變曲率絕熱層擠壓變形與纏繞壓力控制

段鵬軒 侯增選 嚴(yán)文聰 張偉超 廉繼杰

摘要：研究了固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室變曲率絕熱層橡膠擠壓變形機(jī)理，揭示、闡明了變曲率絕熱層橡膠擠壓變形規(guī)律，得到了纏繞壓力沿膠帶寬度方向的分布規(guī)律，并分析了纏繞壓力分布對(duì)絕熱層纏繞成型質(zhì)量的影響。提出了基于 Hertz接觸理論的變曲率絕熱層表面橡膠擠壓變形數(shù)學(xué)模型，建立了纏繞成型外加載荷與變厚度橡膠絕熱層表面變形的關(guān)系。并使用有限元分析軟件 ABAQUS針對(duì)多種真實(shí)纏繞情形進(jìn)行了仿真模擬。結(jié)果表明，基于 Hertz接觸理論的絕熱層表面橡膠擠壓變形數(shù)學(xué)模型可以較好地描述纏繞變形情況，通過(guò)該數(shù)學(xué)模型計(jì)算得到的纏繞壓力值與仿真得到的纏繞壓力值吻合度很高，從而驗(yàn)證了模型在其應(yīng)用范圍內(nèi)的有效性。為絕熱層纏繞成型粘接質(zhì)量的控制以及軌跡規(guī)劃提供了理論支撐，為后續(xù)恒壓控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了相關(guān)力學(xué)參數(shù)。關(guān)鍵詞：絕熱層;變曲率;Hertz接觸理論;擠壓變形;有限元

中圖分類號(hào)：TB3???????????? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-9492（2021）12-0033-05????????????????????????? 開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Extrusion Deformation of Heat Insulation withVariable Curvature and Winding Pressure Control

Duan Pengxuan1，Hou Zengxuan1※，Yan Wencong2，Zhang Weichao1，Lian Jijie1

（1. School of Mechanical Engineering， Dalian University of Technology， Dalian， Liaoning 116024， China;

2. Xi′an Aerospace Composites Research Institute， Xi′an 710025， China）

Abstract： The rubber extrusion deformation mechanism of the variable-curvature heat insulation of the solid rocket motor was studied， the extrusion deformation law of the variable-curvature heat insulation was clarified， the distribution of winding pressure along the strip width was obtained， and the influence of the pressure of the winding on the winding quality of the heat insulation was analyzed. Based on the Hertz contact theory， the mathematical model of the rubber extrusion deformation on the variable curvature surface of the heat insulation was proposed. The relationship between the winding pressure and the? surface deformation of the variable-thickness rubber insulation was established. Finite element simulations about a variety of winding situations was carried out using the finite element analysis software ABAQUS. The results show that the mathematical model of rubber extrusion deformation based on the Hertz contact theory can better describe the winding deformation. The winding pressure value calculated by the mathematical model is in good agreement with the value obtained by simulation， which verifies the validity of the model in its application range. It provides theoretical support for the control of the bonding quality of the heat insulation winding and trajectory planning， and provides relevant mechanical parameters for the subsequent design of the constant pressure control system.

Key words： heat insulation; variable curvature; Hertz contact theory; extrusion deformation; finite element

0 引言

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃燒室內(nèi)絕熱層是固體燃料與發(fā)動(dòng)機(jī)殼體之間的一層由耐燒蝕材料組成的熱防護(hù)層，可以通過(guò)在高溫中不斷分解和燒蝕降低燃燒室的溫度，保證發(fā)動(dòng)機(jī)在極端惡劣條件下仍能長(zhǎng)時(shí)間可靠工作，在發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)起著難以替代的重要作用。在絕熱層的自動(dòng)纏繞成型過(guò)程中，絕熱層膠帶由敷設(shè)頭通過(guò)滾壓纏繞在芯模上，由于受到芯模特征以及纏繞方式的影響，受到擠壓的絕熱層膠帶被纏繞在曲率變化的復(fù)雜三維曲面上，變形比通常情況下復(fù)雜得多，對(duì)最終的絕熱層成型質(zhì)量以及質(zhì)量穩(wěn)定性影響較大[1-4]。

2009年，柴暢等[5]在研究帶式輸送機(jī)擠壓阻力時(shí)，發(fā)現(xiàn)使用 Winkler 模型計(jì)算橡膠受力變形時(shí)存在一定誤差，提出了一種修正方法。2012年，周麗春[6]在研究橡膠毯機(jī)械預(yù)縮時(shí)，發(fā)現(xiàn)擠壓時(shí)的徑向長(zhǎng)度難以確定，便建立了基于 Hertz 接觸理論的預(yù)縮壓力與橡膠毯表面的變形關(guān)系。2018年，康超[7]分析了當(dāng)前纏繞工藝中存在的問(wèn)題，針對(duì)纏繞工藝的諸多關(guān)鍵技術(shù)展開(kāi)研究，在計(jì)算壓輥與復(fù)合材料芯模纏繞時(shí)的接觸壓力時(shí)，使用 Hertz 接觸理論簡(jiǎn)化了接觸模型，并將接觸區(qū)域的真實(shí)應(yīng)力使用計(jì)算得到的平均應(yīng)力代替。2019年，竇明月[8]采用實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證了基于 Hertz 接觸理論推導(dǎo)的壓力計(jì)算公式，計(jì)算了接觸區(qū)域幾何尺寸以及許用鋪放壓力，證明了采用 Hertz 接觸理論解決柔性壓輥與 Nomex 蜂窩芯的接觸問(wèn)題的合理性。

本文將針對(duì)航天某院研發(fā)的固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的真實(shí)芯模特征進(jìn)行理論分析以及公式推導(dǎo)。

1 纏繞接觸區(qū)域受力特征分析

1.1 芯模特征分析

圖1所示為固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)鋪貼絕熱層所用芯模。進(jìn)行自動(dòng)化纏繞之前，人工對(duì)芯模兩端臺(tái)階部分和對(duì)應(yīng)封頭臺(tái)階進(jìn)行鋪貼，以達(dá)到自動(dòng)化纏繞表面連續(xù)光滑要求，同時(shí)起到固定封頭的作用。封頭增加纏繞輔助部分，纏繞輔助部分長(zhǎng)度等于一個(gè)膠帶寬度加1 mm ，保證筒段有效段材料豐滿。分析可知，完成人工鋪貼后，包含手工鋪貼膠帶的芯模筒段直段部分為標(biāo)準(zhǔn)圓柱體，兩端半徑變化部分為連續(xù)光滑回轉(zhuǎn)曲面，此時(shí)芯模是母線為曲線的變曲率回轉(zhuǎn)體。

纏繞中使用的壓輥是基于實(shí)際需求設(shè)計(jì)的母線為橢圓的凹面壓輥。直段纏繞過(guò)程中，壓輥?zhàn)藨B(tài)如圖2所示。

如圖3所示，當(dāng)壓輥位于芯模變曲率部分時(shí)，不僅需要轉(zhuǎn)動(dòng)纏繞角α，同時(shí)還需要轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)位姿角β，使得壓輥軸線與芯模某一點(diǎn) T 的法向量垂直，且壓輥母線中點(diǎn)與芯模該點(diǎn)保持一定距離 l0，此時(shí)壓輥以工作姿態(tài)位于芯模 T點(diǎn)處，T點(diǎn)為位置點(diǎn)。

1.2 接觸區(qū)域典型面受力分析

圖2中 B-B 截面為正壓力面，在纏繞過(guò)程中，待纏繞膠帶上的所有點(diǎn)均在經(jīng)過(guò)該平面時(shí)承受最大應(yīng)力，因此，當(dāng)該平面內(nèi)的應(yīng)力滿足粘接質(zhì)量的最小應(yīng)力要求時(shí)，即可保證膠帶整體滿足粘接質(zhì)量要求。

在正壓力面內(nèi)，壓輥的母線方程為：

芯模截面輪廓線方程為：

式中： W 為膠帶寬度;R0為最小芯模半徑;R1為當(dāng)前芯模的半徑。

絕熱層的受力變形情況如圖4所示，正壓力面內(nèi)絕熱層的變形δm 為：

式中：δ0為正壓力面內(nèi)絕熱層中間位置的變形量;n 表示當(dāng)前纏繞絕熱層層數(shù);h 為絕熱層厚度。

把y0與y1代入式（3），得到應(yīng)力 q （x ）為：

式中：E 為絕熱層的彈性模量。

當(dāng)壓輥在芯模變曲率部分纏繞時(shí)，無(wú)法得到應(yīng)力分布的解析解，需要使用 Matlab 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。如圖5所示，在壓輥以工作姿勢(shì)遍歷芯模變曲率部分母線上所有點(diǎn)的過(guò)程中，比較壓輥母線左端點(diǎn)與芯模表面的距離Cn，得到其中的最大值L，該位置點(diǎn)為Tn：

在芯模變曲率部分纏繞過(guò)程中，當(dāng)壓輥位于位置 Tn時(shí)，壓輥與芯模的間隙最大，即如果在該位置可以滿足粘接質(zhì)量的最小應(yīng)力要求，則變曲率部分的任意位置均能滿足要求。故將位置 Tn 稱為變曲率部分的典型位置。

此時(shí)絕熱層表面的變形δ為：

式中：

正壓力面內(nèi)的應(yīng)力 q （x ）為：

可以看出，當(dāng)壓輥在最小尺寸芯模上纏繞時(shí)，正壓力面內(nèi)的應(yīng)力分布較為均勻，當(dāng)壓輥在其他尺寸芯模上纏繞時(shí)，最小應(yīng)力均出現(xiàn)在壓輥中間位置?？傮w來(lái)說(shuō)，橢圓凹面壓輥顯著優(yōu)化了纏繞時(shí)的壓力分布，相比傳統(tǒng)柱面壓輥降低了膠帶邊緣脫粘出現(xiàn)的概率，有助于提高粘接質(zhì)量。

2 Hertz接觸理論

在接觸力學(xué)領(lǐng)域中，Hertz接觸理論是經(jīng)典的解決兩個(gè)彈性體間的接觸問(wèn)題的理論。使用該理論時(shí)，需要滿足下面的條件：（1）接觸體具有連續(xù)光滑的表面，即在接觸區(qū)域及附近不能存在尖銳突起;（2）接觸的兩個(gè)物體都是各向同性的彈性體，且在接觸區(qū)域內(nèi)僅存在彈性變形;（3）兩接觸體為非密合接觸，即接觸區(qū)域相對(duì)于發(fā)生接觸的兩個(gè)物體本身非常小[9-10] 。但是在現(xiàn)實(shí)生活中大多問(wèn)題很難同時(shí)滿足以上所有前提條件，所有在工程中需要做一些近似處理。

兩圓柱軸線平行的接觸如圖6所示。當(dāng)兩圓柱沿素線相互接觸時(shí)，在接觸區(qū)域內(nèi)，滿足變形協(xié)調(diào)方程：

式中：ω為變形量之和;δ為未變形時(shí)接觸區(qū)域附近某點(diǎn)兩圓柱表面在y 軸方向上的距離。

這時(shí)相互接觸的兩圓柱在接觸區(qū)域內(nèi)的等效彈性模量 E 可以根據(jù)下面的公式計(jì)算l（x）[11]：

式中：E1和 E2分別為相互接觸的兩圓柱的彈性模量;v1和v2為泊松比。

接觸區(qū)域的曲率半徑 R 為：

式中：R1和 R2分別為相互接觸的圓柱的半徑。

接觸區(qū)域顯然是矩形，其半寬度 b 為[12]：

式中：P為外加載荷。

最終可以得到，在接觸區(qū)域內(nèi)，壓力p（x）為：

由于絕熱層粘接質(zhì)量對(duì)于粘接強(qiáng)度要求很低，所以纏繞壓力較小，接觸區(qū)域相較于壓輥以及芯模都非常小，壓輥與絕熱層的接觸可以較好地滿足Hertz接觸的假定條件。

3 纏繞壓力控制

3.1 芯模直段纏繞壓力分析

在芯模直段部分絕熱層纏繞成型過(guò)程中，由于壓輥與芯模之間復(fù)雜的空間關(guān)系，使得Hertz接觸理論不能夠直接使用。

考慮到真實(shí)纏繞情況比較類似于雙柱體線接觸形式，所以，可以沿壓輥軸線方向取一個(gè)小的微分段 dx，如圖7所示。

在該微分段內(nèi)，建立圖中的坐標(biāo)系，該該微分平面內(nèi)的擠壓變形量 δ 為：

式中： δm 為當(dāng)前微分平面內(nèi)壓輥進(jìn)入絕熱層的最大深度。

ρ1 為壓輥的曲率半徑：

ρ2 為絕熱層外表面的曲率半徑：

接觸區(qū)域的半寬度b為：

根據(jù)胡克定律，可得應(yīng)力 p（y） 分布為：

在微分平面內(nèi)， y =0位置的變形最大，該位置變形δm 為：

故最大應(yīng)力 pmax 為：

在微分面內(nèi)，對(duì)應(yīng)力p 進(jìn)行積分，可以求得膠帶在dx 微分平面內(nèi)的線壓力為：

得到線壓力 P 后，可以沿壓輥軸線方向上再次進(jìn)行積分，即可求得纏繞壓力 F：

最終得到壓輥在芯模直段纏繞時(shí)的壓力 F 可由下式進(jìn)行計(jì)算：

式中ρ滿足：

3.2 芯模變曲率部分纏繞壓力分析

以下分析基于壓輥位于芯模變曲率部分的位置 Tn，在正壓力面內(nèi)建立如圖8所示坐標(biāo)系。

絕熱層表面= （u， v）是芯模表面2= 2（u， v）向外等距 n ?h 得到的，而壓輥表面為 fx， y， z=0，此時(shí)接觸區(qū)域的邊界 g1（x， y， z）=0為：

接觸區(qū)域在xoz 平面上的投影邊界 g1（x， z）=0為：

式中： H（x， z）=0是包含接觸區(qū)域邊界 g1（x， y， z）=0的y 軸方向的柱面。

在 g1（x， z）=0所包圍的區(qū)域?yàn)?Sc 內(nèi)，當(dāng)正壓力面內(nèi)壓輥母線中點(diǎn)沿其支撐軸線壓入絕熱層深度達(dá)到δ0時(shí)，區(qū)域內(nèi)的表面變形分布為δ（x， z），則此時(shí)其應(yīng)力分布 q（x， z）為：

接下來(lái)計(jì)算纏繞壓力，由于應(yīng)力為離散數(shù)據(jù)，應(yīng)力積分便轉(zhuǎn)化為了離散區(qū)域的密集求和，將 Sc 區(qū)域進(jìn)行劃分，首先沿壓輥軸線均勻劃分為 k 列，每列劃分為 l 行，當(dāng) k 和 l 足夠大時(shí)，即可逼近真實(shí)纏繞壓力 F ，即：

式中：Snm 為第 n 列中的第 m 個(gè)單元的投影面積，且滿足Snm = Sc ;qnm 為該單元表面的應(yīng)力。

在實(shí)際纏繞過(guò)程中，纏繞壓力是纏繞恒壓系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)所需要的關(guān)鍵力學(xué)參數(shù)，通過(guò)壓力控制系統(tǒng)可以避免纏繞過(guò)程中由于意外情況而產(chǎn)生的壓力突變，保證纏繞成型質(zhì)量。

4 有限元仿真驗(yàn)證

4.1 有限元模型建立

為了驗(yàn)證前面所建立的纏繞壓力數(shù)學(xué)模型的正確性，需要使用 ABAQUS有限元仿真分析軟件。

在整個(gè)纏繞過(guò)程中，壓輥、膠帶與芯模所構(gòu)成的系統(tǒng)一直處于靜平衡狀態(tài)，可以簡(jiǎn)化為靜力學(xué)分析。壓輥與芯模的彈性模量相差了4個(gè)量級(jí)，可以將壓輥看作是剛體來(lái)簡(jiǎn)化仿真計(jì)算，提高計(jì)算效率。由于研究的是壓輥與絕熱層表面的之間的接觸，所以此時(shí)可以將芯模簡(jiǎn)化為絕熱層內(nèi)表面的固定約束，如圖9所示。

為了得到盡可能精確的計(jì)算結(jié)果，同時(shí)又不因此而浪費(fèi)大量的計(jì)算時(shí)間，對(duì)絕熱層的接觸區(qū)域的網(wǎng)格劃分地更加密集，將該區(qū)域的絕熱層網(wǎng)格單元寬度設(shè)置為0.2 mm ，如圖10所示。

4.2 仿真結(jié)果分析

在仿真分析過(guò)程中，通過(guò)建立首層纏繞以及第二層纏繞的仿真模型，分別計(jì)算了兩組模型中，壓輥母線中點(diǎn)沿其支撐軸線壓入絕熱層的深度與纏繞壓力之間的關(guān)系。

當(dāng)壓輥位于芯模直段部分纏繞時(shí)，在壓輥壓入絕熱層不同深度的情況下，有限元仿真得到的纏繞壓力值如表1所示。

當(dāng)壓輥位于芯模變曲率位置纏繞時(shí)，在壓輥壓入絕熱層不同深度的情況下，有限元仿真得到的纏繞壓力值如表2所示。

將有限元仿真結(jié)果與前面建立的纏繞壓力數(shù)學(xué)模型計(jì)算得到的曲線進(jìn)行對(duì)比，得到的纏繞壓力與變形量的關(guān)系如圖11所示。經(jīng)驗(yàn)證，通過(guò)數(shù)學(xué)模型計(jì)算出的纏繞壓力與仿真得到的纏繞壓力在壓輥纏繞情況工作范圍內(nèi)趨勢(shì)相同，且兩者的誤差較小，有實(shí)用價(jià)值，即可以在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)壓輥壓入絕熱層的深度得到較為準(zhǔn)確的纏繞壓力值。

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)纏繞過(guò)程中的絕熱層擠壓變形行為的研究，結(jié)合建立的芯模、絕熱層和纏繞壓輥的曲面模型，分析了絕熱層的擠壓變形規(guī)律，推導(dǎo)出絕熱層表面應(yīng)力分布情況，并基于Hertz接觸理論通過(guò)微積分方法計(jì)算得到了纏繞壓力，建立了纏繞壓力的數(shù)學(xué)模型。最后使用 ABAQUS進(jìn)行了有限元仿真，結(jié)果表明，基于Hertz接觸理論的纏繞壓力模型可以較好地描述纏繞壓力，從而驗(yàn)證了理論分析的正確性以及纏繞壓力數(shù)學(xué)模型的有效性。為絕熱層纏繞成型粘接質(zhì)量的控制以及軌跡規(guī)劃提供理論支撐，為恒壓控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了相關(guān)力學(xué)參數(shù)。

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第一作者簡(jiǎn)介：段鵬軒（1995-），男，碩士研究生，研究領(lǐng)域?yàn)闄C(jī)械工程。

※通訊作者簡(jiǎn)介：侯增選（1964-），男，教授，博士生導(dǎo)師，研究領(lǐng)域?yàn)樽詣?dòng)化纏繞成型工藝與裝備研制等。

（編輯：王智圣）