基于灰色理論的鋼絲繩疲勞壽命預(yù)測(cè)模型

林 海 曾世龍

（甘肅省特種設(shè)備檢驗(yàn)檢測(cè)研究院，蘭州 730050）

1 技術(shù)背景

鋼絲繩由于其獨(dú)特的螺旋扭曲結(jié)構(gòu)和機(jī)械性能，廣泛應(yīng)用于航空航天、交通與建筑等領(lǐng)域。安全可靠地使用鋼絲繩，能夠確保工程運(yùn)行的安全性，直接影響著生產(chǎn)效率和人身安全。因此，鋼絲繩疲勞壽命的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)已在工程實(shí)踐中獲得了廣泛關(guān)注。

對(duì)于各種部件的疲勞行為預(yù)測(cè)，許多學(xué)者提出了疲勞預(yù)測(cè)模型或方法。Jesus等[1]提出了一種從基礎(chǔ)材料的應(yīng)變壽命數(shù)據(jù)估計(jì)帶缺口結(jié)構(gòu)部件的概率應(yīng)力-壽命（S-N）曲線的程序。Muniz-Calvente等[2]提出了一種概率預(yù)測(cè)的結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)和適用于任何疲勞破壞準(zhǔn)則的機(jī)械零件的疲勞裂紋萌生壽命的方法，并預(yù)測(cè)了鉚接連接的疲勞萌生壽命。趙鑫[3]在充分利用相關(guān)鋼絲繩疲勞試驗(yàn)的歷史數(shù)據(jù)的前提下，結(jié)合現(xiàn)有的鋼絲繩小樣本試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過貝葉斯方法預(yù)測(cè)了鋼絲繩的疲勞壽命?，F(xiàn)有的小樣本條件下，鋼絲繩疲勞壽命的預(yù)測(cè)方法是僅預(yù)測(cè)簡(jiǎn)單載荷下鋼絲繩的疲勞壽命，無法綜合考慮影響鋼絲繩疲勞壽命的復(fù)雜因素。作為小樣本條件下數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的一種重要方法，灰色理論在處理小樣本復(fù)雜的影響因素和多個(gè)不確定因素方面具有很大優(yōu)勢(shì)。該方法已應(yīng)用于機(jī)械剛性零件和金屬材料的壽命預(yù)測(cè)。謝里陽、李存海、白鑫等[4-6]從不同應(yīng)力下的同一試驗(yàn)件處于相同概率分位點(diǎn)的角度出發(fā)，提出了一種基于樣本集聚的小樣本P-S-N方法，通過將不同應(yīng)力水平下的疲勞壽命轉(zhuǎn)化為同一應(yīng)力水平，實(shí)現(xiàn)了對(duì)小樣本數(shù)據(jù)的擴(kuò)充。傅惠民等[7]基于異方差回歸分析理論，對(duì)S-N曲線上所有試驗(yàn)件的壽命進(jìn)行了整體統(tǒng)計(jì)和分析，實(shí)現(xiàn)了多母體聯(lián)合推斷，建立了小樣本S-N曲線和P-S-N曲線的檢驗(yàn)方法。Chen等[8]提出了一種分層貝葉斯數(shù)據(jù)擴(kuò)充的新方法，以集成分層貝葉斯建模和貝葉斯數(shù)據(jù)擴(kuò)充來處理稀疏數(shù)據(jù)專門針對(duì)疲勞S-N曲線的問題。唐鴻遠(yuǎn)、陳柏明等[9-10]創(chuàng)新性地將灰色系統(tǒng)理論應(yīng)用于材料疲勞壽命預(yù)測(cè)。

綜上所述，基于灰色理論的鋼絲繩疲勞壽命預(yù)測(cè)方法可以確定危險(xiǎn)物體的S-N曲線。鋼絲繩的斷面數(shù)據(jù)是小樣品的整個(gè)鋼絲繩測(cè)試數(shù)據(jù)。本文將基于灰色理論建立鋼絲繩優(yōu)化的灰色預(yù)測(cè)疲勞壽命模型，以預(yù)測(cè)小樣本條件下鋼絲繩的可靠性壽命數(shù)據(jù)。

2 鋼絲繩彎曲疲勞試驗(yàn)

鋼絲繩彎曲疲勞試驗(yàn)的測(cè)試對(duì)象為6×31SW+FC型鋼絲繩，查資料可獲得彎曲疲勞試驗(yàn)臺(tái)和具體試驗(yàn)加載[11]。當(dāng)鋼絲繩發(fā)生以下情況時(shí)，需判斷鋼絲繩是否失效，并記錄鋼絲繩的往復(fù)運(yùn)動(dòng)次數(shù)作為鋼絲繩的疲勞壽命。

（1）鋼絲繩接頭處有4根以上的斷絲。

（2）在鋼絲繩的非接合區(qū)域，6d（d為單根絲的直徑，下同）范圍內(nèi)有4根或以上的斷絲，30d范圍內(nèi)有8根或以上的斷絲。

（3）鋼絲繩斷裂或變形。

將鋼絲繩的循環(huán)次數(shù)記錄為疲勞壽命，在可靠性為0.999 9的情況下處理試驗(yàn)結(jié)果，得出不同張力下的可靠性疲勞壽命，如表1所示。

表1 鋼絲繩的疲勞壽命數(shù)據(jù)

3 基于灰色理論的壽命分析

可靠性壽命數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)順序是確定鋼絲繩危險(xiǎn)部位可靠性S-N曲線的基礎(chǔ)。一方面，通過疲勞試驗(yàn)獲得小樣品的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并通過數(shù)據(jù)處理獲得不同張力下鋼絲繩的可靠性壽命。另一方面，建立改進(jìn)的灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)可靠性壽命數(shù)據(jù)，得到可靠的S-N曲線。

3.1 原始GM(1,1)模型

設(shè)數(shù)據(jù)序列X(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]，則x(0)(n)的一階累積生成序列AGO為：

式中，有：

x(1)的緊鄰均值序列z(1)=[z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)]為：

則原始數(shù)據(jù)GM(1,1)模型的白化微分方程為：

式中：a為發(fā)展系數(shù)；μ為灰作用量。

GM(1,1)模型的灰微分方程為：

將k=2,3,…,n代入式（5），可以得到n-1個(gè)關(guān)于a和μ的方程：

將式（6）展開，可得：

令：

則式（7）可以改寫為：

通過最小二乘法，可以得到a和μ：

將求解得到的a和μ代入式（4），則可以得到白化方程的響應(yīng)解為：

由初始條件x(1)(1)=x(0)(1)，得：

從而可得原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測(cè)值：

3.2 改進(jìn)的GM(1,1)模型

在原始GM(1,1)模型中，初始條件為x(1)(1)=x(0)(1)，不能夠充分運(yùn)用原始數(shù)據(jù)中的信息。將式（13）中的初始條件重新設(shè)置為，則白化方程的響應(yīng)解為：

式中，有：

將c值代入式（15），可得：

則新的原始數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)值可以表示為：

實(shí)際工作過程中，隨著張力的增加，通常會(huì)有許多不確定的干擾因素進(jìn)入鋼絲繩的疲勞壽命預(yù)測(cè)系統(tǒng)，從而影響壽命的最終預(yù)測(cè)結(jié)果。傳統(tǒng)的GM(1,1)模型是基于現(xiàn)有的鋼絲繩樣品測(cè)試數(shù)據(jù)建立的，無法充分考慮未來因素對(duì)鋼絲繩疲勞壽命的影響。本文以循環(huán)迭代的方式考慮疲勞壽命隨拉力變化過程中的干擾因素，反映了鋼絲繩的最新失效狀態(tài)。

灰色預(yù)測(cè)模型可以灰色處理影響鋼絲繩疲勞壽命的復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)、力學(xué)模型和外部環(huán)境，降低可靠性壽命數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的計(jì)算難度。通過引入灰色理論，揭示了數(shù)據(jù)間隱含的關(guān)系，進(jìn)一步挖掘了數(shù)據(jù)信息。通過小樣本數(shù)據(jù)處理方法，最后運(yùn)用所提方法處理鋼絲繩疲勞壽命數(shù)據(jù)，得到了小樣本下的鋼絲繩S-N曲線。使用改進(jìn)的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)700～1 200 kN張力下的疲勞壽命，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖1所示。

圖1 預(yù)測(cè)壽命與試驗(yàn)壽命的對(duì)比

由圖1可得，理論預(yù)測(cè)結(jié)果很接近試驗(yàn)數(shù)據(jù)，證明改進(jìn)的預(yù)測(cè)模型在考慮了鋼絲繩變形或磨損引起的不確定因素的影響和外界環(huán)境對(duì)壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的影響的基礎(chǔ)上，不僅優(yōu)化了求解方法，而且提高了預(yù)測(cè)精度。

4 結(jié)語

經(jīng)驗(yàn)證，基于灰色理論建立的小樣本疲勞壽命預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)精度較高。此模型通過引入灰色理論，揭示了數(shù)據(jù)間隱含的關(guān)系，進(jìn)一步挖掘了數(shù)據(jù)信息，不僅優(yōu)化了求解方法，而且考慮了鋼絲繩變形或磨損引起的不確定因素的影響和外界環(huán)境對(duì)壽命預(yù)測(cè)結(jié)果的影響。通過利用現(xiàn)有的小樣本數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)鋼絲繩疲勞壽命的預(yù)測(cè)，不僅降低了檢測(cè)成本，而且大大縮短了材料疲勞壽命的試驗(yàn)周期。