以動(dòng)馭靜：“圖形與幾何”教學(xué)策略例談

【摘? ?要】在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)中，要培養(yǎng)學(xué)生“運(yùn)動(dòng)變化”的圖形意識(shí)和思維習(xí)慣，培養(yǎng)空間觀念。為此可采用以下教學(xué)策略：動(dòng)態(tài)研究臨界圖形;動(dòng)態(tài)研究“定格”圖形;動(dòng)態(tài)展示圖形的演變和“形成過(guò)程”;探索圖形網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系，動(dòng)態(tài)剖析“圖形轉(zhuǎn)化”。

【關(guān)鍵詞】動(dòng)態(tài);圖形與幾何;教學(xué);策略

學(xué)生在計(jì)算表面積、體積等時(shí)，往往只是記憶靜態(tài)的公式，不會(huì)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行動(dòng)態(tài)想象，在進(jìn)行幾何形體的現(xiàn)實(shí)原型與它們的特征之間“刺激—反應(yīng)（聯(lián)想）”時(shí)存在障礙。教師在“圖形與幾何”教學(xué)中雖然也注重學(xué)具操作，但很少讓學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的眼光觀察圖形，很少引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖并在各種背景中識(shí)別基本圖形，導(dǎo)致學(xué)生不能動(dòng)態(tài)地想象出改造后的圖形，“文圖轉(zhuǎn)譯”存在困難。

“以動(dòng)馭靜”是指用“運(yùn)動(dòng)變化”的觀點(diǎn)看待靜止的圖形，利用平移、旋轉(zhuǎn)和分割等方式對(duì)圖形進(jìn)行改造，形成新圖形，并進(jìn)行有效聯(lián)想，構(gòu)建圖形之間的關(guān)聯(lián)，借以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)態(tài)想象能力和空間觀念，其教學(xué)策略舉例如下。

一、探究圖形屬性——?jiǎng)討B(tài)研究“臨界圖形”

“臨界圖形”指的是靜止圖形通過(guò)某種運(yùn)動(dòng)形成的特殊圖形。如梯形的底邊在運(yùn)動(dòng)時(shí)形成上底為0或上下底相等的特殊圖形。

如在“平面圖形面積復(fù)習(xí)”的教學(xué)中，可以出示問(wèn)題：高是4cm，面積是12cm2的梯形有哪些？梯形在上底變小、下底變大的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)“臨界”圖形“三角形”;在上底變大、下底變小的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)“臨界”圖形“平行四邊形”。因此可以用梯形面積公式計(jì)算三角形面積和平行四邊形面積：（0+6）×4÷2=12，（3+3）×4÷2=12。在兩個(gè)“臨界點(diǎn)”，即上底為0時(shí)和上下底相等時(shí)，讓學(xué)生通過(guò)“觀察→想象→比較研究‘臨界圖形”這一過(guò)程，把握不同圖形之間的共同性質(zhì)。由于“臨界圖形”不屬于梯形，學(xué)生在厘清面積與長(zhǎng)度變量之間的關(guān)系后就能回答有哪些梯形的問(wèn)題。

二、辨析圖形本質(zhì)——?jiǎng)討B(tài)研究“定格”圖形

“定格”圖形指的是靜止圖形在某個(gè)運(yùn)動(dòng)中瞬間的狀態(tài)，就像拍照定格下來(lái)一樣。利用“定格”圖形，可以辨析圖形的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。

如在“角的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，教師在黑板上描一個(gè)三角尺上的角，用不同顏色的粉筆（紅、黃、藍(lán)）把兩邊延長(zhǎng)三次，以代替邊延長(zhǎng)過(guò)程中的三次“定格”。教師先讓學(xué)生觀察三個(gè)“定格”角，猜想角的大小變了嗎，并用三角板的角進(jìn)行驗(yàn)證。接著用黑板擦把從三角尺上描下來(lái)的角的邊擦短三次作為三次“定格”，引導(dǎo)學(xué)生再次進(jìn)行猜想與驗(yàn)證，從而直觀感受角的大小與邊的長(zhǎng)短沒(méi)有關(guān)系。

利用“定格”圖形，可使學(xué)生在直觀、反復(fù)驗(yàn)證中，不斷修正認(rèn)識(shí)，形成正確認(rèn)知。

三、探尋靜圖運(yùn)動(dòng)演變——?jiǎng)討B(tài)展示“形成過(guò)程”

通過(guò)設(shè)計(jì)圖形的動(dòng)態(tài)形成，包括圖形的建構(gòu)、解構(gòu)與重構(gòu)，向?qū)W生直觀清晰地展示概念的發(fā)生、發(fā)展、變化和演進(jìn)的過(guò)程。

（一）圖形建構(gòu)——指畫(huà)合一

教師在指導(dǎo)低段學(xué)生畫(huà)圖時(shí)，要讓他們了解畫(huà)圖的過(guò)程，一般是用手指比畫(huà)。指畫(huà)合一是指比畫(huà)與圖形畫(huà)法一致。

如在“角的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，要讓學(xué)生畫(huà)角，先讓學(xué)生比畫(huà)。先指頂點(diǎn)再指兩邊，然后學(xué)生自主畫(huà)角，出現(xiàn)錯(cuò)誤。教師示范畫(huà)角，學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)規(guī)范的畫(huà)角方法與指角方法一致。

動(dòng)作是思維的外化，必須準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)。指角與畫(huà)角都基于角的本質(zhì)概念，當(dāng)二者表達(dá)一致時(shí)，學(xué)生對(duì)角的組成就會(huì)有清晰的認(rèn)識(shí)。

（二）圖形解構(gòu)——合理分割

通過(guò)圖形的分割變化，揭示圖形之間的相互聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)圖形的轉(zhuǎn)化。

如人教版四年級(jí)下冊(cè)“多邊形內(nèi)角和”中有一道練習(xí)：想辦法求六邊形的內(nèi)角和。教師把學(xué)生的典型分割法畫(huà)到黑板上（如圖1），按分割的三角形數(shù)量分成三類并編上序號(hào)。課中對(duì)分割三角形的路徑進(jìn)行了兩次探究，第一次是整體觀察，把線段中途交叉、頂點(diǎn)交叉和邊交叉三種分割法進(jìn)行對(duì)比，只有像②這樣分，才能保證所分的三角形的內(nèi)角和就是六邊形的內(nèi)角和。第二次是聚焦②號(hào)線段頂點(diǎn)交叉的分法進(jìn)行比較，觀察同樣是分割成4個(gè)三角形，哪種分法更方便，尋求合理簡(jiǎn)潔的分割方法解決問(wèn)題。

（三）圖形重構(gòu)——化零為整

關(guān)注圖形特點(diǎn)，通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)、對(duì)稱等方式重組圖形，將“問(wèn)題”圖形重組成規(guī)則圖形，以利計(jì)算。

如“長(zhǎng)方體和正方體的表面積”的練習(xí)題，求出如圖2中物體的表面積，學(xué)生計(jì)算、反饋。

算式一：[25×12+25×6×2+12×6×2+（25×12-12×12）]+12×12×5=1620（cm2）;算式二：（25×12+25×6+12×6）×2+12×12×4=1620（cm2）。

算式二的方法較為簡(jiǎn)潔，采用動(dòng)態(tài)手法，將正方體的上面向下平移“借”給下面的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面從“殘缺”到完整，正方體還剩4個(gè)面。

將圖形進(jìn)行分解組合等變形，化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，可以獲得更簡(jiǎn)潔的解法。

四、探索靜圖網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系——?jiǎng)討B(tài)剖析“圖形轉(zhuǎn)化”

圖形之間有內(nèi)在聯(lián)系，圖形概念網(wǎng)絡(luò)的豐富性與穩(wěn)定性直接影響著學(xué)生對(duì)圖形的理解?？蓪D形放在運(yùn)動(dòng)變化中，挖掘內(nèi)在的結(jié)構(gòu)和轉(zhuǎn)化的方式。

（一）構(gòu)建動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)

不同知識(shí)之間是有聯(lián)系的，圖形之間也是有內(nèi)在結(jié)構(gòu)聯(lián)系的。

如“平面圖形面積”的復(fù)習(xí)課中，可以以長(zhǎng)方形為核心圖形，根據(jù)面積推導(dǎo)過(guò)程構(gòu)建關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu);也可以以梯形為核心圖形，根據(jù)圖形變化特征與圖形面積之間的關(guān)系構(gòu)建關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu);還可以以三角形或平行四邊形作為核心圖形（如圖3）。

在小學(xué)所學(xué)的多邊形中，無(wú)論是面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，還是面積的計(jì)算公式，都有相通之處。其中的倍積變換和等積變換，都含有運(yùn)動(dòng)、轉(zhuǎn)化、聯(lián)系的思想。

（二）在變中體會(huì)不變

在圖形的運(yùn)動(dòng)變化中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考圖形的“不變因素”。

如“面積和面積單位”的教學(xué)中，把1dm2的正方形剪成兩部分再拼，在變化中感受面積守恒的不變屬性，同時(shí)感受用面積單位測(cè)量面積的合理性。又如在方格紙中畫(huà)出4cm2的圖形。在圖形變形與面積累加中提供直觀支持，幫助學(xué)生全面理解面積含義，提升應(yīng)用水平（如圖4）。

在圖形的動(dòng)態(tài)“變化”中，學(xué)生關(guān)注了各知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，建構(gòu)了深層次的認(rèn)知體系。

（三）動(dòng)態(tài)展示圖形軌跡

在教學(xué)中，要將“運(yùn)動(dòng)圖形”借助圖像與符號(hào)語(yǔ)言“有形”地表達(dá)出來(lái)，以便學(xué)生清晰而準(zhǔn)確地把握動(dòng)態(tài)圖像的本質(zhì)屬性。

以“旋轉(zhuǎn)”一課動(dòng)態(tài)表達(dá)軌跡為例，直角三角形ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，先研究BC上的點(diǎn)繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)情況（如圖5），方法是在BC邊上取一點(diǎn)D，旋轉(zhuǎn)以后轉(zhuǎn)到B? ?'C? ?'上的點(diǎn)D? ?'，驗(yàn)證∠D? ?'AD=90°，取其他點(diǎn)驗(yàn)證結(jié)論也一致。從而得出BC邊上的點(diǎn)確實(shí)也轉(zhuǎn)了90°，BC邊也旋轉(zhuǎn)了90°。再研究三角形內(nèi)部的點(diǎn)繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的情況，可以通過(guò)課件演示，在三角形內(nèi)部找多個(gè)點(diǎn)驗(yàn)證。最后得到結(jié)論，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，三角形位置變了，大小不變，形狀不變。

旋轉(zhuǎn)圖形，能幫助學(xué)生尋找、剖析三角形的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)圖形的變與不變。

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（浙江省杭州錢(qián)塘新區(qū)義蓬第四小學(xué)? ?311225）