基于靈敏度分析的可靠性增長規(guī)劃優(yōu)化設計

李中生，秦紅星

(唐山學院 河北省智能裝備數字化設計及過程仿真重點實驗室，河北 唐山 063000)

0 引言

可靠性增長規(guī)劃是實施可靠性增長管理的重要依據，繪制可靠性增長規(guī)劃曲線是可靠性增長規(guī)劃的重要組成部分?？煽啃栽鲩L規(guī)劃曲線為可靠性測試提供了臨時的里程碑，用以判定可靠性增長測試方案是否合理。可靠性規(guī)劃曲線一般由可靠性增長規(guī)劃模型生成，可直觀地描述可靠性增長規(guī)劃的整個過程。

1956年，美國學者Weiss建立了一個理想化的可靠性增長過程數學模型，該模型是可靠性增長技術的雛形[1]。1964年，Duane提出了一種學習曲線方法，用于監(jiān)測機電系統的可靠性增長程度并預測其可靠性增長進程[2]。1970年Selby和Miller將Duane假設擴展為一種動態(tài)的規(guī)劃工具，可以根據事先設定的增長率預估系統在未來一段時間內的平均故障間隔時間(Mean Time Between Failure，MTBF)[3]?；陬A測方法的規(guī)劃模型(Planning Model Based On Projection Methodology，PM2模型)[4]是一種被廣泛使用的可靠性增長規(guī)劃模型，其主要特點是規(guī)劃曲線在任何給定的可靠性增長試驗持續(xù)時間內都能達到設定的可靠性目標值，從而獲得了試驗決策者的推崇。PM2模型是一種基于項目里程碑式的規(guī)劃模型，試驗管理部門通過制定必須實現的測試目標并充分利用現有的測試資源進而確定可靠性增長試驗的增長率。自2009年6月以來，PM2模型一直是美國陸軍產品開發(fā)測試計劃中的一項具體要求[5]。

國內外學者已經對可靠性增長規(guī)劃模型的固有參數開展了許多有價值的研究，如1990年美國的Ellner和Trapnell發(fā)布了一系列針對不同武器裝備和不同實驗條件下的總平均值為0.69的改進有效性系數(d)的參考值[6]；2013年Calomeris和Herbert指出，不同的試驗持續(xù)時間和系統初始MTBF值(Initial MTBF,MI)以及不同的目標MTBF值(Final MTBF,MF)都將生成不同形狀的規(guī)劃曲線[7]；2014年Crow指出，對于完全由新技術構成的武器系統，管理策略參數可以取較大的數值，如0.95，而對于在設計中使用原有技術的其他系統，管理策略參數應取較小的數值[8]；2015年Awad對系統的初始故障率展開了靈敏度分析[9]；2019年李中生等對PM2模型的多個參數進行了單參數靈敏度分析[10，11]。

現有文獻對PM2模型的規(guī)劃曲線與其兩個過程管理參數乘積之間的關系研究較少，而這兩個過程管理參數的乘積將直接決定可靠性增長試驗的成敗，為此本文研究了PM2規(guī)劃曲線與兩個過程管理參數乘積之間的關系，并推導出了這兩個參數乘積的通用取值范圍。

1 PM2模型和參數

PM2模型的各參數和數學表達式如下：

(1)d：改進有效性系數。d屬于可靠性增長試驗的過程管理參數，表征糾正措施的有效程度，其取值范圍一般為[0.6，0.8]。

(2) MS：管理策略，也屬于過程管理參數。MS是指系統的B類故障率與系統的初始故障率之比，常用取值范圍為[0.7，0.95]。其中B類故障是指如果在可靠性增長試驗中發(fā)生，則被確定為需要進行糾正的那些系統性故障。相反地，即使在可靠性增長試驗中被發(fā)現也不進行糾正的系統性故障及所有的殘余性故障，稱為A類故障。且有：

(1)

其中：λA為A類故障所導致的系統失效率；λB為B類故障所導致的系統失效率。

(3)MI：系統的初始平均故障間隔時間，表示為：

(2)

其中：λI為系統的初始失效率。

(4)MF：系統經歷可靠性增長試驗后最終可實現的平均故障間隔時間，屬于試驗設計參數。

(5)MGP(Growth Potential，GP)：系統可實現的最大平均故障間隔時間，表示為：

(3)

(6) GPDM(Growth Potential Design Margin)：系統的增長潛力比,表示為：

(4)

由于測試時間和成本的限制，MF的值通常會小于MGP值。根據歷史經驗，GPDM的最大值約為1.5。根據式(3)和式(4)，單次可靠性增長試驗增長率(MF/MI)的取值范圍約為[1.5，3.0]。如果要求的試驗增長率超出此范圍，則可靠性增長試驗應分階段進行。

(7)λ(t)：系統在時間t(t為測試持續(xù)時間)時的預期失效強度,表示為：

λ(t)=λA+(1-d)λB+d·h(t).

(5)

其中：h(t)為新的B類故障在時間t內發(fā)生的概率,對于PM2模型，其定義式為：

(6)

其中：βPM2為hPM2(t)的形狀參數,且有：

(7)

其中：T為參數，表示可靠性增長試驗設計持續(xù)時間，屬于試驗設計參數。聯合式(5)～式(7)可得：

(8)

聯合式(1)和式(2)可得：

(9)

對于一個給定的目標值，式(8)可轉換為：

(10)

顯然有d·MS·MF-(MF-MI)>0，即：

(11)

對式(10)進行化簡可得：

(12)

式(12)表明，對于PM2模型，無論過程管理參數d和MS取何值，只要測試持續(xù)時間t等于試驗設計持續(xù)時間T,試驗目標總能夠達到。

2 參數靈敏度分析

2.1 試驗設計持續(xù)時間靈敏度分析

假設某待測試系統的初始平均故障間隔時間MI為100 h,目標平均故障間隔時間MF為150 h,且兩個管理參數的乘積(d·MS)為0.7。令可靠性增長試驗設計持續(xù)時間T分別等于9 000 h、10 000 h、11 000 h、12 000 h，依據式(10)可得可靠性增長規(guī)劃曲線,如圖1所示。

由圖1可見，可靠性增長測試將在T=9 000 h結束；可靠性增長測試將在T=10 000 h時達到目標值；可靠性增長測試將在T=11 000 h時達成目標；可靠性增長測試將在T=12 000 h時達到預期值，即參數T作為一個重要的主觀輸入的試驗設計參數，將決定可靠性增長試驗何時結束以及何時滿足試驗預期。

2.2 單次增長率為1.5時的參數靈敏度分析

假定某系統的初始平均故障間隔時間MI為100 h，目標平均故障間隔時間MF為150 h，且試驗設計持續(xù)時間T=10 000 h。令(d·MS)分別等于0.33、0.34、0.54、0.74，由式(10)可得可靠性增長規(guī)劃曲線，如圖2所示。

由圖2可見，兩個過程管理參數的乘積d·MS對可靠性增長規(guī)劃曲線有很大的影響，d·MS=0.34時的規(guī)劃曲線描述了在可靠性增長試驗過程中，由于對所發(fā)生故障持續(xù)地整改，系統由初始的失效率逐步增長到目標失效率的過程；d·MS=0.33時的規(guī)劃曲線描述了在可靠性增長試驗過程中，系統的失效率由初始失效率急速增長為無窮大，之后突變到無窮小，然后逐漸增長到目標失效率，這表明在特定的試驗條件下，兩個過程管理參數的乘積d·MS存在最小值。對于本例由式(11)可得最小值為1/3，即d·MS的值需大于此最小值，否則可靠性增長試驗的結果不能滿足目標值。

2.3 單次增長率為2.0時的參數靈敏度分析

令某系統的初始平均故障間隔時間MI為100 h,目標平均故障間隔時間MF為200 h,試驗設計持續(xù)時間T為10 000 h。d·MS分別取0.49、0.51、0.71、0.91，據式(10)可得可靠性增長規(guī)劃曲線，如圖3所示。

同理，當d·MS=0.49時可靠性增長規(guī)劃試驗的規(guī)劃曲線無法用常理解釋。對于本例由式(11)可得d·MS最小值為1/2，即d·MS的值必須大于此最小值。

2.4 單次增長率為3.0時的參數靈敏度分析

令某系統的初始平均故障間隔時間MI為100 h,目標平均故障間隔時間MF為300 h,且試驗設計持續(xù)時間T為10 000 h。d·MS分別取0.66、0.67、0.77、0.87，據式(10)可得可靠性增長規(guī)劃曲線，如圖4所示。

圖1 不同參數T對應的 圖2 增長率為1.5時不同 圖3 增長率為2.0時不同 圖4 增長率為3.0時不同 可靠性增長規(guī)劃 d·MS值對應的可靠性增長 d·MS值對應的可靠性增長 d·MS值對應的可靠性增長 曲線 規(guī)劃曲線 規(guī)劃曲線 規(guī)劃曲線

對于本例由式(11)可得最小閾值為2/3，即d·MS的值必須大于此最小值，否則可靠性增長試驗的結果不能滿足可靠性增長規(guī)劃的目標值。

3 實例

某公司擬對現有的機械手系統開展可靠性增長試驗，以增加其使用可靠性和平均故障間隔時間，試驗設計參數和過程管理參數由項目管理部門確定，原始可靠性增長規(guī)劃數據見表1。

表1 原始可靠性增長規(guī)劃數據

經過漫長的可靠性試驗后，質檢部門發(fā)現實際平均故障間隔時間并未達到目標值，為此公司組織開展原因分析，但始終找不到根本原因。作者按式(11)對此次可靠性增長試驗做如下判別：

d·MS=0.48<1-MI/MF=0.53.

即兩個過程管理參數乘積d·MS的取值不合理。隨后提出兩種改進方案：①公司需提高過程管理參數MS到0.9，要求公司加大B類故障的認定比例，并按照公司一貫的改進有效性系數d對試驗過程中所發(fā)生的B類故障進行改進；②公司需提高過程管理參數d到0.7，即公司需提高對B類故障的改進手段。

圖5為按照原始的試驗過程管理參數繪制的可靠性增長規(guī)劃曲線。在可靠性增長試驗開始后，系統的MTBF由初始值(MI=47 h)先緩慢而后急速減小為負無窮大，之后突變到正無窮大，然后先急速而后緩慢降低到目標值(MF=100 h)，系統MTBF突變的時間點約為t=1 451.5 h。這種不合理現象是由于式(10)的分母為負數所致。

圖5 原測試方案的可靠性增長規(guī)劃曲線

表2為方案修改后的可靠性增長試驗規(guī)劃數據。圖6為改進后的可靠性增長規(guī)劃曲線。

表2 修改后的規(guī)劃數據

由圖6可知，在整個可靠性增長試驗過程中，方案1的即時MTBF值總是大于方案2的即時MTBF值，因此如果兩種方案都能滿足要求，則建議優(yōu)先選擇方案1。

圖6 改進測試方案后的可靠性增長規(guī)劃曲線

4 結論

本文對PM2模型的參數開展了靈敏度分析，發(fā)現對于既定的測試方案，兩個過程管理參數的乘積 (d·MS) 均存在取值下限。基于此，本文推導了其通用的取值范圍，并通過實例驗證了取值范圍的有效性。根據研究，可以得出以下結論：

(1) PM2模型的兩個過程管理參數的乘積，對于可靠性增長規(guī)劃有很大的影響。

(2) 對于每一個既定的可靠性增長規(guī)劃測試方案，PM2模型的兩個過程管理參數的乘積均有一個確定的取值范圍，如果實際值脫離此范圍，將導致可靠性增長規(guī)劃測試失敗。

(3) 通過預先判斷PM2模型的參數取值，可以降低未達成測試目標的風險。即如果發(fā)現兩個過程管理參數的乘積小于其取值下限，則應在可靠性增長試驗開始前予以調整。