廣義位勢(shì)理論本構(gòu)模型的加卸載準(zhǔn)則探討

鐘志輝，楊光華，張玉成，官大庶，溫 勇

(1.廣州市宏禹水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)有限公司，廣東 廣州 511458；2.廣東省水利水電科學(xué)研究院，廣東 廣州 510635；3.華南農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利與土木工程學(xué)院，廣東 廣州 510642；4.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)，江蘇 徐州 221008；5.廣東水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 510610；6.仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院 城鄉(xiāng)建設(shè)學(xué)院，廣東 廣州 510225)

1 概述

巖土本構(gòu)理論一般將土的狀態(tài)分為彈性狀態(tài)和塑性狀態(tài)，其中加卸載準(zhǔn)則是用于判斷土是處于加載還是卸載的狀態(tài)，不同狀態(tài)下一般會(huì)采用不同的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。經(jīng)典彈塑性理論是通過(guò)屈服函數(shù)來(lái)確定加卸載準(zhǔn)則的，但試驗(yàn)表明土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系較為復(fù)雜，從而導(dǎo)致屈服面的確定或建立也較為復(fù)雜。目前巖土的彈塑性模型的屈服面都基于一些假設(shè)條件而建立的。然而，土的屈服面是否唯一也無(wú)法嚴(yán)格的證明。基于單一屈服面推導(dǎo)出來(lái)的加卸載準(zhǔn)則存在一定的局限性，因此沈珠江[1-2]、向大潤(rùn)[3]等提出部分屈服加卸載準(zhǔn)則。此外，鑒于建立屈服面型加卸載準(zhǔn)則的困難，部分學(xué)者建議采用應(yīng)力型加卸載準(zhǔn)則和應(yīng)變型加卸載準(zhǔn)則[4-5]。

為了克服經(jīng)典彈塑性理論假設(shè)多、屈服面復(fù)雜等缺點(diǎn)，楊光華[6-9]直接從數(shù)學(xué)原理出發(fā)，提出了土體本構(gòu)模型的廣義位勢(shì)理論。廣義位勢(shì)理論的優(yōu)點(diǎn)是數(shù)學(xué)原理清晰，不需要以塑性公設(shè)為基礎(chǔ)，其建立的本構(gòu)模型從理論上來(lái)講更為科學(xué)和完善。近年來(lái)廣義位勢(shì)理論逐漸得到更多學(xué)者的研究和應(yīng)用[10-17]。然而，基于屈服面確立的加卸載準(zhǔn)則用于廣義位勢(shì)理論的本構(gòu)模型，或者采用其他方式建立加卸載準(zhǔn)則，仍需更多的研究和探討。鑒于此，本文從數(shù)學(xué)角度闡述廣義位勢(shì)理論中加卸載準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)本質(zhì)，為建立合理的加卸載準(zhǔn)則提供數(shù)學(xué)依據(jù)，最后提出一種普遍適用于廣義位勢(shì)理論本構(gòu)模型的分段型加卸載準(zhǔn)則。

2 廣義位勢(shì)理論本構(gòu)模型的加卸載準(zhǔn)則

2.1 基于廣義位勢(shì)理論建立土的本構(gòu)模型[7]

基于廣義位勢(shì)理論建立土的本構(gòu)模型，只需解決2個(gè)基本問(wèn)題：① 確定土在主應(yīng)力空間中的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，本文又稱為狀態(tài)方程；② 確定(塑性)應(yīng)變?cè)隽康?個(gè)勢(shì)函數(shù)。

首先，狀態(tài)方程一般通過(guò)數(shù)學(xué)方法擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到，根據(jù)主應(yīng)變類型的不同可以分別寫(xiě)成如下2種形式：

εi=fi(σ1,σ2,σ3)

(1a)

(1b)

(2a)

(2b)

然后，根據(jù)廣義位勢(shì)理論，塑性應(yīng)變?cè)隽繌埩靠杀硎緸椋?/p>

(3a)

(3b)

當(dāng)塑性應(yīng)變?cè)隽坑?個(gè)勢(shì)函數(shù)表示時(shí)，稱為多重勢(shì)面模型；當(dāng)塑性應(yīng)變?cè)隽坑?個(gè)勢(shì)函數(shù)表示時(shí)，稱為二重勢(shì)面模型；當(dāng)只用1個(gè)勢(shì)函數(shù)表示時(shí)，就退化為經(jīng)典的彈塑性模型。

一般式(3)中3個(gè)塑性勢(shì)函數(shù)可以取為σ1,σ2,σ3(或p，q，Lode角θ)。當(dāng)選用σ1,σ2,σ3作為分段條件，分段條件具有明確的物理意義，而且較為簡(jiǎn)單實(shí)用。

2.2 三維應(yīng)力空間的分段型加卸載準(zhǔn)則

一般狀態(tài)方程是在主應(yīng)力空間中確定的，只要能夠合理地對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行分段，那么這個(gè)分段型加卸載準(zhǔn)則是可行的。

最簡(jiǎn)單的3個(gè)分段條件是σ1,σ2,σ3(或p，q，θ)，因?yàn)樵谌S試驗(yàn)中，每個(gè)狀態(tài)方程一般是通過(guò)改變其中1個(gè)主應(yīng)力、而另外2個(gè)主應(yīng)力保持不變確定的。例如，保持σ2和σ3不變，分別增加或減少σ1，就擬合出2個(gè)不同的狀態(tài)方程。由此可見(jiàn)，1個(gè)簡(jiǎn)單又合理的分段條件可以表示為：

(4)

這是最基本的分段條件，如果要描述更為復(fù)雜的狀態(tài)方程，必須加入更多的分段條件。

2.3 二維應(yīng)力空間的分段型加卸載準(zhǔn)則

(5a)

(5b)

或者表示為：

(6a)

(6b)

式中A、B、C、D為待定參數(shù)，通過(guò)擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到?？梢?jiàn)，最基本的分段條件應(yīng)該為：

(7)

或者為：

(8)

如果要描述更為復(fù)雜的狀態(tài)方程，也必須加入更多的分段條件。例如沈珠江[2]提出的部分屈服條件也包含式(8)所列的分段條件，但另外增加了一個(gè)分段條件η=q/p。

2.4 屈服面型加卸載準(zhǔn)則

傳統(tǒng)的彈塑性本構(gòu)模型一般采用屈服面f(σij,H)=0建立加卸載準(zhǔn)則，其中H為硬化參數(shù)。當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)位于屈服面上時(shí)，土體處于加載或中性變載狀態(tài)；當(dāng)應(yīng)力狀態(tài)位于屈服面內(nèi)時(shí)，土體處于卸載狀態(tài)。

由于屈服面較難確定，因此，一般是采用塑性勢(shì)面代替的，即所謂的關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則。楊光華[7]指出，狀態(tài)方程必須滿足一定的條件，關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則才成立。如對(duì)于式(6b)，只有當(dāng)B=C，AD=BC時(shí)，屈服面才等于塑性勢(shì)面，此時(shí)狀態(tài)方程可以采用屈服面建立分段條件。然而，上述條件在一般情況下較難滿足，即使條件滿足，推導(dǎo)屈服面的過(guò)程也較為困難。

圖1 雙軸試驗(yàn)的“試樣模型”示意(單位：mm)

a σ1-σ3與ε1的關(guān)系曲線

b σ1-σ3與-ε3的關(guān)系曲線

因此，屈服面型加卸載準(zhǔn)則作為單一的分段條件，較難全面地反映土體的狀態(tài)方程的分段情況，用于廣義位勢(shì)理論的本構(gòu)模型有一定的局限。

3 分段型加卸載準(zhǔn)則建立步驟示例

3.1 示例模型介紹

采用平面雙軸試驗(yàn)來(lái)說(shuō)明分段型加卸載準(zhǔn)則的建立步驟。該雙軸試驗(yàn)采用二維顆粒流程序PFC2D模擬，PFC2D通過(guò)生成微小的顆粒單元并定義單元的微觀參數(shù)，從而生成由大量顆粒組成的宏觀模型，通過(guò)分析宏觀模型的受力和變形，就能得到宏觀參數(shù)。

本示例的試樣模型如圖1所示，“試樣”寬為6.0 mm，高為12.0 mm，設(shè)置顆粒的最小半徑為0.075 mm，最大半徑為0.1 mm，由PFC2D隨機(jī)生成的2 574個(gè)顆粒組成?！霸嚇印钡某跏紘鷫簽? 200 kPa，在初始圍壓作用下，初始孔隙率達(dá)到了0.14。模型四周采用墻體單元包圍，四周壓力作用在“墻體”上，顆粒單元和墻體單元的計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表1所示。

表1 雙軸數(shù)值試驗(yàn)的計(jì)算參數(shù)

本示例采用的狀態(tài)方程為式(5a)，分段型加卸載準(zhǔn)則采用式(7)。

3.2 σ1=σ1max,σ3=σ3max時(shí)的狀態(tài)方程

σ1=σ1max,σ3=σ3max是指σ1、σ3都處于加載條件，其增量形式為dσ1>0，dσ3>0，此時(shí)可以通過(guò)以下應(yīng)力路徑確定狀態(tài)方程：① 保持σ3不變，增加σ1，以此確定狀態(tài)方程的A、C；② 保持σ1不變，增加σ3，以此確定狀態(tài)方程的B、D。

3.2.1保持σ3不變，增加σ1

當(dāng)保持σ3不變，增加σ1時(shí)，PFC2D得出的應(yīng)力應(yīng)變曲線和擬合曲線如圖2所示。

a σ3-σ1與-ε11

b σ3-σ1與ε3的關(guān)系曲線

3.2.2保持σ1不變，增加σ3

當(dāng)保持σ1不變，增加σ3時(shí)，PFC2D得出的應(yīng)力應(yīng)變曲線和擬合曲線如圖3所示。

σ1=σ1max,σ3=σ3max時(shí)的狀態(tài)方程可以通過(guò)上述2個(gè)擬合結(jié)果進(jìn)行疊加，即：

3.3 σ1<σ1max,σ3=σ3max時(shí)的狀態(tài)方程

σ1<σ1max,σ3=σ3max是指σ1處于卸載條件、σ3處于加載條件，其增量形式為dσ1≤0，dσ3≥0，此時(shí)可以通過(guò)以下兩種應(yīng)力路徑的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行疊加確定狀態(tài)方程：①保持σ1不變，增加σ3，即dσ1=0，dσ3>0；②保持σ3不變，減少σ1，即dσ1<0，dσ3=0。應(yīng)力路徑①的結(jié)果見(jiàn)3.2.2節(jié)；按應(yīng)力路徑②進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，PFC2D得出的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖4所示。

a σ1-σ3與ε1的關(guān)系曲線

b σ3-σ1與ε3的關(guān)系曲線

與3.2.2節(jié)的擬合結(jié)果進(jìn)行疊加，可得σ1<σ1max,σ3=σ3max時(shí)的狀態(tài)方程為：

3.4 σ1=σ1max,σ3<σ3max時(shí)的狀態(tài)方程

σ1=σ1max,σ3<σ3max是指σ1處于加載條件、σ3處于卸載條件，其增量形式為dσ1≥0，dσ3≤0，此時(shí)可以通過(guò)以下兩種應(yīng)力路徑的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行疊加確定狀態(tài)方程：① 保持σ3不變，增加σ1，即dσ1>0，dσ3=0；② 保持σ1不變，減少σ3，即dσ1=0，dσ3<0。應(yīng)力路徑①的結(jié)果見(jiàn)3.2.1節(jié)；按應(yīng)力路徑②進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，PFC2D得出的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖5所示。

a σ3-σ1與-ε1的關(guān)系曲線

b σ3-σ1與ε3的關(guān)系曲線

圖6 三軸試驗(yàn)的試樣模型示意(單位：mm)

圖7 驗(yàn)證試驗(yàn)的應(yīng)力路徑示意

與3.2.1節(jié)的擬合結(jié)果進(jìn)行疊加，可得σ1=σ1max,σ3<σ3max時(shí)的狀態(tài)方程為：

3.5 σ1<σ1max,σ3<σ3max時(shí)的狀態(tài)方程

σ1<σ1max,σ3<σ3max是指σ1、σ3都處于卸載條件，此時(shí)的狀態(tài)方程可通過(guò)3.3節(jié)、3.4節(jié)的試驗(yàn)擬合結(jié)果進(jìn)行疊加，即：

綜上所述，不同分段條件下的狀態(tài)方程是不一樣的，應(yīng)采用不同的應(yīng)力路徑確定。對(duì)于復(fù)雜的本構(gòu)關(guān)系，分段條件應(yīng)適當(dāng)增加。

4 分段型加卸載準(zhǔn)則應(yīng)用實(shí)例—類劍橋模型

4.1 類劍橋模型簡(jiǎn)介

廣義位勢(shì)理論中的p-q型二重勢(shì)面模型[7]，其狀態(tài)方程按式(6b)表示。2個(gè)塑性勢(shì)函數(shù)取為φ1=p，φ2=q，此時(shí)式(3b)變?yōu)椋?/p>

a 軸向應(yīng)變—偏差應(yīng)力關(guān)系曲線

b 軸向應(yīng)變—體應(yīng)變關(guān)系曲線

a 軸向應(yīng)變—偏差應(yīng)力關(guān)系曲線

b 軸向應(yīng)變—體應(yīng)變關(guān)系曲線

a 軸向應(yīng)變—偏差應(yīng)力關(guān)系曲線

b 軸向應(yīng)變—體應(yīng)變關(guān)系曲線

(9)

由式(9)可得：

(10)

式(10)代入式(6)得：

(11)

又因?yàn)椋?/p>

(12)

將式(11)和(12)代入式(9)得：

(13)

式(13)即為塑性本構(gòu)方程，加上彈性應(yīng)變，即可得數(shù)值計(jì)算用的彈塑性本構(gòu)方程。

針對(duì)正常固結(jié)粘土加載條件下的變形特點(diǎn)，并借鑒劍橋模型，楊光華基于廣義位勢(shì)理論提出了一個(gè)類劍橋模型[16]，其狀態(tài)方程的表達(dá)形式為：

(14)

其中：

(15)

(16)

(17)

式中 參數(shù)M、λ、κ分別為極限應(yīng)力比、壓縮指數(shù)、回彈指數(shù)；參數(shù)n為擬合參數(shù)；e為孔隙比。

4.2 類劍橋模型的屈服面型加卸載準(zhǔn)則

傳統(tǒng)的加卸載準(zhǔn)則一般通過(guò)屈服面確定。由于式(14)滿足關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則的條件，因此可將塑性勢(shì)面代替屈服面，從而可以推導(dǎo)出基于屈服面的加卸載準(zhǔn)則。根據(jù)式(14)，塑性應(yīng)變?cè)隽糠较驗(yàn)椋?/p>

(18)

設(shè)屈服軌跡為f(p,q,H)=0，由一致性條件可得：

(19)

根據(jù)關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則：

(20)

聯(lián)立式(18)(19)和(20)解得：

(21)

解微分方程(21)得出屈服函數(shù)為：

(22)

式中p0為等向固結(jié)壓力，可視為該屈服面的硬化參數(shù)。

當(dāng)f<0時(shí)，為彈性狀態(tài)，狀態(tài)方程為：

(23)

4.3 類劍橋模型的分段型加卸載準(zhǔn)則

式(14)是在加載的條件下才成立的，即p=pmax，q=qmax，但此狀態(tài)方程并不包含部分卸載和完全卸載的情況。根據(jù)2.3節(jié)的式(8)，本文初步提出類劍橋模型的分段型加卸載準(zhǔn)則及對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程如下：

1)p=pmax，q=qmax時(shí)，為式(14)。

2)p

(24)

3)p=pmax，q

(25)

4)p

(26)

應(yīng)當(dāng)指出，類劍橋模型隱含著一個(gè)剪切破壞條件，即η=M。

4.4 兩種加卸載準(zhǔn)則的對(duì)比分析

驗(yàn)證思路：① 通過(guò)三軸試驗(yàn)確定試樣的類劍橋模型的參數(shù)，本節(jié)采用PFC3D構(gòu)建三軸試驗(yàn)的“試樣”，并模擬“試樣”的三軸試驗(yàn)；② 采用PFC3D模擬“試樣”在不同應(yīng)力路徑的三軸試驗(yàn)，通過(guò)對(duì)比不同應(yīng)力路徑的試驗(yàn)數(shù)據(jù)與兩種加卸載準(zhǔn)則的計(jì)算數(shù)據(jù)，以說(shuō)明哪種加卸載準(zhǔn)則更為合理。

首先，在PFC3D中建立的“試樣模型”如圖6所示，“試樣模型”直徑為3.0 mm，高度為6.0 mm，由2 492個(gè)球體顆粒組成，顆粒最小半徑為0.075 mm，最大半徑為0.2 mm?！霸嚇幽Ｐ汀彼闹懿捎谩皦w”單元包圍，外部壓力直接作用在“墻體”上?！霸嚇幽Ｐ汀鳖w粒的計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表2所示。

表2 數(shù)值試驗(yàn)的計(jì)算參數(shù)

采用PFC3D對(duì)“試樣”進(jìn)行三軸試驗(yàn)?zāi)M，得出“試樣”宏觀上的應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)，由應(yīng)力應(yīng)變數(shù)據(jù)計(jì)算得出類劍橋模型的參數(shù)見(jiàn)表3所示。

表3 類劍橋模型的計(jì)算參數(shù)

驗(yàn)證類劍橋模型及兩種加卸載準(zhǔn)則的計(jì)算精度，驗(yàn)證的應(yīng)力路徑如圖7所示(σa為軸壓，σc為圍壓)，首先各向等壓固結(jié)到A點(diǎn)(此時(shí)圍壓為1 200 kPa)，然后進(jìn)行三軸壓縮試驗(yàn)(應(yīng)力路徑AB)，最后分別進(jìn)入3種應(yīng)力路徑：① 路徑BC，此時(shí)p減少，q增加；② 路徑BD，此時(shí)p增加，q減少；③ 路徑BE，此時(shí)p不變，q減少。

分段型加卸載準(zhǔn)則和屈服面型加卸載準(zhǔn)則的預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)圖8～10，可見(jiàn)兩者得出的εa～q曲線與試驗(yàn)結(jié)果的吻合程度較高，而εa～εv曲線的吻合程度相對(duì)較低。

總體而言， 分段型加卸載準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果較為接近，而屈服面型加卸載準(zhǔn)則的預(yù)測(cè)精度相對(duì)較差，由此可見(jiàn)，采用分段型加卸載準(zhǔn)則更為合理。

5 結(jié)語(yǔ)

本文探討了基于廣義位勢(shì)理論的本構(gòu)模型的加卸載準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，說(shuō)明了加卸載準(zhǔn)則在本質(zhì)上是狀態(tài)方程的分段條件，并提出了分段型加卸載準(zhǔn)則。最后，以一個(gè)二重勢(shì)面模型——類劍橋模型為例，論述了其分段型加卸載準(zhǔn)則和屈服面型加卸載準(zhǔn)則的建立步驟，并比較兩個(gè)加卸載準(zhǔn)則在不同應(yīng)力路徑下的計(jì)算結(jié)果，結(jié)果表明分段型加卸載準(zhǔn)則的計(jì)算精度相對(duì)較高，更加適用于廣義位勢(shì)理論的本構(gòu)模型。