單元組合下的齒輪輪系運(yùn)動方案分析*

趙永生,辛超超,馬雅麗,劉顏銘

(大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,遼寧 大連 116024)

0 引 言

關(guān)于齒輪輪系的運(yùn)動分析,國內(nèi)外學(xué)者目前還一直采用以往的設(shè)計(jì)手段。而要形成一個關(guān)于齒輪輪系的運(yùn)動分析新方案,往往需要依靠設(shè)計(jì)人員大量的從業(yè)經(jīng)驗(yàn)。生成滿足功能需求的新方案存在著一定的難度,對于多工況條件下的復(fù)雜齒輪輪系運(yùn)動方案而言則更加困難。同時(shí),已生成的方案的優(yōu)劣又受設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)理念、創(chuàng)新能力和設(shè)計(jì)水平的制約;設(shè)計(jì)過程中尚沒有可利用的軟件,計(jì)算機(jī)輔助齒輪輪系方案設(shè)計(jì)的瓶頸是缺少真正意義上的產(chǎn)品設(shè)計(jì)理論模型與數(shù)字化設(shè)計(jì)平臺的支撐。所以，有必要將設(shè)計(jì)理論和設(shè)計(jì)方法相結(jié)合,來支持計(jì)算機(jī)協(xié)助輪系運(yùn)動方案的設(shè)計(jì)[1-4]。

針對機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動方案,國內(nèi)外研究人員已做了廣泛研究[5-7]。HSIEH H L等[8]以基本輪系作為研究對象,提出了一種分析行星輪系速比的手段,研究了整體輪系的運(yùn)動特性。邢慶坤等[9]通過對單個杠桿系統(tǒng)進(jìn)行分析來取代行星排,并對其桿點(diǎn)進(jìn)行了深入研究。WANG J等[10]分析發(fā)現(xiàn)了一種新的拓?fù)浞椒?用以表示行星輪的傳動,并基于數(shù)學(xué)組合理論,獲得了行星齒輪組基本部件的3種組合。QIAN F[11]等為了研究運(yùn)動/力傳遞的構(gòu)型特性,將機(jī)械系統(tǒng)的構(gòu)型綜合擴(kuò)展到狀態(tài)空間法,進(jìn)行了積分綜合機(jī)制配置。段欽華、薛會玲等[12,13]給基本輪系做出了定義,并研究了一些復(fù)雜輪系的運(yùn)動特點(diǎn)。張利彬等[14,15]通過對機(jī)械系統(tǒng)中的運(yùn)動方案進(jìn)行分析,得到了新的見解,并對串聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了深入研究,但其研究中并沒有提及混聯(lián)組合機(jī)構(gòu)。張麗萍等[16]在分析簡單機(jī)構(gòu)單元之后,建立了一個信息表達(dá)體系,其中包含機(jī)構(gòu)運(yùn)動特性。李斌等[17]參考行星齒輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動特性,通過對一種行星齒輪機(jī)構(gòu)矩陣運(yùn)算進(jìn)行分析,得到了一種多排行星齒輪機(jī)構(gòu)構(gòu)型問題的替代方法。

當(dāng)前學(xué)者的主要研究對象是機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動方案,對于齒輪輪系運(yùn)動方案設(shè)計(jì)的研究還沒有形成完善的理論體系。在此研究基礎(chǔ)之上,本文對齒輪輪系單元組合約束與組合方式進(jìn)行分析,獲取特征矩陣的拆分方法,以此完成對齒輪輪系運(yùn)動的求解。

1 單元組合的運(yùn)動特征狀態(tài)模型

1.1 基本單元與復(fù)合單元

齒輪輪系運(yùn)動方案設(shè)計(jì)階段重在研究運(yùn)動變換。在運(yùn)動方案設(shè)計(jì)層面上,齒輪系統(tǒng)由表征運(yùn)動變換特征的機(jī)構(gòu)構(gòu)成。因此,運(yùn)用單元化的機(jī)構(gòu)來研究齒輪輪系運(yùn)動方案的設(shè)計(jì),可以對復(fù)雜問題進(jìn)行簡單化處理。

基本單元的機(jī)構(gòu)簡圖如圖1所示。

圖1 基本單元的結(jié)構(gòu)簡圖

單自由度、雙自由度以及能夠明確表達(dá)運(yùn)動特征變換功能的齒輪機(jī)構(gòu)均稱為齒輪輪系的基本單元。基本單元是輪系中最基礎(chǔ)的功能轉(zhuǎn)變機(jī)構(gòu),同時(shí)也是復(fù)雜輪系設(shè)計(jì)與分析的基礎(chǔ)目標(biāo)。

一些簡單復(fù)合單元的結(jié)構(gòu)簡圖如圖2所示。

圖2 復(fù)合單元的結(jié)構(gòu)簡圖

在分解輪系時(shí),筆者發(fā)現(xiàn)了一個非最基本運(yùn)動表征轉(zhuǎn)換的子輪系。由于齒輪輪系運(yùn)動方案研究過程當(dāng)中不涉及單元的具體細(xì)節(jié),僅用到單元的輸入與輸出運(yùn)動特征,這類能夠被研究和組合的單元化機(jī)構(gòu)稱為復(fù)合單元。

每個單元均存在專屬的運(yùn)動特征向量及狀態(tài)方程。單元運(yùn)動方程為:

ko=K·ki

(1)

式中:ki—單元的輸入運(yùn)動向量;ko—單元的輸出運(yùn)動向量;K—運(yùn)動特征狀態(tài)矩陣。

基于單元的齒輪輪系組合可以推廣到多個單元的組合當(dāng)中,本文將討論如何進(jìn)行單元組合以及組合模型的表達(dá)。

1.2 單元組合約束

齒輪輪系運(yùn)動方案單元化設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是單元之間的組合,在分析單元組合方式之前必須要研究單元之間的組合約束。復(fù)合單元的組合約束方式和基本單元一致,本文把基本單元組合作為研究對象。

(1)運(yùn)動約束

兩種基本單元的構(gòu)件相連方式通常是剛性連接。在研究構(gòu)件連接時(shí)需要考慮運(yùn)動約束,即前后兩單元在連接條件下運(yùn)動特征必須保持一致,換言之,即具有相同的轉(zhuǎn)速。

組合輪系如圖3所示。

圖3 組合輪系

NW輪系由兩個行星輪剛性相連在一起,沿著相同軸線進(jìn)行行星轉(zhuǎn)動。本研究僅加了運(yùn)動約束,兩個齒輪具有同等轉(zhuǎn)速以及不一樣的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

(2)結(jié)構(gòu)約束

前置單元所輸出的構(gòu)件以及后置單元所輸入的構(gòu)件在連接時(shí),所有與結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)的約束稱為結(jié)構(gòu)約束。研究構(gòu)件相連時(shí),如果行星輪與行星架各自組合成單獨(dú)構(gòu)件,那么它們之間要具有一致的轉(zhuǎn)速和參數(shù)。

此外,結(jié)構(gòu)約束還包含由中心距關(guān)系所引起的約束,即組合之后輪系的構(gòu)件軸線必須同主軸線完全重合。

在圖3(d)中有:

r11-r12=r21+r22

(2)

式中:r11—基本單元U1的齒輪1的半徑。

如果相連兩個行星輪模數(shù)一致,所有單元的齒輪齒數(shù)間就會有一定關(guān)聯(lián)。約束能夠用各齒輪齒數(shù)關(guān)系代替中心距關(guān)系,即:

z11-z12=z21+z22

(3)

式中:z11—基本單元U1的齒輪1的齒數(shù)。

雙聯(lián)齒輪中則出現(xiàn)行星輪剛性連接,參與連接的兩個行星輪模數(shù)不相同。

(3)自由度約束

基本單元在組合之后自由度發(fā)生了變化,原因在于組合過程中構(gòu)件與運(yùn)動副之間產(chǎn)生連接;基本單元機(jī)架也在進(jìn)行組合時(shí)參與其中?；締卧獌H單一機(jī)架連接的方式有兩種:固定機(jī)架間的合并、運(yùn)動構(gòu)件和相對機(jī)架的合并。這里只討論固定機(jī)架的合并。

齒輪輪系當(dāng)中一般包含有兩類組件:系桿與齒輪。所以,基本組合后的系統(tǒng)自由度為:

(4)

式中:dof—組合后系統(tǒng)自由度;dofi—第i個單元自由度數(shù);m—參與組合的單元數(shù)量;l—參與連接的運(yùn)動構(gòu)件數(shù);p—減少的轉(zhuǎn)動副數(shù)。

筆者創(chuàng)建構(gòu)件連接方程,并給上述運(yùn)動約束做出描述。如果前一個單元j的第m個構(gòu)件與后一個單元j+1的第n個構(gòu)件相連接,則運(yùn)動特征傳遞方程為:

(5)

式中:k—運(yùn)動特征向量;C—連接矩陣。

1.3 單元組合方式

(1)串聯(lián)組合方式

第一個單元的輸出與第二個單元的輸入構(gòu)件相連接。

正常單元串聯(lián)組合如圖4所示。

圖4 串聯(lián)組合方式

(2)并聯(lián)組合方式

兩個單元輸入構(gòu)件或輸出構(gòu)件連接。單元并聯(lián)組合方式的運(yùn)動特征為運(yùn)動并行傳遞。

常見單元并聯(lián)組合如圖5所示。

圖5 并聯(lián)組合方式

(3)混聯(lián)組合方式

在齒輪輪系當(dāng)中,混聯(lián)的組合方式包含串聯(lián)與并聯(lián)兩種組合。

比較常見單元混聯(lián)組合方式如圖6所示。

圖6 混聯(lián)組合方式

1.4 單元組合的特征狀態(tài)模型

(1)串聯(lián)組合的運(yùn)動狀態(tài)關(guān)系式

串聯(lián)組合的運(yùn)動模型表達(dá)了串聯(lián)系統(tǒng)的兩種傳遞方式之間狀態(tài)的轉(zhuǎn)變。在圖4(b)中,U1、U2分別是雙、單自由度單元,其運(yùn)動關(guān)系式如下:

(6)

單元U1和U2之間的連接方程為:

(7)

依照單元的運(yùn)動方程與連接公式,可得出串聯(lián)組合的運(yùn)動特征方程為:

(8)

(2)單元并聯(lián)組合運(yùn)動特征狀態(tài)方程

如圖5(c)所示,單元U1、U2是單自由度單元,U1、U2的運(yùn)動特征狀態(tài)方程為:

(9)

(10)

(3)混聯(lián)組合單元的運(yùn)動特征方程

在圖6(c)中,單元U1、U2是雙自由度的單元,其運(yùn)動特征狀態(tài)方程為:

(11)

(12)

進(jìn)一步地,可得到混聯(lián)組合運(yùn)動特征方程為:

(13)

2 運(yùn)動方案綜合

輪系運(yùn)動方案研究是在明確齒輪之間傳動比以及轉(zhuǎn)速情況下,根據(jù)單元組合獲取符合較大傳動比與符合復(fù)雜運(yùn)動變換功能需要的齒輪輪系;根據(jù)需求,獲取特征信息,得到特征狀態(tài)矩陣。

若用許多單元組合來完成輪系運(yùn)動特征變換,則必須對矩陣進(jìn)行拆分,對拆分步驟建模,為利用計(jì)算機(jī)手段完成矩陣分解過程提供依據(jù)。

本文首先討論運(yùn)動狀態(tài)矩陣的拆分。

2.1 運(yùn)動特征狀態(tài)矩陣的分解

由已有的研究可知,輪系運(yùn)動方案分析的重點(diǎn)為拆分特征矩陣,即齒輪輪系傳動比特征的分解。

在明確輪系的輸入與輸出特征向量情況下,分析輪系可行解,可通過把齒輪輪系中的特征狀態(tài)矩陣拆分為多個特征狀態(tài)矩陣的相加與相乘,然后運(yùn)用各個特征狀態(tài)矩陣到數(shù)據(jù)庫中查找對應(yīng)的集合,接著完成序列組合。

2.2 運(yùn)動特征狀態(tài)矩陣的分解算法

依據(jù)齒輪輪系單元的常見組合方式和運(yùn)動特征狀態(tài)矩陣的分解規(guī)則,每個組合方式關(guān)聯(lián)不一樣的狀態(tài)矩陣拆分算法。本研究分析兩個單自由度單元串聯(lián)組合的運(yùn)動特征矩陣的分解算法。

先給定輪系的特征狀態(tài)矩陣是K,K能夠拆分成n個矩陣乘積:

K=K1·K2…Kn-1·Kn

(14)

運(yùn)動特征狀態(tài)方程分解原理如圖7所示。

圖7 串聯(lián)組合矩陣分解原理圖

此處引入霍夫曼樹理論,當(dāng)輪系的特征矩陣分解一次,就形成兩個特征矩陣乘積;要進(jìn)行再分解時(shí),需對這一級的兩個矩陣中的一個或兩個進(jìn)行分解,直至無法分解為止。

2.3 運(yùn)動方案設(shè)計(jì)步驟

齒輪輪系單元庫中保存有各基本變換單元的傳動比、輸入轉(zhuǎn)速等設(shè)計(jì)需求,需要通過拆分運(yùn)動特征矩陣,匹配獲得單元,然后再進(jìn)行組合,得到運(yùn)動方案,即:

(1)依照設(shè)計(jì)要求,能夠獲取齒輪輪系系統(tǒng)的特征狀態(tài)矩陣K;

(2)搜索特征矩陣是K的復(fù)合單元與基本單元。分析符合系統(tǒng)方程的單元是否存在,若存在,則把可行解作為輸出;

(3)如果不符合步驟(2),則必須對系統(tǒng)的特征矩陣進(jìn)行拆分。按照組合方式的分解算法做出拆分。通過對狀態(tài)空間的理論進(jìn)行分析,在確定特征方程拆分規(guī)則之后,把已完成的分解算法進(jìn)行傳動比分解計(jì)算,并根據(jù)分解條件,考慮是否具有可分解計(jì)算的可能性,如果是能夠分解的,則進(jìn)一步計(jì)算,最終能夠得到系統(tǒng)中單元的特征方程;

(4)搜索單元的數(shù)據(jù)庫,分析滿足方程傳動比的特征單元存在與否,進(jìn)而獲得單元與組合系統(tǒng)的方案集;

(5)通過組合約束的條件,找到能夠滿足設(shè)計(jì)需求的方案。

3 設(shè)計(jì)實(shí)例

以某型號風(fēng)力發(fā)電的變槳齒輪箱齒輪輪系運(yùn)動方案設(shè)計(jì)為例。其設(shè)計(jì)需求為:

(1)輸出轉(zhuǎn)速:0～15 r/min;

(2)總傳動比:100;

(3)輸入轉(zhuǎn)速:1 500 r/min;

(4)單輸入、單輸出。

運(yùn)動方案求解過程如下:

(1)確定向量的元素為輸入、輸出轉(zhuǎn)速w,輸入與輸出運(yùn)動狀態(tài)向量為:

(15)

(16)

(2)確定輸入軸的個數(shù)為1、輸出軸的個數(shù)為1,根據(jù)滿足需求的單元組合方式確定系統(tǒng)特征狀態(tài)方程,并提取特征狀態(tài)矩陣。先計(jì)算一個單元是否滿足需求,再確定兩個單元串聯(lián)組合是否滿足傳動比需求,以此類推。每次計(jì)算完成,增加一個單元數(shù)再重新計(jì)算,直到達(dá)到級數(shù)上限。按照3種組合方式分別計(jì)算如下:

①串聯(lián)。當(dāng)單元組合方式為串聯(lián)時(shí),滿足需求的串聯(lián)組合方式的單元組合圖示為圖4(a),其特征狀態(tài)方程如圖8所示。

圖8 不同單元數(shù)串聯(lián)組合的計(jì)算公式

②并聯(lián)。當(dāng)單元組合方式是并聯(lián)時(shí),符合需求的單元組合圖示為圖5(b),其特征狀態(tài)方程如下:

(17)

③混聯(lián)。當(dāng)單元組合方式為混聯(lián)時(shí),滿足混聯(lián)組合方式的單元組合圖示為6(a),其特種狀態(tài)方程如下所示:

(18)

(3)選擇組合形式進(jìn)行匹配。

利用單元庫求出同時(shí)滿足條件的組合。通過本文計(jì)算方法,可得到多種設(shè)計(jì)方案。

下面給出3種組合方案,選擇更多單元組合可以得到更多的設(shè)計(jì)方案,盡管系統(tǒng)要復(fù)雜一些,利用方案評價(jià)體系,可以選出合適方案,實(shí)現(xiàn)方案的創(chuàng)新設(shè)計(jì)。

運(yùn)動方案結(jié)果舉例如圖9所示。

圖9 運(yùn)動方案結(jié)構(gòu)簡圖

圖9結(jié)果表明:

(1)特征矩陣的拆分方法是高效且可應(yīng)用的,在風(fēng)力發(fā)電的變槳齒輪箱齒輪輪系運(yùn)動方案求解中,共獲得了9種運(yùn)動方案結(jié)果;

(2)該分析方法可為實(shí)際工程中齒輪輪系運(yùn)動方案研究提供參考。

4 結(jié)束語

針對齒輪輪系運(yùn)動方案設(shè)計(jì)的研究理論體系不完善的問題,筆者運(yùn)用單元組合方法與實(shí)例驗(yàn)證方式,對齒輪輪系運(yùn)動方案進(jìn)行了分析;創(chuàng)建了一種輪系運(yùn)動方案分析模型,通過單元連接方程和單元組合特征狀態(tài)方程,研究特征狀態(tài)矩陣分解規(guī)則,得到了系統(tǒng)矩陣串聯(lián)、并聯(lián)及混聯(lián)分解算法,實(shí)現(xiàn)了特征狀態(tài)矩陣的拆分,并形成齒輪輪系運(yùn)動方案分析流程;同時(shí),齒輪輪系的單元庫中存在著含傳動比、輸入轉(zhuǎn)速等設(shè)計(jì)需求的基本單元,運(yùn)動特征矩陣進(jìn)行拆分后,可以通過匹配獲取單元并進(jìn)行組合;最后，通過設(shè)計(jì)實(shí)例對結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

研究結(jié)果表明:

(1)齒輪輪系運(yùn)動方案單元化設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是單元之間的組合,在分析單元組合方式之前必須要研究單元之間的組合約束;

(2)通過分析模型,可以把輪系運(yùn)動方案求解轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)矩陣的計(jì)算,并根據(jù)狀態(tài)特征矢量計(jì)算規(guī)則建立單元組合串聯(lián)、并聯(lián)以及混聯(lián)分解算法;

(3)以齒輪箱為例,闡述不同組合方式下的特征狀態(tài)方程并獲得了9種運(yùn)動方案,進(jìn)一步說明本研究中運(yùn)動方案是高效率且可應(yīng)用的。

在選擇了齒輪輪系的運(yùn)動方案之后,筆者后續(xù)的研究方向是如何確定系統(tǒng)中具體的齒輪參數(shù),比如傳動比、配齒數(shù)等。