選取角為自變量解題

武增明

(云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

選取以角為自變量解題，是高中數(shù)學(xué)解題的一種常用方法，但多數(shù)同學(xué)往往想不到、用不上.選取以角為自變量的解題方法，有著十分廣泛的應(yīng)用.如求點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的取值范圍(最值)，求圓錐曲線離心率的取值范圍(最值)，求三角形的邊長、面積、周長的取值范圍(最值)，求三角形的兩邊之和或之差或之積或之商的取值范圍(最值)，求多面體的體積的取值范圍(最值),求平面凸多邊形的邊長、面積、周長的取值范圍(最值)等.如何選取角為自變量進(jìn)行解題研究，以下舉例說明，旨在拋磚引玉，以饗讀者.

一、選取角為自變量求點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的取值范圍(最值)

例1 (2014年高考全國Ⅱ卷·理16)設(shè)點M(x0，1)，若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是____.

分析選取∠MNO為自變量，記∠MNO=α，應(yīng)用正弦定理建立x0與α的關(guān)系式，問題轉(zhuǎn)化為求角α的三角函數(shù)的值域問題.

解析因為點M(x0，1)在直線y=1上運動，記∠MNO=α，如圖1，則∠MON+α=135°，所以0°<α<135°.又因為MO≥ON，所以在△MON中知，α≥45°，于是45°≤α<135°.

從而x0的取值范圍是[-1，1].

二、選取角為自變量求線段長度的最值(取值范圍)

例2 在邊長為2的正△ABC的邊AB，AC上分別取M，N兩點，點A關(guān)于線段MN的對稱點A′正好落在BC邊上，則AM長度的最小值為____.

分析連接A′M，如圖2，因為AM=A′M，所以問題轉(zhuǎn)化為求A′M長度的最小值.在△BMA′中，因為∠B=60°，又設(shè)AM=x，則A′M=x，BM=2-x，選取∠BA′M為自變量，記∠BA′M=θ，運用正弦定理建立x與θ的關(guān)系式，問題又轉(zhuǎn)化為求x關(guān)于角θ的三角函數(shù)的最值問題.

三、選取角為自變量求平面凸多邊形的邊長的取值范圍(最值)

例3(2015年高考全國Ⅰ卷·理16)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是____.

在△BDC中，因為∠C=75°，所以∠DBC+θ=105°.

又0°<∠DBC<75°，所以0°<105°-θ<75°.

于是30°<θ<105°.

四、選取角為自變量求平面凸多邊形面積的取值范圍(最值)

例4 如圖4，圓O的直徑為2，A為直徑延長線上一點，且OA=2，B為半圓周長上任意一點，以AB為邊作等邊△ABC，問點B在什么位置時，四邊形OACB的面積最大，并求出這個最大面積.

解析選取∠AOB為自變量，記∠AOB=x，則

=sinx.

在△AOB中，由余弦定理，得

AB2=12+22-2×1×2cosx

=5-4cosx.

保健食品備案雙軌制、嬰幼兒配方乳粉嚴(yán)格注冊及監(jiān)管、特殊醫(yī)學(xué)配方食品參照藥品管理……都在推動著特殊食品行業(yè)提質(zhì)增效，為消費者提供更加安全的產(chǎn)品。邊振甲表示，在“健康中國”指引下，面對巨大消費市場以及快速變化的時代，中國特殊食品行業(yè)在2018年邁入了規(guī)范化管理、精細(xì)化運作、高質(zhì)量發(fā)展的新階段。

于是S四邊形OACB=S△AOB+S△ABC

評注(1)確定點B位置的方法有兩種，方法1是求點B的坐標(biāo)，方法2是求∠AOB的大小;(2)由于要用變量表示四邊形的面積，所以選取∠AOB為自變量求解較為便捷.

五、選取角為自變量求三角形面積的取值范圍(最值)

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

解析(1)B=60°(過程略).

(2)角A，C都是變量，在這里選取角C為自變量.

由(1)知，A+C=120°.

由于△ABC為銳角三角形，

故0°

六、選取角為自變量求三角形兩邊之積的最值(取值范圍)

例6 已知線段AB=24，直線l∥AB，且直線l到直線AB的距離為5，P為直線l上任意一點，則|PA|·|PB|的最小值為____.

解析選取∠APB為自變量，記∠APB=α，則運用三角形的面積公式，利用等面積法思維，建立|PA|·|PB|與角α的關(guān)系式，問題轉(zhuǎn)化為求角α的三角函數(shù)的最小值問題.

如圖5，根據(jù)三角形的面積公式，可得

即|PA|·|PB|sinα=24×5.

七、選取角為自變量求圓錐曲線離心率的取值范圍(最值)

解析為了書寫方便，不妨記|PF1|=m，|PF2|=n.選取∠F1PF2為自變量，記∠F1PF2=θ，則

評注用此法求解此題，不是最簡捷，筆者認(rèn)為運用如下性質(zhì)求解速度快，|PF1|≥a+c，|PF2|≥c-a，|PF1|+|PF2|≥|F1F2|.筆者在這里用此法求解此題，旨在與同仁一道體驗選取角為自變量來解題的過程.

八、選取角為自變量求多面體體積的最值(取值范圍)

令sin2θ=x(0

令f(x)=x(1-x)3(0

究竟怎樣選取自變量角解題？通過以上幾例的解答，我們可以發(fā)現(xiàn)，要先找出題設(shè)中的變量，然后確定變量中的角為自變量，再從多個變量角中選取一個變量角為自變量，結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角公式、三角形的面積公式、三角函數(shù)等相關(guān)知識點，建立所求取值范圍(最值)的變量與所選取自變量角的關(guān)系式，由此把問題轉(zhuǎn)化為求所選取自變量角的三角函數(shù)的值域(最值)問題，同時要注意所選取自變量角的取值范圍.