變截面組合梁剪力滯后效應(yīng)有限差分解析求解方法研究

苗 林

上海市基礎(chǔ)工程集團(tuán)有限公司 上海 200002

在鋼-混凝土組合梁中，鋼梁腹板內(nèi)的剪力流在向混凝土板傳遞的過(guò)程中，由于混凝土板的剪切變形而使得板寬度范圍內(nèi)的軸向應(yīng)力分布不均，出現(xiàn)明顯的翹曲現(xiàn)象?；炷涟鍍?nèi)的剪力流在橫向傳遞過(guò)程中的這種滯后現(xiàn)象，被稱為“剪力滯后效應(yīng)”。剪力滯后效應(yīng)使得距離鋼梁較遠(yuǎn)的混凝土板并不能有效起到承受軸向壓力的作用，對(duì)鋼-混凝土組合梁的剛度、承載能力和變形的計(jì)算結(jié)果均會(huì)產(chǎn)生影響，尤其對(duì)剛度的影響最為顯著，是鋼-混凝土組合梁設(shè)計(jì)和研究中的關(guān)鍵問(wèn)題。

關(guān)于剪力滯后問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者就彈性理論解法、比擬桿法、能量變分法、數(shù)值解法及模型試驗(yàn)，提出了許多理論和計(jì)算方法。彈性理論解法是在經(jīng)典彈性理論的基礎(chǔ)上，建立了諸多等截面組合梁解決簡(jiǎn)單力學(xué)模型。1924年，Von Kármán最早利用調(diào)諧函數(shù)法，提出了計(jì)算翼緣板應(yīng)力及其有效寬度的解析方法，即所謂的卡曼理論[1-2]。1991年，K?ístek等[3]利用調(diào)諧函數(shù)法求解了無(wú)加勁肋、有加勁肋和組合截面這3種懸臂梁翼板的負(fù)剪力滯后效應(yīng)。比擬桿法將處于受彎狀態(tài)的結(jié)構(gòu)比擬為只承受軸向力的桿件與只承受剪力的系板的組合體，然后根據(jù)桿與板之間的平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件建立起一組微分方程，則翼板中的剪力滯后效應(yīng)可以通過(guò)加勁桿的內(nèi)力來(lái)確定。1991年，Gjelsvik[4]利用比擬桿法分析組合T梁剪力滯后效應(yīng)，該方法一般適用于等截面箱梁，對(duì)于一些復(fù)雜荷載作用和形式結(jié)構(gòu)的剪力滯后效應(yīng)分析仍存在一定的難度。能量變分法從假定翼板的縱向位移模式出發(fā)，以梁的豎向位移沿梁長(zhǎng)的變化率和描述翼板縱向位移差的廣義位移函數(shù)為未知數(shù)，根據(jù)最小勢(shì)能原理[5]，利用變分法建立平衡微分方程[6]，從而獲得應(yīng)力和撓度的解析解。2005年，孫飛飛等[7]基于Newmark模型[8]建立了一個(gè)能考慮滑移、剪力滯后和剪切變形的鋼-混凝土組合梁模型，并得到了均布荷載作用下的解析解。2011年，李法雄等[9]基于Gjelsvik組合梁滑移模型[4]，得到簡(jiǎn)支組合梁在均布荷載和懸臂組合梁自由端集中荷載作用下的平衡方程。但變分法無(wú)法獲得變截面組合梁的閉合解，且在翼板的自由端仍然存在計(jì)算誤差，不同位移模式的假定對(duì)計(jì)算結(jié)果具有一定的影響，如何盡可能合理地選擇位移模式還有待進(jìn)一步研究。數(shù)值解法應(yīng)用最為廣泛，包括有限單元法、有限條法、有限差分法、有限段法。2009年，Gara等[10]在Newmark模型的基礎(chǔ)上，提出了基于位移法建立的組合梁?jiǎn)卧?，考慮橋面板剪力滯后翹曲、界面滑移以及混凝土收縮徐變效應(yīng)的長(zhǎng)期性能。采用有限差分法和有限段法，可用來(lái)計(jì)算變高度梁的剪力滯后問(wèn)題。有限差分法是一種傳統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法，它的計(jì)算時(shí)間和貯存量比有限單元法小，但比有限段法大。

針對(duì)上述方法的不足，本文將混凝土板寬范圍內(nèi)的應(yīng)力不均勻分布表述為翹曲位移形狀函數(shù)與翹曲強(qiáng)度函數(shù)的乘積形式，把翹曲強(qiáng)度函數(shù)和豎向撓度作為基本變量，由變分法得到組合梁平衡微分方程，并引入剪力滯后系數(shù)，來(lái)描述組合梁混凝土板橫截面應(yīng)力分布不均勻特性。在此基礎(chǔ)上，采用有限差分法求解變截面組合梁剪力滯后效應(yīng)，推導(dǎo)出常見(jiàn)結(jié)構(gòu)形式的有效寬度解析表達(dá)式，并與Ansys模擬結(jié)果和規(guī)范方法進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了算法的有效性，給出了計(jì)算方法的適用范圍。

2 有限差分解析求解方法

大跨徑的組合梁，在外荷載和自重的作用下，通常會(huì)采用變截面的形式以符合內(nèi)力狀態(tài)的需要。同時(shí)，如果采用懸臂施工方法，變截面梁又與施工的內(nèi)力狀態(tài)相吻合。分析變截面組合梁可以采用有限元法，并且計(jì)算結(jié)果精度較高，但對(duì)于大跨度結(jié)構(gòu)的求解存在計(jì)算工作量較大的缺點(diǎn)。為此，本節(jié)擬基于變分原理，給出基于差分算法的解析表達(dá)式。

對(duì)于組合梁結(jié)構(gòu)，本文將混凝土板寬范圍內(nèi)的應(yīng)力不均勻分布表述為翹曲位移形狀函數(shù)與翹曲強(qiáng)度函數(shù)的乘積形式，在考慮剪力滯后效應(yīng)后的變截面組合梁平衡微分方程及邊界條件可表示為式（1）～式（4）：

根據(jù)式（1）和式（3）對(duì)x求導(dǎo)，并將式（2）中ω'''以及u''消去，可表示為式（4）：

式（5）為變系數(shù)微分方程，獲得其精確解比較困難，可采用差分法求解。所謂差分法，是把基本方程和邊界條件（一般均為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來(lái)表示，把求解微分方程的問(wèn)題改換成為求解代數(shù)方程的問(wèn)題[5]。

具體方法為將梁劃分為n段，差分步長(zhǎng)為a，在臨近節(jié)點(diǎn)i處，設(shè)翹曲強(qiáng)度函數(shù)f為彈性體內(nèi)的連續(xù)函數(shù)并按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)。最終可列出每一網(wǎng)格點(diǎn)的差分方程，得到n個(gè)差分方程，求解到fn共n個(gè)未知量。求解該方程組可以得到全部的解，其計(jì)算方程組可采用如式（12）所示的矩陣表達(dá)式。

3 剪力分布及滯后系數(shù)求解

3.1 剪力分布及滯后系數(shù)及其求解方法

在鋼-混凝土組合梁設(shè)計(jì)和分析的過(guò)程中，三維板梁通常簡(jiǎn)化為等效T形梁分析。典型的組合橋面系通常由多根鋼梁與混凝土板構(gòu)成，設(shè)計(jì)時(shí)則可簡(jiǎn)化為一組平行的T形截面組合梁。按照基于平截面假定的歐拉-伯努利梁理論，組合梁某一截面在豎向彎曲作用下，混凝土橋面板相同高度處的彎曲壓應(yīng)力均勻分布。由于受到剪力滯后效應(yīng)的影響，混凝土板內(nèi)的實(shí)際壓力呈現(xiàn)不均勻分布的狀態(tài)。為在計(jì)算中反映剪力滯后效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，各國(guó)設(shè)計(jì)規(guī)范中一般采用一個(gè)較小的混凝土板等效寬度代替實(shí)際寬度進(jìn)行計(jì)算，并假設(shè)有效寬度范圍內(nèi)混凝土的縱向應(yīng)力沿板寬方向均勻分布。本文在對(duì)國(guó)內(nèi)外規(guī)范中有效寬度的定義進(jìn)行比較的基礎(chǔ)上，為了更加清晰地反映剪力滯后效應(yīng)的變化，引入了剪力滯后系數(shù)來(lái)描述組合梁混凝土板橫截面應(yīng)力分布不均勻，其表達(dá)式如式（13）所示：

其中，σx,c為采用歐拉-伯努利梁理論得到的組合梁混凝土板截面應(yīng)力；實(shí)際截面應(yīng)力為σx,c。

基于上述理論，當(dāng)結(jié)構(gòu)形式確定后，便可以根據(jù)差分步長(zhǎng)求得方程組式（12）中系數(shù)矩陣[G]和右端項(xiàng)列陣的部分參數(shù)。在外荷載已知的情況下，便可以組集列陣，從而求得翹曲強(qiáng)度函數(shù)列陣。

3.2 求解方法對(duì)比驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述理論的正確性，如圖1、圖2所示，以Dezi等[11]論文中懸臂長(zhǎng)度L為40 m組合梁為例，其自由端處鋼梁梁高h(yuǎn)s=2.8 m，固定端處鋼梁梁高為2hs，鋼材彈性模量Es=2.1×105MPa；混凝土板高度為0.2 m，混凝土立方體抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值為30 MPa，泊松比γ=0.15；假定梁高沿懸臂梁的長(zhǎng)度線性規(guī)律變化。計(jì)算過(guò)程中，部分混凝土應(yīng)力超過(guò)了實(shí)際混凝土抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值ftd，本文旨在定性地分析應(yīng)力分布規(guī)律，因此假設(shè)混凝土仍處于彈性階段，并未出現(xiàn)開(kāi)裂問(wèn)題。

圖1 變截面懸臂組合梁剪力分布計(jì)算示意

圖2 組合梁有限元模型

在均布荷載q=100 kN/m作用下，混凝土板z方向1/2高度平面內(nèi)，混凝土板與鋼腹板相交截面（y=b1）處的解析解應(yīng)力結(jié)果及其與三維實(shí)體有限元結(jié)果對(duì)比情況如圖3所示。

圖3 混凝土應(yīng)力沿梁長(zhǎng)分布情況

對(duì)應(yīng)位置處的剪力滯后系數(shù)γ沿梁長(zhǎng)的分布如圖4所示。

圖4 剪力滯后系數(shù)沿梁長(zhǎng)分布情況

沿梁長(zhǎng)方向應(yīng)力分布，三維有限元模型計(jì)算值與本文解析解理論計(jì)算值吻合得非常好；由于約束截面處的局部效應(yīng)，應(yīng)力情況比較復(fù)雜，有限元計(jì)算值與解析解存在誤差，但梁長(zhǎng)其他范圍內(nèi)的軸向應(yīng)力數(shù)值誤差較?。挥捎谧兘孛媪焊吲c懸臂的內(nèi)力狀態(tài)相吻合，使得混凝土板軸向應(yīng)力σx,c在有效地減小。在均布荷載作用下，變截面懸臂組合梁固定端處的剪力滯后效應(yīng)明顯減弱，剪力滯后系數(shù)λ減小9%；對(duì)比等截面與變截面組合梁剪力滯后系數(shù)沿梁長(zhǎng)的分布，正、負(fù)剪力滯后效應(yīng)分界點(diǎn)距離固定端的距離，等截面要比變截面更近；跨寬比L/b保持不變，梁長(zhǎng)方向上變截面剪力滯后效應(yīng)比等截面要小，并且剪力滯后系數(shù)變化速率相對(duì)緩慢。

4 結(jié)語(yǔ)

本文在鋼-混凝土組合梁受力平衡微分方程的基礎(chǔ)上，采用有限差分法求解變截面組合梁剪力滯后效應(yīng)，利用解析方法獲得了簡(jiǎn)支組合在均布荷載作用下的有效寬度表達(dá)式。對(duì)比等截面與變截面組合梁剪力滯后系數(shù)沿梁長(zhǎng)的分布，正、負(fù)剪力滯后效應(yīng)分界點(diǎn)距離固定端的距離，等截面要比變截面更近；跨寬比保持不變，梁長(zhǎng)方向上變截面剪力滯后效應(yīng)比等截面要小，并且剪力滯后系數(shù)變化速率相對(duì)緩慢。端部集中荷載作用下，固定端區(qū)域的剪力滯后系數(shù)，變截面比等截面減少8.8%；在逐漸靠近荷載作用點(diǎn)處，雖然整體應(yīng)力水平較低，但是隨著混凝土板的剛度所占變截面組合梁總剛度的比例在增大，剪力滯后效應(yīng)出現(xiàn)增大的趨勢(shì)。