基于頁巖氣多重運(yùn)移機(jī)制的二項(xiàng)式視滲透率公式

袁迎中，嚴(yán)文德，戚志林，李繼強(qiáng)，黃小亮

(1.復(fù)雜油氣田勘探開發(fā)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室重慶科技學(xué)院，重慶 401331； 2.重慶科技學(xué)院，重慶 401331)

0 引 言

頁巖氣作為一種重要的非常規(guī)天然氣資源，由于其分布廣泛、儲量巨大，開發(fā)技術(shù)極具挑戰(zhàn)性，近年來受到人們的持續(xù)關(guān)注。與常規(guī)氣藏不同，頁巖氣藏具有黏性流、滑脫流、Knudsen擴(kuò)散和表面擴(kuò)散等不同的氣體運(yùn)移機(jī)制[1-3]。在一定壓差下，頁巖氣的流量可用達(dá)西方程的形式表示，視滲透率可以描述頁巖氣在孔隙介質(zhì)中的運(yùn)移能力[4-5]，孔徑分布、孔隙類型和連通性、應(yīng)力狀態(tài)、非均質(zhì)性和吸附性對頁巖氣的視滲透率均有重要影響[6-7]。

頁巖氣在微納米孔隙運(yùn)移過程中，氣體分子之間相互碰撞，又與孔壁碰撞。碰撞后氣體分子的速度存在一定程度的損失，造成分子運(yùn)移受阻。同時，吸附氣體分子會沿孔壁表面運(yùn)移，使分子的運(yùn)移能力提高。準(zhǔn)確預(yù)測頁巖氣運(yùn)移能力及視滲透率的變化規(guī)律，對于分析頁巖氣藏開發(fā)動態(tài)十分重要?；陧搸r氣的多重運(yùn)移機(jī)制，建立了基質(zhì)視滲透率與平均壓力倒數(shù)的二項(xiàng)式公式。該公式考慮了速度梯度隨孔壁距離的變化，同時也考慮了與壓力倒數(shù)的平方有關(guān)的表面擴(kuò)散視滲透率，描述了頁巖氣視滲透率隨壓力降低而增加的非線性變化趨勢，可有效地解釋現(xiàn)有的視滲透率測試數(shù)據(jù)，計(jì)算表面擴(kuò)散引起的視滲透率和表面擴(kuò)散系數(shù)，為研究頁巖氣的多重運(yùn)移機(jī)制奠定了理論基礎(chǔ)。

1 考慮滑脫效應(yīng)的二項(xiàng)式視滲透率方程

Klinkenberg[8]提出了考慮氣體滑脫效應(yīng)的視滲透率公式：

(1)

(2)

(3)

式(1)認(rèn)為孔壁附近的速度梯度為常數(shù)。如果考慮孔壁附近速度梯度的變化，且孔壁附近的速度滿足二階泰勒級數(shù)公式，則視滲透率為[10]：

(4)

定義線性項(xiàng)與非線性項(xiàng)分別為：

(5)

(6)

由此得到：

(7)

(8)

(9)

式中：Kapp1為黏性流、滑脫流及速度損失引起的視滲透率，m2；K1a為黏性流、滑脫流引起的視滲透率，m2；K1b為因速度損失而減少的視滲透率，m2。

式(9)中，文獻(xiàn)[10]推導(dǎo)出b1=4m2/r2，經(jīng)仔細(xì)研讀原文并重新推導(dǎo)公式，應(yīng)為b1=2m2/r2。

2 考慮滑脫效應(yīng)和Knudsen擴(kuò)散的二項(xiàng)式視滲透率方程

黏性流和滑脫流由氣體分子間碰撞而產(chǎn)生，Knudsen擴(kuò)散由氣體分子與孔壁的碰撞而產(chǎn)生。Knudsen擴(kuò)散引起的視滲透率可以表示為[1]：

(10)

式中：Kd為Knudsen擴(kuò)散視滲透率，m2。

定義比例系數(shù)：

(11)

(12)

(13)

(14)

綜合考慮黏性流、滑脫流和Knudsen擴(kuò)散及各自的比例系數(shù)，則總視滲透率的線性項(xiàng)可以表示為：

K2a=w1K1a+w2Kd

(15)

將式(5)、(10)代入式(15)，得：

(16)

(17)

式中：w1為黏性流和滑脫流占總傳輸量的比例系數(shù)；w2為Knudsen擴(kuò)散占總傳輸量的比例系數(shù)；Kn為Knudsen數(shù)；λ為氣體分子的平均自由程，m；K2a為考慮不同傳輸比例的黏性流、滑脫流及Knudsen擴(kuò)散引起的視滲透率，1015D。

計(jì)算結(jié)果表明，K1a與K2a基本相等，即方程(5)能夠反映Knudsen擴(kuò)散對視滲透率的影響。

考慮非線性項(xiàng)，視滲透率Kapp2為：

(18)

式中：Kapp2為黏性流、滑脫流、Knudsen擴(kuò)散及速度損失引起的視滲透率，1015D。

3 考慮滑脫效應(yīng)、Knudsen擴(kuò)散和表面擴(kuò)散的二項(xiàng)式視滲透率方程

表面擴(kuò)散為吸附在頁巖孔隙表面的氣體分子在吸附勢場作用下沿孔隙表面運(yùn)移的現(xiàn)象。由表面擴(kuò)散引起的視滲透率可以表示為[1]：

(19)

式中：Ks為表面擴(kuò)散視滲透率，1015mD；Ds為表面擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；Cs為吸附氣質(zhì)量濃度，kg/m3。

(20)

(21)

(22)

綜合考慮黏性流、滑脫流、Knudsen擴(kuò)散和表面擴(kuò)散，總視滲透率Kapp可以表示為：

Kapp=Kapp2+Ks

(23)

將式(18)、(22)代入式(23)，得

(24)

(25)

式(24)中，a1和b1之間的關(guān)系難以確定。由于K1a≈K2a，則有：

(26)

式(24)可以改寫為：

(27)

式(27)比式(24)更便于分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。如果考慮實(shí)際氣體的偏差因子，則上述公式中的“RT”應(yīng)替換為“ZRT”。

4 實(shí)例分析

4.1 二項(xiàng)式視滲透率理論曲線分析

計(jì)算頁巖氣視滲透率的基本參數(shù)如下：孔隙度φ為0.05，氣體黏度μ為0.02 mPa·s，氣體常數(shù)R為8.314 J·(mol·K)-1，溫度T為343 K，氣體摩爾質(zhì)量M為0.016 kg/mol。

利用式(27)計(jì)算的視滲透率曲線，如圖1所示。由圖1可知：不同孔隙半徑及不同c值的視滲透率與壓力倒數(shù)呈非線性關(guān)系，曲線曲率為負(fù)，隨著壓力倒數(shù)的增加，視滲透率的增加先是近線性的，而后增加的幅度越來越低；曲線的形狀受r和c的影響，c值越大，氣體分子與孔壁的碰撞越強(qiáng)烈，分子的速度損失和二項(xiàng)式曲線的曲率越大；c值相同時，隨著r的增大，Knudsen擴(kuò)散和滑脫效應(yīng)減小，二項(xiàng)式曲線的曲率減??；當(dāng)r達(dá)到25 nm時，視滲透率曲線近似直線。

圖1 不同c值時視滲透率與壓力倒數(shù)的理論曲線Fig.1 The theoretical curves of apparent permeability and pressure reciprocal value at different values of c

4.2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

根據(jù)Moghadam & Chalaturnyk的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[10](圖2)，回歸的視滲透率公式為：

圖2 不同壓力倒數(shù)時視滲透率實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)[10]Fig.2 The experimental test data of apparent permeability at different pressure reciprocal values[10]

(28)

根據(jù)式(24)，表面擴(kuò)散引起的參數(shù)bs的值為9.483 7-1.897 2= 7.586 5。圖2所示的平均壓力為2.778 7 MPa， 由此計(jì)算得到Ks為0.001 051 mD。平均壓力下總視滲透率為0.004 161 mD，其中，表面擴(kuò)散視滲透率占25.26%。

理論上，b值與表面擴(kuò)散能力有關(guān)。如果b的實(shí)際值遠(yuǎn)小于理論值，則認(rèn)為表面擴(kuò)散在頁巖氣運(yùn)移中起著重要作用；如果b的實(shí)際值接近理論值，則表面擴(kuò)散不是頁巖氣的重要運(yùn)移機(jī)制；在某些情況下，b的實(shí)際值可能大于理論值，說明頁巖氣儲層的孔徑較大，氣體分子與孔壁碰撞引起的動量損失不明顯。

5 結(jié) 論

(1) 基于黏性流、滑脫流、Knudsen擴(kuò)散和表面擴(kuò)散等頁巖氣多重運(yùn)移機(jī)制，考慮了速度梯度隨孔壁距離的變化，建立了基質(zhì)視滲透率與平均壓力倒數(shù)的二項(xiàng)式公式，描述了頁巖氣視滲透率隨平均壓力倒數(shù)的增加而非線性增大的變化趨勢。

(2) 基質(zhì)視滲透率與平均壓力倒數(shù)之間的曲線形狀受孔隙半徑r和參數(shù)c的影響，c值越大，氣體分子與孔壁之間的碰撞越強(qiáng)烈，二項(xiàng)式曲線的曲率越大。對于相同的c值，隨著孔徑r的增大，Knudsen擴(kuò)散和滑脫效應(yīng)減小，二項(xiàng)式曲線的曲率減小。

(3) 文中方法能有效地解釋已有的視滲透率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，平均壓力下表面擴(kuò)散引起的視滲透率為0.001 051 mD，占總視滲透率的比例為25.26%。