完整狀態(tài)，當圍巖應力超過巖體強度極限時，圍巖處于塑性軟化狀態(tài)，隨著變形的逐漸增大，巖體強度逐漸衰減，最終達到殘余強度，此時圍巖進入塑性殘余區(qū)，相應力學參數(shù)取值見公式(1)、(2)。隧洞開挖半徑為R0(m)，隧洞圓心至塑性殘余區(qū)外邊界距離為Rr(m)，隧洞圓心至塑性軟化區(qū)外邊界距離為Rp(m)；半徑R(m)以外的穩(wěn)定滲流場水壓與原始滲流場外水壓力Pi(Pa)相同，R可由鉆孔試驗獲得[9]；隧洞支護力為P0(Pa)，初始地應力為σ0(Pa)，側(cè)壓力系數(shù)λ為1，即水平地應力與垂直地應力相等。

圖1 圍巖力學模型

2.2 應變軟化模型

圍巖的應變軟化在細觀上表現(xiàn)為應力作用下微小裂隙的張開、貫通及圍巖性質(zhì)的弱化；宏觀上可以認為圍巖的黏聚力、內(nèi)摩擦角等參數(shù)發(fā)生改變[10]。圍巖力學參數(shù)黏聚力C(Pa)、內(nèi)摩擦角φ(°)分別為η的分段函數(shù)[11-12]：

(1)

(2)

圖2 最大主應力變化曲線

文獻[13]、[14]給出了η*的計算公式如下：

(3)

(4)

式中：ψ為巖石剪脹角，(°);E為圍巖彈性模量，Pa；M為軟化曲線斜率，Pa，由于巖石應力-應變曲線卸載斜率和加載斜率相差不大，故此處假設兩者是相同的[12]。

2.3 統(tǒng)一強度理論

統(tǒng)一強度理論具有多種表達形式[15-16]，對于巖石類材料，采用巖石內(nèi)摩擦角φ、巖石黏聚力C表示則為[16]：

=2Ccosφ

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：σ1、σ2、σ3分別為最大主應力、中間主應力以及最小主應力；b為中間主剪應力以及其作用面上的法向正應力對材料破壞的影響程度，其取值范圍為[0,1][16]。

2.4 滲流場計算

在軸對稱平面穩(wěn)定滲流場中，考慮到巖體在水平、垂直方向上具有不同的滲透系數(shù)，兩個方向上的達西定律表示為[17]：

(9)

式中:V為滲透水流流速,m/d；h為滲流位勢,m；kx、ky分別為水平、垂直方向上的滲透系數(shù),m/d。

不可壓縮水體在巖體中流動的連續(xù)性方程為：

(10)

孔隙水壓力Pw=h·γw，γw為水的重度，N/m3，定義水平、垂直方向上的滲透系數(shù)比值為不均勻滲透系數(shù)ν，即kx=ν·ky，當ν=1時，巖體為各向同性。將公式(9)與(10)聯(lián)立，采用柱坐標系表示，得軸對稱平面穩(wěn)定滲流微分方程：

cos2β)=0

(11)

(12)

當ν=1時，上式變?yōu)楦飨蛲詭r體的軸對稱平面穩(wěn)定滲流場，與文獻[17]推導公式一致。

由邊界條件：

Pw(r=R0)=0,Pw(r=R)=Pi

解得隧洞圍巖孔隙水壓力沿半徑的分布規(guī)律為：

(13)

3 考慮滲流及軟化效應的圍巖彈塑性分析

由于引水隧洞圍巖受內(nèi)水壓力、外水壓力及地應力的共同作用，在不同工況下，圍巖的第一主應力既可能為徑向應力，也可能為切向應力[18]。當引水隧洞處于施工期或隧洞處于運行期且初始地應力大于隧洞內(nèi)水壓力時，若初始地應力大于隧洞內(nèi)水壓力，或隧洞處于施工期時，即σ0>P0時，有σθ>σr成立[19]。由于文章研究對象為施工期的深埋引水隧洞，不考慮內(nèi)水壓力的影響，故此時第一主應力為切向應力。對于平面應變問題，中間主應力為[20]：

(14)

式中：m為中間主應力參數(shù)，對于巖石類材料，m=1。

即在此情況下，σθ=σ1、σz=σ2、σr=σ3。由于滿足公式(7)條件，將公式(1)、(2)、(14)代入公式(7)得第一主應力為切向應力時的圍巖統(tǒng)一強度理論公式：

σθ=σrA1+A2

(15)

(16)

(17)

3.1 塑性殘余區(qū)

考慮滲流作用的平衡方程為[4,17]：

(18)

式中:α為滲透水壓力的作用面積系數(shù)，為安全起見，在研究巖體的破壞和穩(wěn)定時，一般取α=1[21]。

將公式(13)、(18)聯(lián)立求解，受限于文章篇幅，只推導得出ν=1時的應力表達式如公式(19)、(20)所示，ν≠1的應力表達式可用相同步驟推導求出。

(19)

(20)

式中:C為待定常數(shù)。將塑性殘余區(qū)內(nèi)邊界(r=R0)上的邊界條件σrpr=Po代入公式(19)，可得圍巖塑性殘余區(qū)應力表達式：

(21)

(22)

3.2 塑性軟化區(qū)

(23)

(24)

3.3 彈性區(qū)

(25)

由切向應力與徑向應力之和在圍巖彈塑性交界面處(r=Rp)連續(xù)可得：

(26)

解得：

(27)

將公式(27)與(24)聯(lián)立可得：

(28)

將公式(3)、(28)聯(lián)立可得：

(29)

同理可得無滲透作用下完全由地應力引起的峰值應力為：

(30)

(31)

上標g表示由地應力引起的應力值，將公式(28)、(29)、(30)、(31)代入公式(25)、(21)、(23)可得由軟化參數(shù)及相關巖石參數(shù)表示的考慮滲流及軟化效應的圍巖各分區(qū)應力表達式。

4 算例分析

以新疆某引水隧洞工程某標段為例進行算例分析。根據(jù)現(xiàn)場實測資料，該段巖石較堅硬，該段圍巖定為Ⅲ類。本段上覆圍巖厚180～800 m，洞室內(nèi)有滲水和滴水現(xiàn)象。隧洞開挖半徑R0=2 m，由鉆孔實測及抽水試驗可知，保持原始滲流場外水壓力的圍巖影響半徑R=10R0=20 m。為了進一步探討圍巖軟化、滲流效應、中間主應力系數(shù)對隧洞圍巖應力和塑性區(qū)半徑的影響規(guī)律，在此以該工程實際圍巖力學參數(shù)為依據(jù)進行算例分析，圍巖力學參數(shù)見表1。

表1 實例工程圍巖力學參數(shù)

4.1 不均勻滲透系數(shù)對孔隙水壓分布的影響

從公式(13)可以看出，影響圍巖孔隙水壓力分布的因素很多。下面分析不均勻滲透系數(shù)ν對圍巖不同方向上孔隙水壓力分布的影響。

圖3為不同ν值條件下不同方向上的圍巖孔隙水壓力分布，其中橫軸為該點距隧洞圓心距離r與原始滲流場外水壓力的影響半徑R的比值。由圖3可知，不均勻滲透系數(shù)對不同方向上的孔隙水壓力分布皆有影響。圖3(a)表明，當外水壓力一定時，隨著不均勻滲透系數(shù)的增大，沿0°方向上(水平方向)孔隙水壓力的增長速度逐漸變緩，最終趨于外水壓力。沿30°方向上孔隙水壓力的變化趨勢與0°方向上相似(圖3(b))，但是不同ν值下的增長速度差異性沒有后者明顯；圖3(c)和圖3(d)顯示60°方向上與90°方向(垂直方向)孔隙水壓力的變化趨勢相同，都是隨著不均勻滲透系數(shù)的增大，孔隙水壓力的增長速度逐漸加快，90°方向上不同ν值下的增長速度差異性較60°方向上更為明顯。這說明隨著ν值的改變，滲流沿不同方向表現(xiàn)出了各向異性，且越靠近水平方向或垂直方向，孔隙水壓力分布越容易受不均均勻滲透系數(shù)的影響，具體來說，當ν<1時，越靠近水平方向，孔隙水壓力變化速度越快；當ν>1時，越靠近垂直方向，孔隙水壓力變化速度越快。這表明，當ν<1時，即水平方向上的滲透系數(shù)小于垂直方向上的滲透系數(shù)時，在遠離隧洞臨空面的圍巖深處水平方向上的孔隙水壓力降低幅度遠小于垂直方向上孔隙水壓力的降低幅度，由于隧洞臨空面處水壓力邊界條件為一定值，故計算結果顯示靠近臨空面處水平方向上水力梯度陡然增大。究其原因，筆者認為不同滲透系數(shù)對應著不同巖性的地層，其水力影響半徑也有所不同，但在本文研究過程中，為簡化計算假設其影響半徑相同均為R。根據(jù)該算例結果可推測，滲透系數(shù)小的方向的水力影響半徑應該反而更大，由于該部分不是本文重點，故巖層滲透系數(shù)與水力影響半徑的關系可由后續(xù)研究證明。

圖3 不同ν值條件下不同方向上的圍巖孔隙水壓力分布

4.2 滲流及軟化效應對圍巖不同分區(qū)范圍及應力分布的影響

為揭示應變軟化及滲流作用對圍巖應力、塑性區(qū)半徑的影響，本節(jié)將本文第3節(jié)彈塑性解(既考慮圍巖應變軟化也考慮滲流作用)與以下3種情況的彈塑性解進行對比討論：不考慮應變軟化、不考慮滲流作用、既不考慮軟化也不考慮滲流作用。為簡化計算，將軟化區(qū)內(nèi)巖石材料參數(shù)的衰減看作線性變化。

若不考慮滲流及軟化作用，塑性區(qū)滿足如下平衡方程：

(32)

求得不考慮滲流作用及軟化作用圍巖塑性區(qū)及彈性區(qū)應力表達式為：

(33)

(34)

塑性區(qū)半徑表達式為：

(35)

當b=0時，統(tǒng)一強度準則變?yōu)镸ohr-Coulomb強度準則，此時公式(35)稱為Kastner方程[22]。

(36)

由彈塑性邊界上切向應力與徑向應力之和連續(xù)可得塑性區(qū)半徑表達式為：

(37)

若不考慮圍巖滲流作用，塑性區(qū)同樣滿足平衡方程(32)，彈性區(qū)視為厚壁圓筒，用上文方法可解得圍巖各分區(qū)的應力表達式，這里不再贅述。最后求得塑性區(qū)半徑表達式為：

(38)

(39)

當中間主應力系數(shù)b=0時，則統(tǒng)一強度準則退化為Mohr-Coulomb強度準則，按上文公式計算求得4種情況下P0與塑性區(qū)半徑Rp之間關系曲線如圖4所示。由圖4可知，P0對圍巖塑性區(qū)半徑Rp影響顯著。當b一定時，隨著P0的增大，塑性區(qū)半徑Rp逐漸減小直至無塑性區(qū)(由于挖半徑R0=2 m，故Rp<2 m時表明塑性區(qū)不存在)。當P0=4 MPa時，4種情況所對應的Rp比P0=2 MPa時對應的Rp分別減小了28.4%、16.1%、20.8%、13.3%；而當P0=10 MPa時，4種情況所對應的Rp比P0=8 MPa時對應的Rp分別僅減小了10.9%、6.7%、9.3%、5.7%，表明在一定范圍內(nèi)，支護力可以減小圍巖塑性區(qū)范圍，且支護力越小，該影響越顯著。當考慮滲流及軟化時，所得Rp均大于僅考慮單一因素或兩者皆不考慮時的Rp，因此當隧洞施工時，應當通過注漿處理等措施加固巖體，降低圍巖軟化程度及滲透系數(shù)，減小圍巖塑性區(qū)范圍，提高圍巖穩(wěn)定性。且僅考慮軟化情況計算所得Rp大于僅考慮滲流情況時的Rp，而這兩種情況下的Rp均大于兩者皆不考慮時計算的Rp，表明滲流及材料軟化都會對圍巖穩(wěn)定造成影響，在計算時不應忽略，且材料軟化較滲流影響對圍巖穩(wěn)定更為不利。

圖4 4種情況下P0與Rp的關系曲線(b=0)

圖5為當P0=2 MPa、b=0時，4種情況下圍巖切向應力分布情況，限于篇幅，且第一主應力對圍巖一般起控制作用，而在此工況下切向應力為第一主應力，故只分析各參數(shù)對切向應力的影響。由圖5可知，靠近隧洞臨空面處，考慮材料軟化情況下的切向應力值小于不考慮材料軟化的切向應力值，這是由于塑性區(qū)內(nèi)圍巖力學參數(shù)發(fā)生劣化導致圍巖承載能力下降，應力向圍巖深處傳遞，導致塑性區(qū)范圍不斷擴大。同時考慮滲流場影響與不考慮滲流場影響的圍巖切向應力分布在臨空面附近基本一致，但靠近深處，考慮滲流場影響的圍巖切向應力逐漸大于不考慮滲流場作用的圍巖切向應力，這是由于不考慮滲流場時，作用在洞壁的支護反力以面力考慮，其作用范圍有限，而滲透水壓力實際上為體積力，作用于應力場的任意一點。

圖5 4種情況下圍巖切向應力分布(P0=2MPa, b=0)

圖6為考慮滲流及軟化條件下，當b=0時，不同P0對應的圍巖切向應力分布情況，其塑性區(qū)半徑見圖4。由圖6可知，隨著P0的增大，臨空面附近圍巖切向應力逐漸增大，P0從2 MPa增加到10 MPa，則隧洞內(nèi)壁處切向應力由8.8 MPa增加至30.9 MPa,增加了2.5倍，而峰值切向應力則由35.5 MPa減小至30.9 MPa，減小了13.0 %。

圖6 不同P0對應的圍巖切向應力分布(考慮滲流及軟化，b=0)

4.3 中間主應力系數(shù)對圍巖不同分區(qū)范圍及應力分布影響

上文基于統(tǒng)一強度理論準則，綜合考慮滲流場及圍巖應變軟化影響，求得隧洞圍巖彈塑性解析解。已知通過改變中間主應力系數(shù)b可將該系列解轉(zhuǎn)化為已知解，如b分別等于0、0.25、0.50、0.75、1.00時，該解可轉(zhuǎn)化為滿足Mohr-Coulomb、雙剪強度準則等強度準則的特解。

通過改變中間主應力系數(shù)b分析考慮滲流及軟化效應下中間主應力對圍巖切向應力的影響，圖7為P0=2 MPa時不同b值對應的圍巖切向應力分布情況，圖8為不同b值對應的塑性區(qū)半徑大小。由圖7、8可知，b值對圍巖切向應力及塑性區(qū)范圍有著顯著的影響，隨著b值的增大，塑性區(qū)半徑逐漸減小，而臨空面附近圍巖切向應力則逐漸增大?？紤]中間主應力效應(b=0.25、0.50、0.75、1.00)時圍巖峰值切向應力相較不考慮中間主應力效應(b=0)分別增加了0.2%、0.8%、0.9%、1.8%，塑性區(qū)半徑大小分別減少了11.3%、17.7%、21.8%、24.7%，這表明相較于考慮中間主應力效應，不考慮中間主應力效應時計算結果相對保守，不能有效發(fā)揮出圍巖的強度。

圖7 不同b值對應的圍巖切向應力分布(P0=2MPa) 圖8 不同b值對應的塑性區(qū)半徑

5 模型驗證與討論

為驗證文章理論模型的準確性，采用文章第3節(jié)工程圍巖參數(shù)，對文章提出的塑性區(qū)半徑計算結果與文獻[5]的塑性半徑進行對比分析。表中中間主應力系數(shù)b=0時，統(tǒng)一強度準則退化為Mohr-Coulomb強度準則；當b≠0時，Mohr-Coulomb強度準則不再適用，取b=0.25討論兩種理論計算結果對比。結果見表2。

表2 不同Pi值下塑性半徑本文理論計算值與文獻[5]計算值對比

從表2可以看出，在b=0時,塑性半徑本文理論值計算結果與文獻[5]計算結果基本一致；而在b≠0時，其結果偏大，且兩種方式計算得到的塑性區(qū)半徑均隨外水壓力的增大而擴大。總體來說，兩者結果較吻合，充分說明了本文理論模型的準確性。

6 結 論

(1)本文基于統(tǒng)一強度理論準則，考慮滲流、應變軟化和中間主應力效應影響，將圍巖分為塑性殘余區(qū)、塑性軟化區(qū)和彈性區(qū)，推導出圓形隧道圍巖塑性區(qū)以及圍巖各分區(qū)的應力分布表達式，對于確定含水隧洞圍巖支護范圍及措施等方面提供了一定理論參考。

(2)定義不均勻滲透系數(shù)ν來定量分析雙向不等滲透系數(shù)對圍巖各方向上孔隙水壓力分布的影響：隨著ν值的改變，滲流沿不同方向表現(xiàn)出了各向異性；當ν<1時，越靠近水平方向，孔隙水壓力變化速度越快；當ν>1時，越靠近垂直方向，孔隙水壓力變化速度越快。

(3)通過算例比較，滲流及材料軟化對圍巖應力場分布以及塑性區(qū)大小均有不同程度的影響：由于圍巖力學參數(shù)發(fā)生劣化，考慮軟化較不考慮軟化時的切向應力更小，塑性區(qū)半徑更大，同時材料軟化較滲流影響對圍巖穩(wěn)定更為不利。

(4)中間主應力系數(shù)b對圍巖切向應力及塑性區(qū)范圍有著顯著的影響，隨著b值的增大，塑性區(qū)半徑逐漸減小，而臨空面附近圍巖切向應力則逐漸增大。在本文算例中，b=1時圍巖峰值切向應力相較b=0增加了1.8%，塑性區(qū)半徑減少了24.68%，這表明相較于考慮中間主應力效應，不考慮中間主應力效應時計算結果相對保守，不能有效發(fā)揮出圍巖的強度。