基于混沌螢火蟲(chóng)優(yōu)化的多目標(biāo)負(fù)荷分配研究

張瑞成，張沖

（華北理工大學(xué)電氣工程學(xué)院，唐山063210）

0 引言

冷連軋負(fù)荷分配是指在帶鋼來(lái)料參數(shù)以及軋制目標(biāo)厚度已知下，在設(shè)備過(guò)載、工藝要求等約束范圍內(nèi)，去尋找使優(yōu)化目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的各機(jī)架出口厚度進(jìn)而去確定各機(jī)架軋制力、軋制功率等的過(guò)程[1]。冷連軋負(fù)荷分配的優(yōu)化目標(biāo)有多種，如板形優(yōu)良、產(chǎn)量最高、能耗最低等。目標(biāo)函數(shù)是負(fù)荷分配設(shè)計(jì)者用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述優(yōu)化目標(biāo)得來(lái)的。

單目標(biāo)負(fù)荷分配法[2]優(yōu)化目標(biāo)單一、求解速度快，是目前廣泛應(yīng)用的方法，但該方法僅考慮了一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，搜索到的負(fù)荷分配結(jié)果在其他性能指標(biāo)上的表現(xiàn)可能很差。為此，對(duì)多個(gè)目標(biāo)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化是當(dāng)前重要的研究方向。固定系數(shù)加權(quán)法[3]是將多個(gè)目標(biāo)函數(shù)通過(guò)固定系數(shù)加權(quán)成為一個(gè)單目標(biāo)函數(shù)再進(jìn)行尋優(yōu)的方法，但該方法權(quán)值的選取受目標(biāo)函數(shù)的量綱影響太大，得到的Pareto前沿的收斂性和分布性往往很不理想。目前，基于偏好的加權(quán)法是主流的加權(quán)方法。文獻(xiàn)[4]對(duì)基本遺傳算法的權(quán)重進(jìn)行了自適應(yīng)改進(jìn)，將其對(duì)冷連軋軋制規(guī)程進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化后，提高了算法向重要性高的目標(biāo)的收斂速度。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于物理規(guī)劃的螢火蟲(chóng)算法使多目標(biāo)的權(quán)值分配更為靈活可變、負(fù)荷分配結(jié)果更能反映設(shè)計(jì)者偏好。文獻(xiàn)[6]提出了采用一種動(dòng)態(tài)多目標(biāo)進(jìn)化算法對(duì)等功率裕量、綜合打滑因子函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，仿真結(jié)果表明,動(dòng)態(tài)多目標(biāo)進(jìn)化算法相對(duì)線性處理方法,能獲得更優(yōu)的負(fù)荷分配方案。

上述的固定系數(shù)加權(quán)法和偏好加權(quán)法使算法收斂欠缺一定的全局性、隨機(jī)性，優(yōu)秀個(gè)體的篩選范圍不能遍歷整個(gè)可行域，這導(dǎo)致算法的全局搜索能力較差且易丟失優(yōu)秀個(gè)體、搜索到的優(yōu)秀個(gè)體難以均勻收斂到Pareto前沿，這些原因使得Pareto前沿的收斂性和分布性較差。Logistic混沌系統(tǒng)[7]具有遍歷性、隨機(jī)性的特點(diǎn)，將其與人工螢火蟲(chóng)算法[8-9]（Glowworm Swarm Optimization，GSO）結(jié)合，提出了一種混沌螢火蟲(chóng)優(yōu)化算法（Chaotic Glowworm Swarm Optimization，CGSO）來(lái)改善上述不足。對(duì)該方法進(jìn)行了ZDT序列測(cè)試并用其進(jìn)行了冷連軋負(fù)荷分配。

1 混沌螢火蟲(chóng)算法

1.1 算法的結(jié)構(gòu)

CGSO算法主要有4個(gè)階段：初始化階段、螢光素更新階段、位置更新階段和感知域更新階段。

1.1.1 初始化階段

確定螢火蟲(chóng)算法的種群規(guī)模m、初始螢光素l0、移動(dòng)步長(zhǎng)s等各初始參數(shù)值。在可行域內(nèi)隨機(jī)分布螢火蟲(chóng)種群的初始位置作目標(biāo)函數(shù)的初始解，將這些解進(jìn)行支配度排序后，將第一層即非支配解存入Pareto外部存檔。

1.1.2 螢光素更新階段

螢光素的值表征了解的優(yōu)劣程度，其值與螢火蟲(chóng)當(dāng)前位置、上一次迭代的螢光素值以及揮發(fā)速度有關(guān)。人工螢火蟲(chóng)算法的螢光素更新公式為：

其中：k表示當(dāng)前迭代代數(shù)；ρ(0<ρ<1)是影響螢光素?fù)]發(fā)速度的系數(shù)；γ用來(lái)表示目標(biāo)函數(shù)值與螢光素的提取比例；Ji(k)表示當(dāng)前位置的目標(biāo)函數(shù)值。在多目標(biāo)優(yōu)化中，螢光素的更新應(yīng)當(dāng)受多個(gè)目標(biāo)的同時(shí)作用，需要將多個(gè)目標(biāo)函數(shù)值整合到一起。為提高螢光素的隨機(jī)性、遍歷性和全局性，提出以Logistic混沌系統(tǒng)映射將多個(gè)目標(biāo)進(jìn)行動(dòng)態(tài)加權(quán)。定義螢火蟲(chóng)i的多目標(biāo)復(fù)合函數(shù)值為：

上式中，N為目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)。ωk為函數(shù)加權(quán)權(quán)重向量，其的產(chǎn)生如下：

1.1.3 位置更新階段

螢火蟲(chóng)i向同伴j移動(dòng)的概率為：

其中：s是螢火蟲(chóng)移動(dòng)步長(zhǎng)；‖xj(k)-xi(k) ‖為螢火蟲(chóng)i和j的空間距離。

（4）感知域更新階段

螢火蟲(chóng)的感知范圍更新公式為：

其中：nk表示感知域內(nèi)限定的同伴數(shù)；β為感知域調(diào)節(jié)參數(shù)；rs為感知域上限。

1.2 外部存檔的更新

與單目標(biāo)優(yōu)化不同的是，多目標(biāo)優(yōu)化需要建立外部存檔，把每次迭代中出現(xiàn)的非支配解保存到其中，并在存檔中與歷史保留下的非支配解進(jìn)行Pareto支配度排序，方法如圖1。對(duì)于粒子a，它不存在被支配的粒子，它處在Pareto的第一層前沿；對(duì)于粒子d，它只被第一層的粒子支配，則它處在Pareto的第二層，依此類推，判定出所有存檔內(nèi)粒子的層數(shù)，將處于第一層的粒子保留在外部存檔，余者刪除。隨著迭代的進(jìn)行，外部存檔的優(yōu)秀粒子越來(lái)越多，當(dāng)達(dá)到外部存檔容量時(shí)需要進(jìn)行擁擠距離排序，將擁擠距離小的粒子刪除，擁擠距離圖解如圖2所示。

圖1 支配層判定

圖2 擁擠距離圖解

i的擁擠距離為：

1.3 算法測(cè)試

用ZDT測(cè)試函數(shù)[10]對(duì)固定系數(shù)均取0.5加權(quán)的GSO、CGSO和NSGAII算法進(jìn)行了MATLAB仿真測(cè)試。NSGAII的交叉率為0.9、變異率為0.1，GSO和CGSO參數(shù)如表1所示。各算法的種群規(guī)模取100，外部存檔容量取200，等算法收斂后計(jì)算世代距離GD和分布度SP來(lái)評(píng)價(jià)[11]算法性能。

表1 GSO和CGSO參數(shù)

由圖3-圖5可知，固定系數(shù)加權(quán)的GSO的Pareto前沿收斂性和分布性都很差，在此不做過(guò)多分析。GD越接近0，表示Pareto前沿接近真實(shí)前沿；SP越接近0，表示Pareto前沿分布越均勻。從表2可以看出，CGSO算法的GD和SP的值比NSGAII更小，表明了CGSO算法的優(yōu)越性。

表2 性能對(duì)比

圖3 ZDT1的Pareto前沿

圖4 ZDT2的Pareto前沿

圖5 ZDT3的Pareto前沿

2 負(fù)荷分配數(shù)學(xué)模型

2.1 軋制力模型

軋制力模型是制定軋制規(guī)程的核心模型，根據(jù)軋制理論，采用的軋制力計(jì)算公式為：

式中：F為軋制力，kN；B為板帶寬度，m；為考慮壓扁的變形區(qū)接觸弧長(zhǎng)的水平投影，mm；QP為考慮壓扁后的外摩擦應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)；KT為張力影響系數(shù)；K為考慮寬度方向主應(yīng)力影響的變形抗力，K=1.15σ,MPa；σ為材料屈服極限，MPa。

接觸弧長(zhǎng)和壓扁半徑公式如（9）、（10）：

式中：R'為壓扁半徑，mm；R為軋輥半徑，mm；Δh為絕對(duì)壓下量，mm；hi-1為i機(jī)架軋入厚度，mm；hi為i機(jī)架軋出厚度，mm；由于冷板帶軋制軋輥壓扁嚴(yán)重，軋制力公式（8）中軋制壓扁半徑相互包含，采用迭代計(jì)算法直至軋制力、接觸弧長(zhǎng)和壓扁半徑的變化小于容許誤差。張力影響系數(shù)為：

式中，tf為前張應(yīng)力，MPa；tb為后應(yīng)力，MPa。

2.2 應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)

軋制力模型的一個(gè)重要參數(shù)是軋輥壓扁后的外摩擦應(yīng)力系數(shù)，采用了廣泛應(yīng)用的Hill公式：

由上圖可以看出，當(dāng)TPGDA加入量低于19%時(shí)，隨著TPGDA加入量的增加，固化膜拉伸強(qiáng)度增大；在TPGDA加入量在19%左右時(shí)，拉伸強(qiáng)度和斷裂伸長(zhǎng)率分別達(dá)到最大值；而當(dāng)TPGDA加入量大于19%時(shí)，固化膜的拉伸強(qiáng)度不斷下降。這是因?yàn)殡S著TPGDA的含量的不斷增加，分子鏈間摩擦阻力減弱，固化膜的柔韌性隨之增大，因此剛開(kāi)始固化膜的拉伸強(qiáng)度和斷裂伸長(zhǎng)率都不斷增大。而由于TPGDA具有對(duì)體系具有稀釋作用，隨其加入量的不斷增多，分子間的相互作用力減弱，體系內(nèi)聚能減小，因此固化膜拉伸強(qiáng)度有所下降。

其中，μ為摩擦因數(shù)；ε為壓下率。

2.3 約束條件

根據(jù)冷連軋生產(chǎn)工藝的要求，選取最大軋制力、壓下率和軋制速度作約束條件。

式中：εi為i機(jī)架壓下率；εimin為i機(jī)架壓下率下限；εimax為i機(jī)架壓下率上限。末機(jī)架出口最大速度：

V0為第一機(jī)架入口速度，m/s；h0為軋入厚度，mm；h5為末機(jī)架出口厚度，mm。通過(guò)將約束項(xiàng)作懲罰因子的方法構(gòu)造了新的目標(biāo)函數(shù)，減小了算法尋優(yōu)過(guò)程得到約束解的可能性。

2.4 目標(biāo)函數(shù)

2.4.1 等相對(duì)負(fù)荷目標(biāo)函數(shù)

在考慮板形優(yōu)良時(shí)，由于末機(jī)架的壓下率較小故不考慮末機(jī)架電機(jī)情況。為充分發(fā)揮各機(jī)架電機(jī)性能，建立等相對(duì)負(fù)荷目標(biāo)函數(shù)如下：

為i機(jī)架實(shí)際功率，kW；Mi為i機(jī)架軋制力矩，kN·m；ωi為i機(jī)架軋輥角速度，rads；Ni為i機(jī)架額定功率，kW。

2.4.2 預(yù)防打滑目標(biāo)函數(shù)

各機(jī)架打滑因子如下：

μi為i機(jī)架摩擦系數(shù)，Tfi，Tbi為i機(jī)架前后張力，F(xiàn)i為i機(jī)架軋制力。

總體克服打滑的目標(biāo)函數(shù)為：

n—機(jī)架數(shù)，η∈[0 ,1]，η常取0.6。

3 實(shí)例仿真

為驗(yàn)證CGSO的有效性，用CGSO算法和NSGAII法對(duì)來(lái)料厚度為3mm、寬度為1000mm、成品厚度為0.5mm的Q235帶鋼進(jìn)行了負(fù)荷分配設(shè)定，優(yōu)化目標(biāo)為等相對(duì)負(fù)荷和預(yù)防打滑。軋機(jī)相關(guān)參數(shù)[12]如表3所示。

表3 軋機(jī)相關(guān)數(shù)據(jù)

CGSO參數(shù)如表4所示，NSGAII算法的交叉率為0.9、變異率為0.1。兩外部存檔容量為200、迭代次數(shù)為100。

表4 CGSO算法參數(shù)

兩種方法的負(fù)荷分配結(jié)果如圖6所示。

圖6 兩種方法的負(fù)荷分配結(jié)果

從圖6可以看出，CGSO算法得到的Pareto前沿支配了經(jīng)驗(yàn)法負(fù)荷分配的函數(shù)值，這表明CGSO算法得到的負(fù)荷分配結(jié)果更具合理性。表5給出了CGSO在兩個(gè)目標(biāo)上最優(yōu)時(shí)的函數(shù)值。

表5 目標(biāo)函數(shù)值

由于多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果不存在同時(shí)最優(yōu)的情況，所以設(shè)計(jì)者可根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行加權(quán)來(lái)獲取最終負(fù)荷分配結(jié)果。具體方法如下：

α1、α2為權(quán)重系數(shù)，α1+α2=1，假設(shè)f1、f1同樣重要，即α1=α2=0.5。將Pareto前沿解代入（21）后升序排列后取f最小值的非支配解作最后軋制負(fù)荷分配的結(jié)果。

表6給出了兩種方法的負(fù)荷分配結(jié)果，兩種結(jié)果都能滿足成品帶鋼的要求。但由CGSO算法得到的軋制規(guī)程代入到等相對(duì)負(fù)荷和預(yù)防打滑兩目標(biāo)函數(shù)后得到的值比經(jīng)驗(yàn)法的軋制規(guī)程代入后得到的值更小，說(shuō)明CGSO算法得到的軋制規(guī)程更能滿足軋制生產(chǎn)需求。

表6 兩方法軋制負(fù)荷分配結(jié)果

4 結(jié)語(yǔ)

（1）采用Logistic混沌系統(tǒng)映射的動(dòng)態(tài)加權(quán)法來(lái)改進(jìn)螢光素更新公式，ZDT測(cè)試的仿真結(jié)果表明，改進(jìn)后的算法有效提高了Pareto前沿的收斂性和分布性。

（2）CGSO算法應(yīng)用在負(fù)荷分配上，得到的Pareto前沿支配了經(jīng)驗(yàn)法函數(shù)值,表明了CGSO算法得到的負(fù)荷分配規(guī)程更具合理性。