偏最小二乘法在傳感器誤差補(bǔ)償中的應(yīng)用

徐建忠 張彥超 李永生 于廣浩 蘇奎

摘 要：在實(shí)際測(cè)量中由于濕度溫度等不確定性使得傳感器數(shù)據(jù)出現(xiàn)無法避免的隨機(jī)性誤差。為了減小誤差，一種快捷簡便的處理方式是使用最小二乘法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸修正。線性補(bǔ)償?shù)姆绞侥芙鉀Q很多傳感器測(cè)量對(duì)于噪聲等隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)的誤差，但通常測(cè)量數(shù)據(jù)的實(shí)際函數(shù)本身都是非線性的，用線性函數(shù)來模擬非線性的測(cè)量數(shù)據(jù)往往會(huì)出現(xiàn)精度不足的問題。為此，本文設(shè)計(jì)了一種增加自變量階次及變量系數(shù)的方式來提高補(bǔ)償精度，由于增加的變量系數(shù)可能導(dǎo)致多重相關(guān)性等問題，改用單因變量偏最小二乘法來建立補(bǔ)償模型。

關(guān)鍵詞：傳感器數(shù)據(jù);數(shù)據(jù)補(bǔ)償;偏最小二乘

中圖分類號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2021.02.022

本文著錄格式：徐建忠，張彥超，李永生，等.偏最小二乘法在傳感器誤差補(bǔ)償中的應(yīng)用[J].軟件，2021，42（02）：075-077

Application of Partial Least Squares in Sensor Error Compensation

XU Jianzhong， ZHANG Yanchao， LI Yongsheng， YU Guanghao， SU Kui

（Mudanjiang Medical University， Mudanjiang? Heilongjiang? 157011）

【Abstract】：In practice， uncertainties such as humidity and temperature cause unavoidable random errors in the sensor data. In order to reduce the error， a quick and easy way to deal with it is to use the least squares method to correct the data by linear regression. The linear compensation method can solve many sensor measurement errors for random phenomena such as noise， but usually the actual function of the measurement data itself is nonlinear， and using a linear function to simulate nonlinear measurement data often results in a lack of accuracy. For this reason， this paper designs a way to increase the order of independent variables and variable coefficients to improve the compensation accuracy， and because the increased variable coefficients may lead to problems such as multiple correlations， a single dependent variable partial least squares method is used instead to build the compensation model.

【Key words】：sensor data;least square;data compensation

由于傳感器本身屬性或者濕度、溫度、噪聲等影響，傳感器在測(cè)量中不可避免的發(fā)生隨機(jī)誤差[1-2]。現(xiàn)今傳感器的數(shù)據(jù)補(bǔ)償方式主要分為硬件補(bǔ)償與軟補(bǔ)償（數(shù)字補(bǔ)償）兩大類[3-4]。前一種方式為改進(jìn)傳感器工藝、提高精度或通過對(duì)測(cè)量電路與軟補(bǔ)償各自的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行綜合以達(dá)進(jìn)行優(yōu)化來達(dá)到對(duì)傳感器測(cè)量數(shù)據(jù)補(bǔ)償[5]。后一種方式則通過智能算法-包括數(shù)值分析或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)等方式對(duì)采集數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸[6]。亦可以綜合硬件補(bǔ)償?shù)教岣呔_測(cè)量的目的[7]。

基于最小二乘方法的回歸補(bǔ)償由于其可適用范圍廣、建模簡單、操作方便等特性現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于各式傳感器的軟補(bǔ)償方式中[8-10]。當(dāng)傳感器輸入輸出函數(shù)為線性且測(cè)量誤差完全隨機(jī)且呈正態(tài)分布時(shí)根據(jù)Gauss-Markov定理，由最小二乘法求得的補(bǔ)償函數(shù)是實(shí)際函數(shù)的無偏估計(jì)。然而現(xiàn)實(shí)狀態(tài)下很難保證實(shí)際函數(shù)一定為線性關(guān)系，測(cè)量誤差亦不一定完全呈正態(tài)分布。為了解決實(shí)際函數(shù)可能存在非線性時(shí)存在的誤差性，本文探討增加自變量階次及變量系數(shù)的方式來提高補(bǔ)償精度。理論上只要n足夠大，那么n階多項(xiàng)式可以表示任意自由函數(shù)。那么只要自變量的階次增加的足夠多，就可以在數(shù)據(jù)補(bǔ)償中提高更多精度。但階次的增加導(dǎo)致了系數(shù)項(xiàng)的增加，當(dāng)采集樣本數(shù)不足時(shí)可能引起多重相關(guān)性等問題。為解決此類問題文中采用了偏最小二乘法來建立求解模型從而消去無關(guān)項(xiàng)，從而減小誤差。

1基于最小二乘的傳感器數(shù)據(jù)誤差的線性補(bǔ)償方法

設(shè)傳感器有輸入值矩陣X（Xn×p），輸出值矩陣Y（Yn×1），真實(shí)函數(shù)關(guān)系式可表示為Y=f（X），其中n為輸入和輸出測(cè)量值個(gè)數(shù)，p為輸入變量總數(shù)。在實(shí)際測(cè)量中由于環(huán)境濕度溫度等隨機(jī)因素造成的誤差矩陣記為ε（εn×1），于是有Y=f（X）+ε。當(dāng)f相對(duì)于參數(shù)為近似線性關(guān)系且近似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時(shí)，有近似補(bǔ)償函數(shù)關(guān)系式Y(jié)n×1=Xn×（p+1）B（p+1）×1+εn×1。此時(shí)補(bǔ)償函數(shù)f的系數(shù)矩陣B（p+1）×1=[β0 β1 &βp]T，（β0，β1，β2，…，βp）為f對(duì)應(yīng)的線性系數(shù)。此時(shí)輸入值矩陣X可以表示為

。

記B（p+1）×1的待估值為，由最小二乘法Y與估值

的平方和應(yīng)最小，即，既。對(duì)前式左側(cè)展開并求的偏導(dǎo)數(shù)可得：

（1）

2現(xiàn)實(shí)建模中出現(xiàn)的問題和一種改進(jìn)方式

理想狀態(tài)下當(dāng)給出傳感器的n組觀測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，由式1可求出線性補(bǔ)償模型的回歸系數(shù)，然后根據(jù)回歸方程求得修正輸出。由最小二乘法建立的線性補(bǔ)償模型需滿足以下基本假設(shè)：（1）輸入變量之間沒有明顯的線性相關(guān)性。（2）實(shí)際函數(shù)為線性函數(shù)。（3）誤差獨(dú)立并且隨機(jī)。

在現(xiàn)實(shí)測(cè)量中一般只能觀測(cè)到各個(gè)輸入量和輸出量的數(shù)據(jù)集，而并不清楚具體的模型函數(shù)關(guān)系。即不知道究竟函數(shù)是線性還是非線性的，通常只能通過估計(jì)來假設(shè)函數(shù)關(guān)系為線性關(guān)系。根據(jù)Weierstrass逼近定理，在閉區(qū)間上任一個(gè)連續(xù)函數(shù)都可用m次多項(xiàng)式進(jìn)行逼近，只要m足夠大。本文利用上述定理的基本思想對(duì)基于最小二乘方法的線性補(bǔ)償模型進(jìn)行改進(jìn)，通過增加自變量階次及變量系數(shù)的方式來提高補(bǔ)償精度。

現(xiàn)假設(shè)傳感器有輸入與輸出關(guān)系為y=f（Xp）.建立的線性補(bǔ)償模型為y=β0+β1x1+β2x2+…+βpxp+ε。通過逼近定理可以提高自變量的階次，當(dāng)階次提高為2時(shí)有

y=β0+β01x1+…+β0pxp+β11x12+…+βppxp2+β12x1x2+…β（p-1）px（p-1）xp+ε? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

通過變量代換亦可以表示為：y=β0+β1'x'1+β2'x'2+…βm'x'm+ε，在本質(zhì)上依然等同于

y=β0+β1x1+β2x2+…+βpxp+ε? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

當(dāng)階次m足夠大，甚至階次提高后各項(xiàng)系數(shù)總和逼近于觀測(cè)數(shù)n時(shí)，可以直接求解n元線性方程，此時(shí)補(bǔ)償函數(shù)通過了每個(gè)觀測(cè)值點(diǎn)。但由于增加了過多的變量系數(shù)導(dǎo)致了將隨機(jī)誤差也當(dāng)成真實(shí)函數(shù)來處理，這樣建立的模型并不能真實(shí)的反映出實(shí)際函數(shù)，對(duì)函數(shù)輸出值也沒有任何誤差補(bǔ)償。同時(shí)增加的階次又帶來了嚴(yán)重的線性相關(guān)性問題，由于增加的額外項(xiàng)并不一定能夠真實(shí)反映實(shí)際函數(shù)，因此本文利用偏最小二乘法消除無關(guān)項(xiàng)來解決線性相關(guān)性和系數(shù)總和可能大于等于數(shù)據(jù)項(xiàng)所帶來的問題。

3偏最小二乘法解決傳感器數(shù)據(jù)誤差補(bǔ)償

3.1解決問題的基本思路

首先通過最小二乘法建立數(shù)據(jù)補(bǔ)償模型并通過（1）式求解相應(yīng)系數(shù)，將得到的數(shù)據(jù)誤差補(bǔ)償模型進(jìn)行誤差的精度驗(yàn)證，如果精度滿足則停止，否則增加階次。在增加階次的同時(shí)進(jìn)行變量代換將形如（2）式的各項(xiàng)變?yōu)椋?）式的形式。對(duì)變換后的（3）式對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化并代入標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)應(yīng)用偏最小二乘法進(jìn)行主成分分析、典型相關(guān)分析，建立回歸模型消除無關(guān)項(xiàng)。進(jìn)行誤差判別，如果精度在合理范圍內(nèi)則保留合適的項(xiàng)作為自變量同時(shí)獲得相應(yīng)的系數(shù)并代換為原來的模型形式，如果誤差不夠則繼續(xù)提高階次。算法的流程圖如圖1所示。

3.2數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化

數(shù)據(jù)的中心化即通過平移變換將變換的坐標(biāo)中心平移到樣本點(diǎn)集的重心，這樣可以使計(jì)算簡便同時(shí)不會(huì)改變變量間的相關(guān)性。數(shù)據(jù)的壓縮則是使每個(gè)變量的方差均為1，這樣可以消除變量的量綱效應(yīng)，使得每個(gè)變量的量綱都相同。數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化即同時(shí)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行中心化和數(shù)據(jù)的壓縮處理。設(shè)有矩陣X=（xij）n×p，對(duì)其中每個(gè)元素，其中i=1，2，…，n，j=1，2，…， p，是xj的均值，sj是xj的方差。通過數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化變換可將輸入矩陣X和輸出矩陣Y變?yōu)镋0=（xij*）n×p，F(xiàn)0=（yi*）n×1。

3.3偏最小二乘法求解方法

當(dāng)輸入矩陣X和輸出矩陣Y通過數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化變換為E0和F0后，則首先從E0和F0中抽取第一個(gè)成分t1和u1，t1是x1，x2，…xp的線性組合，由于是單輸出因此u1=F0。此t1和u1應(yīng)更多攜帶各自數(shù)據(jù)中的特異性，并使得t1和u1的相關(guān)程度能夠達(dá)到最大，在公式中即t1和u1的協(xié)方差最大，同時(shí)t1和u1各自的方差最大。

設(shè)有t1=E0w1，根據(jù)拉格朗日簡化算法有w1=E0TF0/ ‖E0TF0‖。于是可以建立E0對(duì)t1的回歸方程，p1=（E0T t1）/‖t1‖2，E0=E1+t1p1t.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

根據(jù)（4）式可求得E1和F1，然后用E1和F1取代E0和F0進(jìn)行迭代。直至交叉滿足條件為止。

圖2使用最小二乘法與改進(jìn)偏最小二乘法對(duì)比

Fig.2 Comparison of least squares and modified partial least squares

4實(shí)驗(yàn)分析

為便于實(shí)驗(yàn)并呈現(xiàn)直觀的二維坐標(biāo)觀察效果現(xiàn)拿電壓傳感器的一組單一輸入與輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試，當(dāng)電壓逐漸增大時(shí)傳感器輸入電壓和輸出平均觀測(cè)值如表1中所示。

從圖2中可以直觀感覺出采用最小二乘法和采用改進(jìn)的增加階次的偏最小二乘法的區(qū)別。當(dāng)采用最小二乘法進(jìn)行線性補(bǔ)償時(shí)擬合為一條直線，當(dāng)增加階次到2后的擬合曲線更能反映真實(shí)點(diǎn)，擬合效果更好。

5結(jié)語

為了形象直觀文中采用了單輸入單輸出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，但算法同樣適用于多輸入單輸出的數(shù)據(jù)補(bǔ)償。從實(shí)驗(yàn)可以看出適當(dāng)增加階次可以更好的擬合補(bǔ)償數(shù)據(jù)。為解決增加階次帶來的線性相關(guān)性和數(shù)據(jù)樣本過少，采用偏最小二乘方法來替代最小二乘法不失為一種有效的方式。

結(jié)果表明采用基于偏最小二乘法的改進(jìn)方法可以對(duì)傳感器誤差補(bǔ)償起到較好的效果。

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