基于雙環(huán)永磁體結(jié)構(gòu)的多穩(wěn)態(tài)能量采集器建模及性能分析

周振華，易正旸，陳書(shū)涵，李戰(zhàn)慧，劉 鑫

（1.長(zhǎng)沙理工大學(xué)汽車與機(jī)械工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410114；

2. 湖南科技大學(xué)機(jī)械設(shè)備健康維護(hù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南湘潭411201；3. 機(jī)械裝備高性能智能制造關(guān)鍵技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙410114）

近年來(lái)，無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)正處于高速發(fā)展時(shí)期。然而絕大多數(shù)無(wú)線傳感器節(jié)點(diǎn)目前仍使用電池供電，如果無(wú)線傳感器節(jié)點(diǎn)數(shù)量眾多或者布置在危險(xiǎn)區(qū)域，一旦電池耗盡，更換電池將需要龐大的費(fèi)用[1]。為了解決無(wú)線傳感器節(jié)點(diǎn)持續(xù)供電的難題，能量采集技術(shù)成為研究熱點(diǎn)[2]。典型的環(huán)境能量來(lái)源有太陽(yáng)能、熱能、振動(dòng)能等[3–4]，而振動(dòng)能被認(rèn)為是最好的環(huán)境能量來(lái)源。

振動(dòng)能量采集的主要研究方向?yàn)閿U(kuò)展能量采集的帶寬。目前拓展能量采集帶寬的方法主要有線性拓頻和非線性拓頻兩種方法[5]。在線性拓頻方面，張夢(mèng)倩等[6]在壓電懸臂梁外部串聯(lián)電感，通過(guò)改變電感來(lái)改變系統(tǒng)的固有頻率。非線性拓頻又可分為非線性單穩(wěn)態(tài)拓頻和非線性雙穩(wěn)態(tài)拓頻，非線性單穩(wěn)態(tài)拓頻是利用非線性力學(xué)特性，使振動(dòng)能量采集系統(tǒng)的頻響曲線向低頻或高頻彎曲，以拓寬系統(tǒng)響應(yīng)的帶寬[7–9]。但是非線性單穩(wěn)態(tài)能量采集器無(wú)法采集更低頻的振動(dòng)能量。而非線性雙穩(wěn)態(tài)拓頻可以解決這一問(wèn)題。Cottone 等[10]提出了基于磁斥力的非線性雙穩(wěn)態(tài)能量采集器，通過(guò)將矩形永磁體固定在倒立擺的自由端，同時(shí)在其正對(duì)面放置一塊同極永磁體提供磁斥力。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：合理永磁體間距下，系統(tǒng)呈現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)。雙穩(wěn)態(tài)能夠顯著提高采集器的輸出功率和帶寬。Ertuck 等[11]也提出了類似的結(jié)構(gòu)，采集器由鐵磁壓電梁和兩個(gè)固定永磁體組成，兩固定永磁體對(duì)稱分布在壓電梁附近，利用磁吸力產(chǎn)生雙穩(wěn)態(tài)特性，研究結(jié)果表明雙穩(wěn)態(tài)采集器相較于線性采集器具有更寬的響應(yīng)帶寬和更大的輸出電壓。此后雙穩(wěn)態(tài)能量采集領(lǐng)域出現(xiàn)大量研究成果：吳子英等[12]提出了一種附加非線性振子的雙穩(wěn)態(tài)能量采集器，并對(duì)系統(tǒng)的基諧波和超諧波響應(yīng)進(jìn)行了研究，但是該結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，不利于集成化；李海濤等[13]提出了一種壓電電磁復(fù)合式雙穩(wěn)態(tài)能量采集器，其特點(diǎn)在于可以同時(shí)采集壓電片和線圈中的能量；Deng等[14]提出了一種具有新型波紋管結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài)能量采集器，相較于懸臂梁結(jié)構(gòu)的采集器，波紋管應(yīng)力分布更加合理，結(jié)構(gòu)也更加緊湊；Zhou等[15]提出了一種柔性雙穩(wěn)態(tài)能量采集器，通過(guò)添加帶磁鐵的柔性梁結(jié)構(gòu)來(lái)降低勢(shì)壘高度，但是其柔性梁也存在位移，因此不利于集成化。

本文提出了一種基于雙環(huán)永磁體結(jié)構(gòu)的多穩(wěn)態(tài)能量采集器，其結(jié)構(gòu)緊湊，可以通過(guò)改變外環(huán)永磁體的結(jié)構(gòu)參數(shù)改變能量采集器的勢(shì)能曲線。建立了該多穩(wěn)態(tài)振動(dòng)能量采集器的非線性力學(xué)模型，分析外環(huán)永磁體參數(shù)對(duì)勢(shì)能曲線的影響規(guī)律，通過(guò)數(shù)值仿真研究分析三穩(wěn)態(tài)和雙穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)、電壓輸出特性和吸振性能，結(jié)果表明三穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器能在更寬的頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生更大的能量輸出以及有更好的吸振作用。

1 能量采集器的結(jié)構(gòu)與建模

1.1 能量采集器的結(jié)構(gòu)

本文所提出的具有雙環(huán)永磁體結(jié)構(gòu)的多穩(wěn)態(tài)能量采集器結(jié)構(gòu)如圖1所示。其結(jié)構(gòu)主要分為振動(dòng)部分、發(fā)電部分和支撐部分。振動(dòng)部分由線性彈簧、片簧、內(nèi)環(huán)永磁體和外環(huán)永磁體組成，線性彈簧和片簧為系統(tǒng)提供線性剛度，內(nèi)環(huán)永磁體和外環(huán)永磁體為系統(tǒng)提供非線性剛度。發(fā)電部分由發(fā)電永磁體和發(fā)電線圈組成，發(fā)電永磁體在發(fā)電線圈內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，使線圈內(nèi)部發(fā)生磁通量變化產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，從而實(shí)現(xiàn)能量采集。支撐部分由鋁制支架、片簧和工作點(diǎn)調(diào)節(jié)裝置構(gòu)成，鋁制支架起主要支撐作用，片簧可以約束振子的振動(dòng)方向，工作點(diǎn)調(diào)節(jié)裝置可以調(diào)整內(nèi)環(huán)永磁體的垂直位置，以抵消重力對(duì)裝置的影響。

圖1 雙環(huán)永磁體結(jié)構(gòu)的多穩(wěn)態(tài)能量采集器結(jié)構(gòu)及其平面圖

1.2 雙環(huán)永磁體的非線性磁力建模

雙環(huán)永磁體的結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖2所示。其中外環(huán)永磁體的外半徑為rout,內(nèi)半徑為rin，高度為h；內(nèi)環(huán)永磁體的外半徑為rout2，內(nèi)半徑為rin2，高度為b。za為內(nèi)環(huán)永磁體與外環(huán)永磁體中心的垂直位移。J為永磁體的剩余磁通密度，μ0為真空磁導(dǎo)率。

圖2 同軸雙環(huán)永磁體的結(jié)構(gòu)參數(shù)

為了獲得多穩(wěn)態(tài)能量采集器的特性，需要計(jì)算雙環(huán)永磁體間的磁力。

根據(jù)文獻(xiàn)[16]，雙環(huán)永磁體間的軸向磁力可由式(1)至式(4)求得：

其中：r2為內(nèi)環(huán)永磁體的積分半徑范圍，θ為內(nèi)環(huán)永磁體的積分角度范圍。如表1所示。

表1 雙環(huán)永磁體參數(shù)

磁力計(jì)算的參數(shù)如表1所示。通過(guò)式(3)求解出各個(gè)f(α, β)，再通過(guò)式(2)求出函數(shù)f，并將其代入式(1)中求出軸向磁剛度Kz，并對(duì)軸向磁剛度Kz進(jìn)行積分得到軸向磁斥力Fz。

為了驗(yàn)證磁力的解析表達(dá)式，采用COMSOL有限元軟件進(jìn)行仿真，雙環(huán)永磁體的有限元建模如圖3所示。求解結(jié)果與數(shù)值仿真對(duì)比如圖4所示?？梢钥闯龈鶕?jù)有限元法得到的磁力和根據(jù)數(shù)值解析法得到的磁力基本吻合，證實(shí)了磁力數(shù)值解析表達(dá)式的正確性。

圖3 雙環(huán)永磁體的有限元建模和磁感線分布

圖4 同軸雙環(huán)永磁體間的磁力

2 外環(huán)永磁體結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)勢(shì)能曲線的影響規(guī)律

根據(jù)參考文獻(xiàn)[17]，雙環(huán)永磁體間的非線性剛度可用如下多項(xiàng)式擬合得到：

其中：n0、n2、n4為非線性剛度的多項(xiàng)式系數(shù)。非線性磁力的表達(dá)式可由式(5)積分得到：

其中：k1、k3、k5為非線性磁力的多項(xiàng)式系數(shù)。

能量采集器的勢(shì)能函數(shù)可由環(huán)形永磁體間的磁勢(shì)能和線性彈簧的彈性勢(shì)能相加得到，系統(tǒng)總勢(shì)能函數(shù)表達(dá)式如下：

其中：k為線性剛度。

2.1 外環(huán)永磁體內(nèi)半徑對(duì)勢(shì)能曲線的影響規(guī)律

考慮到能量采集器的體積約束，設(shè)定外環(huán)永磁體rout=14 mm。并令k=200 N/m，內(nèi)環(huán)永磁體的參數(shù)：rout2=5 mm，rin2=2.5 mm，b=6 mm不變，研究外環(huán)永磁體參數(shù)對(duì)勢(shì)能曲線的影響規(guī)律。

為了研究外環(huán)永磁體內(nèi)半徑對(duì)勢(shì)能曲線的影響，設(shè)定外環(huán)永磁體高度h=12 mm，外環(huán)永磁體內(nèi)半徑rin的變化范圍為11 mm～13.5 mm。系數(shù)(k+k1)隨外環(huán)永磁體內(nèi)半徑rin的變化規(guī)律如圖5 所示。采用最小二乘法進(jìn)行擬合，擬合多項(xiàng)式表示為

圖5 (k+k1)隨外環(huán)永磁體內(nèi)半徑的變化規(guī)律曲線

顯然，結(jié)合方程式(8)可知，當(dāng)外環(huán)永磁體內(nèi)半徑rin=13.15 mm時(shí)，k+k1=0，此時(shí)能量采集器的總體線性剛度為0，呈現(xiàn)近零剛度特性。結(jié)合圖6所示的不同外環(huán)永磁體內(nèi)半徑下的勢(shì)能曲線可知，當(dāng)rin<13.15 mm時(shí)，k+k1<0，能量采集器線性剛度為負(fù)，此時(shí)能量采集器為雙穩(wěn)態(tài)，勢(shì)能曲線有一個(gè)勢(shì)壘和兩個(gè)勢(shì)阱，且隨著rin增大，雙穩(wěn)態(tài)的勢(shì)壘高度和勢(shì)阱間距都在減小；當(dāng)rin>13.15 mm 時(shí)，k+k1>0，此時(shí)能量采集器變?yōu)閱畏€(wěn)態(tài)，勢(shì)能曲線只有一個(gè)勢(shì)阱。

圖6 不同外環(huán)內(nèi)半徑下的勢(shì)能曲線

基于上述分析結(jié)果可知：減小外環(huán)永磁體內(nèi)半徑會(huì)使能量采集器由單穩(wěn)態(tài)變?yōu)殡p穩(wěn)態(tài)，但過(guò)小的外環(huán)永磁體內(nèi)半徑會(huì)使勢(shì)壘高度過(guò)大，導(dǎo)致振子無(wú)法越過(guò)勢(shì)壘，因此確定合適的外環(huán)永磁體內(nèi)半徑是設(shè)計(jì)能量采集器的基礎(chǔ)。

2.2 外環(huán)永磁體高度對(duì)勢(shì)能曲線的影響規(guī)律

為了研究外環(huán)永磁體高度對(duì)勢(shì)能曲線的影響，設(shè)定外環(huán)永磁體內(nèi)半徑rin=12.2 mm，外環(huán)永磁體高度h變化范圍為12 mm～22 mm，系數(shù)(k+k1)隨外環(huán)永磁體高度h的變化規(guī)律如圖7 所示。其擬合多項(xiàng)式表示為

圖7 (k+k1)隨外環(huán)永磁體高度的變化規(guī)律曲線

結(jié)合方程式(9)可知當(dāng)外環(huán)永磁體高度h=19.23 mm 時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)k+k1=0。結(jié)合圖8 所示的不同外環(huán)永磁體高度下的勢(shì)能曲線可知，當(dāng)外環(huán)永磁體高度h<19.23 mm 時(shí)，k+k1<0，能量采集器總體線性剛度為負(fù)，勢(shì)能曲線有兩個(gè)勢(shì)阱，為雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。且隨著h的增大，勢(shì)壘高度降低，勢(shì)阱間距增加；當(dāng)外環(huán)永磁體高度h>19.23 mm 時(shí)，k+k1>0，能量采集器總體線性剛度為正，此時(shí)系統(tǒng)有3 個(gè)勢(shì)阱。

圖8 不同外環(huán)永磁體高度下的勢(shì)能曲線

基于上述分析結(jié)果，在確定外環(huán)永磁體內(nèi)半徑之后，通過(guò)調(diào)整外環(huán)永磁體的高度可以在一定范圍內(nèi)在減小勢(shì)壘高度的同時(shí)增大勢(shì)阱間的間距，并且隨著外環(huán)永磁體高度的增加，當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)k+k1>0 時(shí)，系統(tǒng)將變?yōu)槿€(wěn)態(tài)狀態(tài)。三穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器勢(shì)壘高度更低，勢(shì)阱間距更大，振子更容易通過(guò)勢(shì)壘且振動(dòng)位移更大，這意味著三穩(wěn)態(tài)能量采集器能在更寬的頻率范圍內(nèi)產(chǎn)生更高的能量輸出。

3 諧波激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及電壓輸出特性分析

本節(jié)研究激勵(lì)頻率和激勵(lì)幅值的變化對(duì)雙環(huán)永磁體結(jié)構(gòu)能量采集器的影響。選取圖8中外環(huán)永磁體高度h=20.5 mm(三穩(wěn)態(tài))和h=18 mm (雙穩(wěn)態(tài))兩組外環(huán)永磁體進(jìn)行對(duì)比。能量采集器的機(jī)電耦合方程可以表示為

其中：m為振子質(zhì)量，c為機(jī)械阻尼，k為線性剛度，為激勵(lì)加速度，ξ為機(jī)電耦合系數(shù)，L為發(fā)電線圈電感，R為外部負(fù)載電阻的阻值，z為振子位移。能量采集器的系統(tǒng)參數(shù)如表2所示。通過(guò)龍格庫(kù)塔法對(duì)方程式(10)進(jìn)行求解。

表2 能量采集器參數(shù)

諧波激勵(lì)的加速度為

其中：ω為角頻率，A為激勵(lì)幅值。輸出電壓的有效值為

其中：u為t時(shí)刻的瞬時(shí)電壓。

3.1 不同激勵(lì)頻率下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及電壓輸出特性分析

由于0.01 Hz～20 Hz的振動(dòng)被稱作低頻超低頻振動(dòng)，因此選取數(shù)值仿真的頻率范圍為0.01 Hz～20 Hz。選取激勵(lì)加速度幅值A(chǔ)=8 m/s2進(jìn)行三穩(wěn)態(tài)和雙穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集電壓對(duì)比。圖9 為A=8 m/s2時(shí)的輸出電壓對(duì)比。當(dāng)f=0.01 Hz 時(shí)，兩者幾乎均無(wú)電壓輸出。

圖9 A=8 m/s2時(shí)不同激勵(lì)頻率下的輸出電壓的有效值對(duì)比

當(dāng)f=1 Hz 時(shí)，雙穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器幾乎沒(méi)有輸出電壓，而三穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器則有了一定的電壓輸出。當(dāng)f=10 Hz 時(shí)，雙穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器的輸出電壓才開(kāi)始迅速提升。隨著激勵(lì)頻率繼續(xù)增加，振子無(wú)法越過(guò)勢(shì)壘，電壓反而降低。因此，三穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器帶寬為1 Hz～12 Hz，雙穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下能量采集器帶寬為10 Hz～13 Hz。

仿真結(jié)果表明在相同激勵(lì)加速度幅值的情況下，三穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器相較于雙穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器擁有更低的工作頻率和更寬的帶寬。

3.2 不同激勵(lì)加速度幅值下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及電壓輸出特性分析

設(shè)定外界的激勵(lì)頻率為f=8 Hz，激勵(lì)加速度幅值變化范圍為1 m/s2～12 m/s2。三穩(wěn)態(tài)和雙穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器在不同激勵(lì)加速度幅值下的輸出電壓對(duì)比如圖10 所示。三穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器在A=4 m/s2時(shí)達(dá)到激勵(lì)加速度閾值，輸出電壓迅速增大。而雙穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器則需要達(dá)到A=9 m/s2時(shí)才能達(dá)到激勵(lì)加速度閾值。

圖10 f =8 Hz時(shí)不同激勵(lì)加速度幅值下的輸出電壓對(duì)比

仿真結(jié)果說(shuō)明三穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器可以在更低的激勵(lì)加速度幅值下獲得更大的能量輸出。

4 多穩(wěn)態(tài)能量采集器吸振性能分析

本文提出的多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)不僅能夠提升能量采集性能，同時(shí)也能作為吸振器吸收振動(dòng)，由線性主振系系統(tǒng)和多穩(wěn)態(tài)吸振器構(gòu)成的模型如圖11 所示。其中M為主振系質(zhì)量，k′為主振系剛度，c′為主振系阻尼，主振系上部為多穩(wěn)態(tài)吸振器。z′為主振系的位移。

由圖11 結(jié)合式(10)可以寫出吸振系統(tǒng)的微分方程：

圖11 吸振系統(tǒng)模型

設(shè)定主振系質(zhì)量M=1 kg，剛度k′=2 000 N/m，阻尼c′=0.3 Ns/m，其他參數(shù)如表2所示。令主振系初始位移為10 mm，并添加均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為8 m/s2的白噪聲進(jìn)行激勵(lì)，觀察不同穩(wěn)態(tài)下的吸振效果。圖12(a)為5 s～15 s主振系振動(dòng)時(shí)域曲線，從圖中可以看出三穩(wěn)態(tài)吸振效果明顯好于單穩(wěn)態(tài)和雙穩(wěn)態(tài)。圖12(b)為主振系振動(dòng)頻域曲線，在共振頻率處，三穩(wěn)態(tài)吸振下的主振系幅值比單穩(wěn)態(tài)吸振低37.4%，比雙穩(wěn)態(tài)吸振低29.4%。圖13(a)為吸振器振動(dòng)時(shí)域曲線，可以看出在5 s～14 s 時(shí)三穩(wěn)態(tài)吸振器依然進(jìn)行大幅周期運(yùn)動(dòng)，而雙穩(wěn)態(tài)吸振器則由于勢(shì)壘較高，在7.5 s時(shí)從大幅周期運(yùn)動(dòng)衰減成了阱內(nèi)小幅周期運(yùn)動(dòng)，因此三穩(wěn)態(tài)采集器能夠吸收主振系大量的振動(dòng)能量，這也是其吸振效果最優(yōu)的原因。圖13(b)為吸振器振動(dòng)頻域曲線，盡管在共振頻率處三穩(wěn)態(tài)吸振器幅值低于單穩(wěn)態(tài)吸振器，但是其在其他頻率上都有著較高的振動(dòng)幅值。

圖12 主振系振動(dòng)時(shí)頻曲線

圖13 吸振器振動(dòng)時(shí)頻曲線

5 結(jié)語(yǔ)

所提出的基于雙環(huán)永磁體結(jié)構(gòu)的多穩(wěn)態(tài)能量采集器不僅可以拓展能量采集的帶寬，而且相對(duì)于懸臂梁式的能量采集器，雙環(huán)永磁體結(jié)構(gòu)更加緊湊，更有利于集成化。充分研究了外環(huán)永磁體的高度和內(nèi)徑對(duì)勢(shì)能曲線的影響規(guī)律，研究發(fā)現(xiàn)：隨著外環(huán)永磁體高度增加，能量采集器由雙穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槿€(wěn)態(tài)。并通過(guò)數(shù)值仿真計(jì)算和對(duì)比了三穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器和雙穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器在不同激勵(lì)頻率和激勵(lì)幅值下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和輸出電壓。結(jié)果表明相對(duì)于雙穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器，三穩(wěn)態(tài)狀態(tài)下的能量采集器在低頻具有更小的能量閾值，更容易越過(guò)勢(shì)壘，能夠在較寬的低頻范圍內(nèi)采集能量。最后分析對(duì)比了不同穩(wěn)態(tài)的能量采集器對(duì)振動(dòng)抑制的影響，能量采集裝置處于三穩(wěn)態(tài)狀態(tài)時(shí)吸振性能最好。