加權(quán)解析函數(shù)空間上Toeplitz算子

巫舒敏，夏 錦

（廣州大學數(shù)學與信息科學學院，廣州 510006）

引言

令C表示復平面，H(C)為C上全純函數(shù)的全體所成集合，同時令Cn表示n維復平面，Bn為Cn中的開單位球，H（Bn）為單位球Bn上的解析函數(shù)空間［1］。設ν是C上的正Borel測度，若存在常數(shù)M>0使得對任意z∈C和r>0都有：

其中：D(z,r)={w∈C:|w-z|

在本文中，f?g表示存在與變量f、g無關的常數(shù)C>0使得f≤Cg，而f?g表示f?g和g?f同時成立。

由文獻［4］中的引理2.2可知，存在僅與r和Δ?dA的加倍常數(shù)有關的常數(shù)cr≥1，使得對所有z∈C和w∈Dr(z)有：

其中，cr=( 1-r)-1。

同時，由文獻［5］可知，存在m>0，對所有z∈C有：

任取z,w∈C，由度量ρ-2dz?dzˉ所誘導的距離定義為

其 中：γ:[0，1]→C是C1曲 線 滿 足γ(0)=z,γ(1)=w。

顯然是具有內(nèi)積的Hilbert空間，其內(nèi)積定義為：

設H為 可 分Hilbert空 間，其 范 數(shù) 為‖?‖H，定 義可測：

是Hilbert空間，其內(nèi)積為：

={f：?→H解析：‖f‖2,?<∞}，

易知，在范數(shù)‖?‖2,?下是一個Banach空間。該空間已引起許多學者關注［3,9-12］。當時，是一個經(jīng)典的Fock空間。文獻［9］中的引理19()a以及文獻［13］證明了點演算是從的有界線性映射。即對任意的，都有：

類似地，也有估計：

其中：C(z)是與z有關的常函數(shù)。

是的閉子空間。與此同時也是再生核Hilbert空間，即存在內(nèi)唯一的函數(shù)Kz，使得的再生核，特別地，Kz(w)=因此可以由中Bergman核的再生性質(zhì)得到的正交投影：

值得注意的是再生核公式實際上是一個Bochner積分，并且由：

可知該積分是有意義的。

Bochner定理有如下要求，即對任意的z∈C,f(z)都必須是強可測的。Pettis定理證明了H-值函數(shù)f(z)強可測的等價條件是對幾乎處處的z∈C,H-值函數(shù)f(z)都是弱可測且可分離值。已知H為可分Hilbert空間，由H的自反性可知本文所有的Bochner積分都可以看作是Pettis積分。因而可以在再生公式中應用在文獻［14］中有關于Bochner積分和Pettis積分的更多細節(jié)，此處不再詳細說明。

在下文中，L(H)將表示H上的有界線性算子的賦范 空 間，其 范 數(shù) 表 示 為‖?‖L(H)。B(L(H))是 指BochnerL(H)-值積分函數(shù)G：D→L(H)的Banach空間，其范數(shù)定義為：

接著，定義T(L(H))為由滿足

本文在研究?上算子值函數(shù)G(z)為符號的Toeplitz算子在上的有界性和緊性時，Carleson測度、均值函數(shù)和Berezin變換起到了重要的作用。

對任意的以及G∈T(L(H))，Berezin變換定義為：

第三，語言文字工作是非常具體務實的工作，而中國國情特殊，語言文字政策既要維護國家通用語言文字的權(quán)威，又要考慮到多民族聚居和“兩岸三地”；既要提出國民母語應用能力的要求，又要回應國民學習外國語言的需求；既要制定科學規(guī)范的標準，又要考慮各行各業(yè)的執(zhí)行。語言文字政策制定與社會發(fā)展的互動方面關系密切，效應明顯。

另外，G(z)在Bochner積分意義下的均值函數(shù)定義如下：

關于均值函數(shù)值得注意的是，若存在，且G∈T(L(H))，則均值函數(shù)是有意義的。

本文關心的第二個問題是單位圓盤的正規(guī)權(quán)Bergman空間上Toeplitz算子的本性范數(shù)逼近。

假設β是一個徑向權(quán)(β為[0,1)上正、可積且可測的函數(shù))，對z∈D，有規(guī)定：

（1）若存在常數(shù)C>0，使得

則稱β為加倍權(quán)，用?表示。

（2）若存在常數(shù)C>0以及δ∈(0,1)，使得

則稱β為正規(guī)權(quán)，用β∈R表示［15-16］。

對D上的非負可積函數(shù)β∈R，把D上滿足條件

易知，Hilbert空間是的閉子空間，Bergman投影為：

這里為的再生核。若μ是D上的正Borel測度，以μ為符號的Toeplitz算子定義為：

若dμ=?βdV，則Tμ=T?。

令K(D)是上的緊算子空間，則可定義算子A的本性范數(shù)為：

這實際上也是算子A到K(D)的距離。

下面先得到?上算子值函數(shù)G(z)為符號的Toeplitz算子在上的有界性和緊性的幾個等價條件，接著研究L∞符號的Toeplitz算子在正規(guī)權(quán)Bergman空間上的本性范數(shù)，得到了非緊Toeplitz算子的本性范數(shù)的逼近公式。

1 Toeplitz算子的有界性和緊性

下面先介紹一些基礎結(jié)果，再研究正算子值符號Toeplitz算子的有界性和緊性。

如果對任意的，有：

則稱?上的L(H)-值正算子值函數(shù)G(z)滿足Carleson條件。

下面介紹一個覆蓋引理，給定r>0和?的序列中的格兩兩互不相交且覆蓋?，則把稱為?上的(ρ,r)-格。根據(jù)Bergman空間理論中對覆蓋定理的研究方法，可知(ρ,r)-格在?上的存在性，詳見文獻［17］。對所有m>0，給定(ρ,r)-格，存在正整數(shù)N僅與m相關，使得對任意的z∈?,Dmr(wk)至多被所覆蓋。

定理1設是?上的(ρ,r)-格。則下列條件等價：

(1)G滿足Carleson條件；

(2)對r>0,z∈?,G滿足：

(3)對r>0,k>0,G滿足：

證 明(3)?(1)：對 任 意，由Cauchy-Schwarz不等式可得：

由引言中ρ(w)與格的性質(zhì)得：

(1)?(2)：由文獻［4］，當w∈Dr(z)時，注意到下列式子成立：

因此，

由條件(1)得：

于是就得到了(1)?(2)。最后(2)?(3)是顯然的。

需要注意的是條件(1)與r無關。因此，對某個r>0，條件(2)或者條件(3)是成立的，則它對任意的r>0都成立。如果{fm}是中的有界序列，并且在?的緊子集上一致收斂到0，則

那么稱?上的L(H)-值正算子函數(shù)G(z)滿足消失Carleson條件。

定理2設是?中的(ρ,r)-格。則下列條件等價：

(1)G滿足消失Carleson條件；

(2)對r>0,G滿足：

(3)對r>0,G滿足：

證明此處省略證明，證明細節(jié)可參考定理1。

接下來將給出正算子值符號Toeplitz算子的有界性的等價刻畫。

定理3設是?中的(ρ,r)-格。則下列條件等價：

(1)Toeplitz算子TG在上是有界的；

(2)G滿足Carleson條件；

(3)對任意z∈?,G滿足：

證明(1)?(3)：假設Toeplitz算子TG在上是有界的。則由Cauchy-schwarz不等式可知：

其中。特別地，如果對任意單位元e∈H，設：

則有：

由Cauchy-Schwarz不等式以及TG的有界性可得：

因此，(1)?(3)得證。

(3)?(2)：根據(jù)文獻［4］中的定理2.6和命題2.9，有：

于是，

因此，

再由定理2可知(3)?(2)成立。

(2)?(1)：對任意

對wk∈Dr(z)，由前面的覆蓋結(jié)論以及Cauchy-Schwarz不等式推出：

如果條件(2)成立，結(jié)合定理1中的條件(3)，可得：

從而條件(1)成立。

下面給出緊算子的性質(zhì)，給出消失Carleson條件的刻畫。

定理4設是?中的(ρ,r)-格，則下列條件等價：

(1)Toeplitz算子TG在上是緊的；

(2)G滿足消失Carleson條件；

(3)G滿足：

證明此處省略證明，詳細細節(jié)可參考定理3。

2 Toeplitz算子的本性范數(shù)逼近

本節(jié)先介紹研究中要用到的一些概念和引理，再證明主要結(jié)論。

關于算子的本性范數(shù)的研究，Axler等在文獻［18］中得到了如下定理：

定理5設H?為Hardy空間H2上的非緊Hankel算子，則存在無窮多各不相同的緊Hankel算子Hu，使得：

若T?是上以L∞,β函數(shù)為符號的非緊Toeplitz算子，本節(jié)將證明Axler的定理對T?依然成立。

定義1當j→∞時，若Banach空間B中一列算子滿足：

引 理1令H1和H2為 兩 個Hilbert空 間，B為的非緊算子。若表示一列的緊算子并且滿足：

Axler等在文獻［18］中得到了上述引理，詳細證明參閱文獻［18］。

引理2若u是D上具有緊支集的連續(xù)函數(shù)，則Tu是上的緊Toeplitz算子。

因為fn弱收斂到0，有fn在D上內(nèi)閉一致收斂于0，且，故

M為u的支集。

由w∈M知，β(Δ(w,r))≥r0>0，故由控制收斂定理［19］知：

β(w)dV(w)→0,對任意存在緊支集連續(xù)函數(shù)序列un一致收斂于u，由引理2與易知Tu為緊算子。

定義2若復平面上的任意非負光滑函數(shù)φ同時滿足以下條件，則稱φ為磨光核：

(1)φ有緊支集并且在緊支集之外φ恒等于0；

(4)對任意ε>0，有：

在單位圓盤的外部，對?作零延拓，仍表示為?，顯然可知?∈L1( ?,βdV)?L2( ?,βdV)，定義?的卷積為：

上式中非平凡的積分區(qū)域分別為{λ：|z-λ|≤ε}和{λ：|λ|≤ε}。一般將上述卷積稱為?的磨光。由文獻［20］易證：

（1）φε*?(z)∈C∞( ?,βdV)；

（2）φε*?(z)∈L2( ?,βdV)；

（3）若ε→0，則‖φε*?-?‖2,β→0，并 且φε*?(z)→?(z)。

定理6設?∈L∞，令T?是以?為符號的上非緊Toeplitz算子，則存在無窮多各不相同的緊Toeplitz算子Tv，滿足：

其中

證明為了使得光滑函數(shù)能夠逼近L∞函數(shù)?，需要利用上述的磨光函數(shù)φε得到φε*?并且滿足：

從而

雖然?|?D≡0，但是當z∈?D時，φε*?(z)未必等于0。由文獻［6］可知，符號函數(shù)需要在?D上恒為0才能得到緊Toeplitz算子，因此對φε*?(z)做如下修正：

對任意z∈D和數(shù)列給定

對任意ε>0，得到的卷積φε*?rj有如下性質(zhì)：

(1)當rj→1時，φε*?rj→φε*?；

(2)若dist(rjD,?D)>ε，則卷積φε*?rj在?D上的值恒為0。

對任意z∈D，有：

又因當rj→1時，有?rj(z)→?(z)并且‖?‖∞<∞。因此對任意z∈D，當rj→1時，有：

且

再由Lebesgue控制收斂定理可知，當rj→1時，有：

從而證得(1)。

下證(2)：令χrjD(w)為集合rjD的特征函數(shù)，因為

對z∈?D，由|z-w|≤ε及dist(rjD,?D)>ε，可知上述積分式的積分集合為空集，因而對任意的rj都有φε*?rj|?D≡0，所以φε*?rj∈?0。故Tφε*?rj為緊算子。

現(xiàn)證當ε→0,rj→1時，有：

對任意的δ>0與，都存在f1∈H∞使得：

因為當rj→1時，有φε*?rj f1→φε*?f，并且當ε→0時，?ε*?f1→?f1，所以由Lebesgue控制收斂定理可知，當rj→1,ε→0時，有：

同理可得：

因此，當rj→1,ε→0時，有：

取t∈(0,1)，設v=t?1+( 1-t)?2，因此可以找到無窮多的緊Toeplitz算子Tv，滿足：

3 結(jié)束語

首先利用Carleson條件等價刻畫了復平面上向量值Doubling Fock空間上正算子值函數(shù)符號Teoplitz算子的有界性與緊性，接著利用Toeplitz算子與緊算子集的距離，得到了Toeplitz算子本性范數(shù)的逼近公式。