結(jié)合閾值法和模極大值法的沖擊加速度信號(hào)降噪

卿 濤，丁問司

(華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510640)

0 引言

交變沖擊機(jī)構(gòu)的沖擊性能考核主要是測(cè)定沖擊能和沖擊頻率，因此得到?jīng)_擊機(jī)構(gòu)在整個(gè)工作周期中的運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化(沖擊活塞的速度曲線和位移曲線)是測(cè)定沖擊性能指標(biāo)的關(guān)鍵。國(guó)內(nèi)外常用應(yīng)力波法、觸點(diǎn)法、非接觸式光電位移微分法、高速攝影法、示功圖法和氣壓法等[1]對(duì)交變沖擊機(jī)構(gòu)的沖擊性能進(jìn)行測(cè)試，但是上述的測(cè)試方法都是間接對(duì)沖擊機(jī)構(gòu)的速度和位移進(jìn)行測(cè)定。目前對(duì)于速度和位移的測(cè)量已經(jīng)出現(xiàn)了很多新方法和相關(guān)精密儀器，然而在實(shí)際的應(yīng)用過程中，還是存在各種各樣的問題。

小波變換廣泛應(yīng)用于非平穩(wěn)信號(hào)的處理領(lǐng)域，具有低熵性、多分辨分析、去相關(guān)性等特點(diǎn)[2]。目前，小波降噪方法主要有空域相關(guān)降噪法、模極大值降噪法和閾值降噪法。其中小波模極大值方法的難點(diǎn)是如何確定一個(gè)合適的搜索區(qū)間，并且采用交替投影算法重構(gòu)小波系數(shù)具有執(zhí)行效率慢、不穩(wěn)定等問題。小波閾值方法在信噪比較低的場(chǎng)合去噪效果不明顯，而且會(huì)保留非信號(hào)傳播路徑上的高頻噪聲。文獻(xiàn)[3]分別使用小波模極大值方法和小波閾值法對(duì)液壓沖擊器的沖擊加速度信號(hào)進(jìn)行降噪，這兩種方法只處理了其中的高頻噪聲，沒有將分形噪聲引起的低頻漂移現(xiàn)象考慮進(jìn)去。在利用微機(jī)電加速度計(jì)對(duì)交變沖擊機(jī)構(gòu)的測(cè)試過程中，所獲取的信號(hào)常常包含加速度計(jì)本身傳感軸的偏移誤差、自身的電路噪聲以及外界的干擾噪聲。而其中含有的分形噪聲會(huì)引起交變沖擊加速度信號(hào)慢漂移，可歸屬為低頻噪聲[4]。

考慮到后續(xù)移動(dòng)端APP去噪算法編碼的難易和已有算法存在的問題，本文利用閾值降噪法來改善模極大值法降噪過程中模極大值點(diǎn)搜索效率低的問題，并利用分段埃爾米特插值重構(gòu)算法[5]重構(gòu)小波系數(shù)來降低算法的時(shí)間復(fù)雜度和提高算法的魯棒性。

1 小波模極大值去噪原理

若有一個(gè)函數(shù)f(x)在x0附近滿足式(1)[6],則稱α為函數(shù)f(x)在x0處的李氏指數(shù)，即：

|f(x0+h)-pn(x0-h)|≤t|h|α.

(1)

其中：pn(x0-h)為一個(gè)過f(x0+h)的n次多項(xiàng)式；h為充分小量；t為常數(shù)。

李氏指數(shù)α表示函數(shù)在某一點(diǎn)處的奇異性， 并且α越大函數(shù)在該點(diǎn)處的奇異性越?。沪猎叫『瘮?shù)在該點(diǎn)處的光滑度越差。

設(shè)小波函數(shù)為Ψ(x)并且連續(xù)可微，如果在x0點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)對(duì)函數(shù)f(x)任意尺度內(nèi)的小波變換存在k>0常數(shù)，使得對(duì)所有x0點(diǎn)鄰域內(nèi)的小波變換滿足不等式(2)，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有一致的李氏指數(shù)：

|Wsf(x)|≤ksα.

(2)

其中:s為尺度;Ws為小波變換。

對(duì)式(2)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，化簡(jiǎn)得到信號(hào)f(x)的李氏指數(shù)與小波變換的模極大值關(guān)系：

log2|Wsf(x)|≤log2k+αlog2s.

(3)

當(dāng)進(jìn)行二進(jìn)離散小波變換時(shí)，s=2j(j為小波變換尺度)，則式(3)變?yōu)椋?/p>

log2|W2jf(x)|≤log2k+jα.

(4)

在式(4)中，小波變換尺度j與李氏指數(shù)α以乘積jα的形式出現(xiàn)，從而可以得出小波變換模極大值隨尺度j或李氏指數(shù)α變化的規(guī)律。對(duì)于常用信號(hào)，當(dāng)α>0時(shí)，分解尺度的增大會(huì)使模極大值也變大；α<0時(shí),分解尺度的減小會(huì)使模極大值也變小。對(duì)于噪聲而言，其所對(duì)應(yīng)的α一般小于0，因此信號(hào)和噪聲在小波變換的各尺度上存在截然相反的傳播特性，從而達(dá)到對(duì)信號(hào)降噪的目的。

2 閾值降噪方法

小波閾值去噪方法的關(guān)鍵是如何選取閾值規(guī)則以及閾值量化函數(shù)。目前閾值的選取有以下4種方案[7]：固定閾值、Stein無偏似然估計(jì)閾值、混合型閾值和最大最小閾值。從所研究的信號(hào)出發(fā)，選擇合適的閾值方案和閾值函數(shù)對(duì)小波系數(shù)做門限閾值處理。硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)分別為：

(5)

(6)

其中：y為處理后的小波系數(shù)；x為小波分解系數(shù)；λ為閾值。

與硬閾值函數(shù)相比，軟閾值函數(shù)會(huì)對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮，存在恒定偏差，因此軟閾值函數(shù)降噪會(huì)丟失奇異點(diǎn)，并且對(duì)信噪比較低的信號(hào)降噪效果不明顯。根據(jù)實(shí)測(cè)的加速度信號(hào)可知，信號(hào)的奇異性較大，為了更好地保留信號(hào)中的奇異性，本文選用硬閾值函數(shù)對(duì)小波系數(shù)做門限閾值處理。

借鑒文獻(xiàn)[8]，本文采用改進(jìn)的變閾值策略：首先確定最大尺度J上的門限閾值為T0=C·M/J(C根據(jù)信號(hào)的實(shí)際情況進(jìn)行賦值，M為當(dāng)前尺度上全部模極大值中的最大值)，保留大于等于最大尺度上閾值的模極大值，將小于最大尺度上閾值的模極大值置零。在1～(J-1)分解尺度上將門限閾值設(shè)置為T0=C·M2/ln(j+1)，采用硬閾值函數(shù)量化小波系數(shù)。

3 重構(gòu)信號(hào)的降噪方法

根據(jù)采用硬閾值函數(shù)以及自適應(yīng)閾值規(guī)則改進(jìn)小波模極大值點(diǎn)搜索的思路，本文提出的降噪方法具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1) 對(duì)實(shí)測(cè)含噪信號(hào)序列{f(ni),i>0}做多尺度二進(jìn)小波變換，求出不同尺度上的小波系數(shù)序列。

(3) 在尺度j=J-1上尋找尺度J上模極大值點(diǎn)

(4) 重復(fù)步驟(3)，直到尺度j=2為止。

(5) 在最小尺度上保留相鄰高尺度上模極大值點(diǎn)位置處大于閾值的極值點(diǎn)，從而得到最小尺度上的模極大值點(diǎn)。

圖1 本文提出的小波降噪算法流程

4 仿真實(shí)驗(yàn)與工程應(yīng)用

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)

選用MATLAB中具有沖擊特征的Bumps信號(hào)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)為1 024個(gè)，采樣時(shí)間為1 s。向原始Bumps信號(hào)中添加分形噪聲[10]、白噪聲和脈沖噪聲，因此輸入信號(hào)可以用以下的方程來表示：

f(n)=s(m)+h(m)+w(m).

(7)

其中:s(m)為原始信號(hào)；h(m)為分形噪聲；w(m)為高斯白噪聲。

本文選用db6小波，分解層數(shù)為3層，采用前文所述的閾值選取規(guī)則，依次使用普通模極大值降噪法、文獻(xiàn)[11]中提出的基于SURE自適應(yīng)閾值的模極大值降噪方法和本文方法對(duì)如圖2(a)所示的含噪Bumps信號(hào)進(jìn)行降噪處理，所得的效果如圖2(b)～圖2(d)所示。

圖2 多種方法對(duì)含噪Bumps信號(hào)的降噪結(jié)果

由圖2(b)可以看出，普通模極大值降噪法在t=0.53 s附近出現(xiàn)尖峰，在t=0.68 s和t=0.97 s附近出現(xiàn)信號(hào)重疊；由圖2(c)可以看出，文獻(xiàn)[11]降噪方法在第5個(gè)突變點(diǎn)處的信號(hào)沒有其他算法那么光滑；由圖2(d)可知，本文降噪法具有更好的光滑性，較好地保留了信號(hào)中的奇異性。

通過比較均方根誤差(RMSE)和信噪比(SNR)的大小可以直觀地判斷算法的降噪效果，均方根誤差和信噪比的計(jì)算公式如下：

(8)

(9)

計(jì)算得到的三種降噪算法的均方根誤差和信噪比見表1。

表1 三種降噪算法的均方根誤差和信噪比比較

根據(jù)表1可以得出本文方法的均方根誤差明顯要低于其他兩種方法，并且信噪比也要優(yōu)于其他兩種方法，證明本文降噪法的去噪性能有所提升。

各降噪法執(zhí)行環(huán)境一致，用執(zhí)行時(shí)間來表征算法的執(zhí)行效率，將各算法分別執(zhí)行10次，取平均值作為最終執(zhí)行時(shí)間。不同含噪信號(hào)三種降噪算法從開始處理信號(hào)到運(yùn)行結(jié)束的執(zhí)行時(shí)間見表2。將文獻(xiàn)[11]降噪法與普通降噪法的執(zhí)行時(shí)間相比較，可知閾值規(guī)則以及量化函數(shù)的選取可以提高搜索效率，從而減少執(zhí)行時(shí)間；將本文降噪法與文獻(xiàn)[11]方法的執(zhí)行時(shí)間相比較，可知使用分段埃爾米特插值重構(gòu)算法比使用交替投影重構(gòu)算法的執(zhí)行效率快。

表2 不同含噪信號(hào)三種降噪算法執(zhí)行時(shí)間比較

4.2 工程應(yīng)用

本文選擇交變液壓沖擊器作為被測(cè)對(duì)象，采用微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)加速度傳感器作為測(cè)量元件搭建測(cè)試系統(tǒng)。某次實(shí)驗(yàn)采集到的實(shí)測(cè)沖擊加速度信號(hào)如圖3(a)所示，在所選小波基函數(shù)和分解層數(shù)相同的情況下，分別使用本文降噪法、普通降噪法和文獻(xiàn)[11]降噪法對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪處理，降噪效果如圖3(b)～圖3(d)所示。比較圖3(b)～圖3(d)可知，本文降噪法較好地保存了沖擊信號(hào)的能量，與其他兩種降噪法相比沖擊特征也更為明顯，并且本文降噪法相比其他兩種方法具有更好的降噪性能，提高了執(zhí)行效率。

圖3 不同降噪法的去噪效果

5 結(jié)論

本文根據(jù)小波硬閾值降噪法、小波模極大值降噪法和分段埃爾米特插值重構(gòu)算法各自具有的優(yōu)點(diǎn)，將它們結(jié)合起來，得到了一種結(jié)合閾值法和模極大值法的新去噪方法。在仿真實(shí)驗(yàn)和工程應(yīng)用中，與其他降噪算法的降噪效果進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)果表明，本文方法降噪效果更好，執(zhí)行效率更高，計(jì)算更加穩(wěn)定，有利于提高后續(xù)速度積分和位移積分的精度，并且算法時(shí)間復(fù)雜度的降低和魯棒性的提升為移動(dòng)端APP實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)在線處理和分析奠定了基礎(chǔ)，有利于實(shí)現(xiàn)沖擊機(jī)構(gòu)控制的智能化。