借助GeoGebra軟件突破初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)軌跡問題

吳龍飛

【摘要】動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，是壓軸題?？?。本文選取2020年廣東中考數(shù)學(xué)科17題和江蘇宜興中考數(shù)學(xué)模擬卷18題為例子，重點(diǎn)研究動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧型的模型，通過借助動(dòng)態(tài)幾何軟件GeoGebra演示“化動(dòng)為靜”，快速判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，為數(shù)學(xué)教學(xué)提供一種可視化體驗(yàn)，讓數(shù)學(xué)思想更加形象，學(xué)生不僅可以感受到數(shù)學(xué)知識的形成，還能不斷探索規(guī)律的演變。

【關(guān)鍵詞】動(dòng)點(diǎn)軌跡;圓弧型;化動(dòng)為靜;GeoGebra

面對動(dòng)點(diǎn)軌跡問題時(shí)，我們一般解決策略是“化動(dòng)為靜”，找到運(yùn)動(dòng)過程中的不變量。初中階段常見的動(dòng)點(diǎn)軌跡類型是圓弧型，圓弧型一般分為兩類：第一類是動(dòng)點(diǎn)到固定點(diǎn)的距離等于定長，則該動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓（圓的定義）;第二類稱為“定邊對定角”的動(dòng)點(diǎn)軌跡，該類型的軌跡是一條以定邊為弦且經(jīng)過定點(diǎn)的圓弧。學(xué)生面對此類問題時(shí)往往一籌莫展。教學(xué)過程中，老師講解此類問題時(shí)講授方法往往單一，教學(xué)工具大多是黑板+PPT作圖講解，單靠學(xué)生想象理解題目過于抽象，最終教學(xué)效果不佳。

本文選取2020年廣東中考數(shù)學(xué)科17題和江蘇宜興中考數(shù)學(xué)模擬卷18題為例子，借助動(dòng)態(tài)幾何軟件GeoGebra，通過可視化演示運(yùn)動(dòng)軌跡，讓難懂的動(dòng)態(tài)幾何變得直白有趣，直觀展示實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與初中數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合。GeoGebra是一款跨平臺(tái)免費(fèi)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，它作圖功能強(qiáng)大，不僅能做平面幾何，還能做3D繪圖、概率統(tǒng)計(jì)等。它不僅能在電腦上運(yùn)行，還能在手機(jī)、網(wǎng)頁上使用，顯示出極大的交互性和便利性。

一、動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長

例1 【2020年廣東中考17題】一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉它。如果把墻面、梯子、貓、老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)（如17圖），∠ABC=90°，點(diǎn)M、N分別在射線BA、BC上，MN長度始終不變，MN=4，E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)D到BA、BC的距離分別為4和2。在此滑動(dòng)過程中，貓和老鼠的距離DE最小值為 ? ? ? ? ? ? ? ? 。

本題解題思路：首先要根據(jù)定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”猜想點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，其次是根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”來判斷當(dāng)點(diǎn)E落在線段BD上時(shí)，此時(shí)貓和老鼠的距離DE最短。所以先要連接BE，因?yàn)辄c(diǎn)E是中點(diǎn)，易得BE= ? ?MN=2。又因?yàn)椴还芴葑覯N怎么運(yùn)動(dòng)（下滑），直角邊MN長度都是不變的，而BE都等于斜邊MN的一半，即等于2。這滿足動(dòng)點(diǎn)E到定點(diǎn)B等于定長，得到運(yùn)動(dòng)軌跡是圓或圓弧。又根據(jù)題意，MN邊界狀態(tài)有兩種，即與y軸重合或x軸重合，所以判斷運(yùn)動(dòng)軌跡在第一象限，是圓弧。

以上是學(xué)生做題時(shí)一般思路，當(dāng)然也有部分學(xué)生會(huì)采取“特殊值”法，分別畫出梯子MN在不同狀態(tài)下中點(diǎn)E的位置（如下圖1），然后猜想點(diǎn)E的軌跡是一條圓弧。

解決了軌跡猜想之后，這里很多同學(xué)會(huì)誤以為過點(diǎn)D作垂直于MN的線段就是DE的最短距離（如圖2）。但確定了移動(dòng)軌跡是圓弧后，容易判斷這種思路錯(cuò)誤。

正確做法要先連接BD，構(gòu)造RtΔBCD（如圖3）由勾股定理易求斜邊BD=2 ?5 ，再把BD減去半徑BE，最終得DE的最小值為2 ?5 ? -2。

不管怎樣，要讓學(xué)生想到運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧并不是簡單的事情，因此教學(xué)時(shí)借助信息化技術(shù)形象具體呈現(xiàn)會(huì)更加直觀具體。如上圖1，借助軟件GeoGebra演示非常直觀地看到梯子下滑過程中，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡以B點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓弧。再通過連接輔助線BE、DE，觀察DE的長度變化容易得到當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時(shí)，DE最短（如圖4）。一目了然，這就是借助信息技術(shù)的優(yōu)勢。

二、“定邊對定角”類型

所謂“定邊對定角”類型即動(dòng)點(diǎn)軌跡為以定邊為弦且經(jīng)過定點(diǎn)的圓弧上。以江蘇宜興中考數(shù)學(xué)模擬卷18題為例子詳細(xì)介紹。

例2 【江蘇宜興】如圖，半徑是2cm，圓心角為90°的扇形AOB的AB上有一動(dòng)點(diǎn)P。過點(diǎn)P向半徑OA作垂線PH交OA于點(diǎn)H。設(shè)I為△OPH的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)P在AB上從A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，內(nèi)心I經(jīng)過的路徑長為 ? ? ? ? ? ? ? ?。

本題解題思路是：由于PO是半徑，不管點(diǎn)P在AB上怎么運(yùn)動(dòng)，PO都是固定不變的，根據(jù)點(diǎn)I是內(nèi)心，∠PHO=90°，易證∠PIO=135°，這符合“定邊對定角”類型，由此猜測動(dòng)點(diǎn)I的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧。

證明猜想具體做法：如圖5，連接OI，PI，AI，因?yàn)椤鱋PH的內(nèi)心為I，可得∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°- ? ?（∠HOP+∠OPH）=135°，易證△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=135°，即得到點(diǎn)I落在以O(shè)A為弦，且所對的圓周角為135°的一段劣弧上。過點(diǎn)A、點(diǎn)I、點(diǎn)O構(gòu)造⊙O'，接著連接O'A，O'O，在優(yōu)弧AO取點(diǎn)P，連PA，PO，可得∠APO=180°-135°=45°得∠AO'O=90°，OO'= ? ?OA= ?2 ?最后利用弧長AO公式計(jì)算的長。

以上是解題的一般思路，還可以鼓勵(lì)學(xué)生取“特殊值”的方法，假設(shè)當(dāng)P在AO中間，或是靠近A和靠近B三處位置，構(gòu)成的直角三角形內(nèi)心所在位置不在同一直線上，初步判斷點(diǎn)I軌跡是弧形，如下圖6、7、8：

在教學(xué)過程中，引入GeoGebra動(dòng)態(tài)演示軌跡變化，一切問題會(huì)變得更加直觀。通過演示，易得軌跡是圓弧，且AO是圓上的一條弦，接著利用弧長計(jì)算公式l= ? ? 求出軌跡長度。

以上是動(dòng)點(diǎn)軌跡問題研究的一種圓弧型（定邊對定角）模型。課堂上善于借助動(dòng)態(tài)幾何軟件GeoGebra制作出直觀清晰的課件，讓“無跡問題”變成“有跡可循”，使數(shù)學(xué)理解更簡單，在課堂上融合了傳統(tǒng)與現(xiàn)代信息技術(shù)手段，重視真實(shí)情境教學(xué)，能達(dá)到理想的教學(xué)效果。

【參考文獻(xiàn)】

[1]教育部基礎(chǔ)教育司.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002：91.