基于PMUT的雙層壓電圓板自由振動(dòng)分析

許 寬,張榮敏,張麗麗,周莎莎

齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院,濟(jì)南 250353

近年來,微型生物傳感器發(fā)展迅速,隨著超聲技術(shù)的不斷成熟以及MEMS(Micro-Electro-Mechanical-Systems)技術(shù)的進(jìn)步,超聲波微型生物傳感器已深入到醫(yī)療、國防、電子與汽車等各行業(yè)部門[1]。在超聲醫(yī)療成像以及超聲檢測領(lǐng)域中,超聲微生化傳感器已經(jīng)廣泛用于診斷各類癌癥早期癥狀的工作中。在超聲系統(tǒng)中,實(shí)現(xiàn)聲電轉(zhuǎn)換的裝置即為超聲換能器,是超聲系統(tǒng)的重要部件之一,其性能參數(shù)將影響整個(gè)超聲傳感器的性能[2]。新型MEMS超聲換能器(MEMS Ultrasonic Transducer)外形尺寸小,易于集成,且通常具有較高的靈敏度,使用范圍廣,引起大量學(xué)者的關(guān)注[3-4]。其中,相比其它微型換能器,壓電微超聲換能器(Piezoelectric Micromachined Ultrasonic Transducer,PMUT)具有極高的集成度,更易于實(shí)現(xiàn)各類換能器陣列的制造,成為微型超聲傳感器研究的熱點(diǎn)[4]。

PMUT的核心構(gòu)件是由壓電材料制備的多層壓電陣元。包含壓電層,彈性支撐層,以及壓電層上下表面的電極層。其力學(xué)特性決定了超聲微型生物傳感器的各項(xiàng)性能指標(biāo)?；赑MUT結(jié)構(gòu)的多層壓電板的理論研究工作將為超聲傳感器的設(shè)計(jì)、制造提供理論支撐。

PMUT多層板結(jié)構(gòu)中包含壓電層,因此需要考慮壓電材料特有的壓電效應(yīng)對(duì)PMUT的力學(xué)性能產(chǎn)生影響。對(duì)于微尺度下壓電結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能,已有部分學(xué)者做了相關(guān)的研究,比如Mohammadimeh[5]根據(jù)修正的偶應(yīng)力理論分析了納米復(fù)合單層壓電板的動(dòng)力學(xué)特性。Kang[6]同樣根據(jù)該理論分析了壓電多層圓形微板的彎曲特性。Lou[7]分析了具有雙層壓電層的sandwich矩形層板的力學(xué)特性。最近,Korayem[8]基于該理論建立了多層壓電矩形微板力學(xué)模型,并利用其模型分析了微板靜態(tài)與動(dòng)態(tài)力學(xué)特性。但是,這些基于高階理論建立的力學(xué)模型較為復(fù)雜,為了降低模型與計(jì)算的復(fù)雜性,都是將模型簡化為對(duì)稱結(jié)構(gòu)。宏觀尺度下,Lee[9]在疊層板理論中考慮了壓電效應(yīng)的影響,建立了壓電層合板理論。隨后,有學(xué)者以該理論為基礎(chǔ),給出了矩形壓電層合板的力電耦合模型。Heyliger[10]利用離散層模型研究了含有壓電層的圓形層合板的自由振動(dòng)。但宏觀尺度下,學(xué)者們都將電場假設(shè)為沿板橫向的常數(shù)。這一假設(shè)并不滿足麥克斯韋靜電方程。Lee等[11]將電勢假設(shè)為沿厚度方向的正弦分布來滿足麥克斯韋靜電方程。

由此可見,現(xiàn)有宏觀尺度與微尺度下的研究,大部分是將壓電層板假設(shè)為對(duì)稱結(jié)構(gòu)。對(duì)于非對(duì)稱層板的理論研究還不足。本文基于微型生化傳感器中PMUT的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),進(jìn)行適當(dāng)簡化,忽略電極層厚度,同時(shí)考慮壓電效應(yīng),基于Kirchhoff薄板理論提出了雙層壓電板的力電耦合模型。分析了壓電效應(yīng)對(duì)圓形雙層板中性面位置、各階頻率與振型的影響,利用本文建立的模型可以有效減少PMUT設(shè)計(jì)過程中的實(shí)驗(yàn)成本與時(shí)間,為設(shè)計(jì)提供理論支撐。

1 雙層壓電圓板的力電耦合方程

基于PMUT實(shí)際結(jié)構(gòu),忽略電極層厚度,建立圖1所示半徑為a的雙層壓電圓板模型。其中壓電層與彈性支撐層的厚度分別為h1,h2?？紤]實(shí)際PMUT支撐層多為非壓電材料,則雙層圓板的中性面位置會(huì)偏離交界面,假設(shè)該模型的中性面與交界面的距離為d。

圖1 包含壓電層的雙層圓板

如圖1所示,假設(shè)r0-θ0平面位于壓電雙層圓板的中性面,則可以用以下公式描述其中性面位移場為:

(1)

(2)

其中,u,v分別表示r0與θ0方向的位移；w為壓電圓板中性面沿z軸方向的撓度。根據(jù)以上中性面假設(shè),可以寫出壓電層與支撐層接觸面的位移場:

(3)

(4)

通過假設(shè)u0=-d?w/?r與v0=-d?w/r?θ,公式(3)和公式(4)可以表示為:

(5)

(6)

假設(shè)電場只沿z軸方向,因此壓電材料的極化方向也是一致的。壓電層兩側(cè)外加電場會(huì)使雙層板產(chǎn)生相應(yīng)的應(yīng)變,根據(jù)應(yīng)變位移關(guān)系,壓電層與支撐層的應(yīng)變可以表示為:

(7)

(8)

(9)

支撐層的應(yīng)力分量可以表示為:

(10)

(11)

(12)

對(duì)于壓電層,根據(jù)壓電材料的本構(gòu)關(guān)系可以推導(dǎo)出適用于壓電薄板彎曲變形的本構(gòu)關(guān)系(見附錄A),因此壓電層的應(yīng)力分量可以表示為:

(13)

(14)

(15)

考慮PMUT在交變電場下工作時(shí),分析壓電層作為驅(qū)動(dòng)元件，其壓電效應(yīng)對(duì)PMUT動(dòng)力學(xué)性能的影響,假設(shè)電場只沿z軸方向分布。因此電場可以表示為:

Ez=Ecosθ,

(16)

其中,E與θ分別為交變電場的幅值與相位角。

當(dāng)壓電層板發(fā)生純彎曲時(shí),根據(jù)彈性理論,其橫截面內(nèi)應(yīng)力為零,在上述假設(shè)電場下,r與θ方向的應(yīng)力應(yīng)該滿足:

(17)

(18)

將公式(17)與公式(18)相減可得:

(19)

此時(shí),對(duì)公式(19)進(jìn)行積分,可得到中性面與接觸面的偏移距離d:

(20)

公式(20)可以反應(yīng)壓電層對(duì)雙層圓板中性面位置的影響,偏移距離d大小依賴于壓電層與支撐層的材料和厚度。

利用基底層與壓電層本構(gòu)關(guān)系公式(10)-(15),可以得到雙層壓電圓板的合力矩:

(21)

(22)

(23)

根據(jù)合力矩公式,雙層板的剪切合力可以表示為:

(24)

(25)

把公式(24)和公式(25)以及定義的關(guān)系式u0=-d?w/?r,v0=-d?w/r?θ代入Kirchhoff板的控制方程:

(26)

可以整理出雙層壓電圓板的控制方程:

(27)

2 控制方程的求解

采用分離變量法,假設(shè)控制方程式(27)的解為:

w(r,θ,t)=W(r,θ)cosωt,

(28)

則代入公式(27),振型W(r,θ)將應(yīng)滿足:

(29)

公式(29)還可以表示為:

(?2W+α2W)(?2W-α2W)=0,

(30)

其中,

(31)

進(jìn)一步設(shè)振型:

W(r,θ)=R(r)Θ(θ),

(32)

其中,

R(r)=A1mIm(αmnr)+A2mKm(αmnr)+A3mJm(αmnr)+A4mYm(αmnr),

(33)

Θ(θ)=Amcosm(θ-φm)。

(34)

其中,m和n分別為節(jié)圓數(shù)與節(jié)徑數(shù),Am,φm和Aim為待定系數(shù)。Jm(αmnr),Ym(αmnr),Im(αmnr)以及Km(αmnr)分別為m階第一、二類貝塞爾函數(shù)和第一、二類修正貝塞爾函數(shù)。對(duì)于中面完整的圓板,由于圓心處(r=0)第二類貝塞爾函數(shù)Ym(αmnr)與Km(αmnr)為無窮,所以在一般解中有A2m=A4m=0。根據(jù)公式(33)和公式(34)可以得到微分公式(27)的一般解。將一般解代入固支圓板的邊界條件并使用貝塞爾函數(shù)的遞歸公式,即可得到特征方程:

(35)

解公式(35)可以得到頻率系數(shù)αmna,再根據(jù)公式(31)中頻率系數(shù)與固有頻率的關(guān)系即可求得雙層壓電圓板的固有頻率ωmn。

3 數(shù)值結(jié)果與討論

為了分析壓電效應(yīng)對(duì)圓形雙層板中性面位置、各階頻率與振型的影響,先選定雙層板的材料。通常PMUT的壓電層材料為PZT-4,彈性支撐層材料為硅。各層材料參數(shù)與尺寸值如表1所示。

表1 包含壓電層的雙層圓板材料參數(shù)與尺寸參數(shù)[12-13]

3.1 壓電效應(yīng)對(duì)中性面位置的影響

考慮壓電效應(yīng)的影響,根據(jù)公式(20),壓電層材料性質(zhì)將影響雙層圓板的中性面位置。為了具體分析壓電效應(yīng)對(duì)中性面位置的影響規(guī)律,基于本文建立的雙層壓電圓板模型,利用Matlab編程,得到中性面位置與PMUT板厚關(guān)系的曲線圖,如圖2所示。圖2中的曲線具體描述了雙層壓電圓板中性面位置隨PMUT厚度的變化規(guī)律。為了方便與已有普通雙模量雙層圓板的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,參照文獻(xiàn)[14]處理方式,假設(shè)各層厚度均為PMUT厚度的1/2。

圖2 壓電效應(yīng)對(duì)雙層圓板中性面位置的影響

從圖2可以看出,由于包含了壓電效應(yīng)的影響,非對(duì)稱的雙層圓板的中性面與兩層接觸面的距離d是隨PMUT厚度h的增加而增大。并且當(dāng)板厚較小時(shí),壓電材料產(chǎn)生的影響較小。隨著PMUT厚度的增加,壓電效應(yīng)對(duì)中性面位置的改變變得更加顯著。特別的,當(dāng)板厚度大于1×10-8m時(shí),壓電材料對(duì)中性面位置的影響就不能忽略了。因此,當(dāng)PMUT雙層板厚度大于1×10-8m時(shí),壓電材料會(huì)使中性面的位置發(fā)生明顯的改變,此時(shí)的壓電效應(yīng)的影響是必須要考慮的。進(jìn)行PMUT尺寸設(shè)計(jì)時(shí),當(dāng)實(shí)際厚度不超過1×10-8m時(shí),其性能指標(biāo)可使用簡單的單層板模型進(jìn)行預(yù)測。當(dāng)實(shí)際厚度超過1×10-8m時(shí),其性能的預(yù)測需要考慮壓電效應(yīng)的影響,使用本文的模型可以更加確保預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確,從而節(jié)約實(shí)驗(yàn)時(shí)間與成本。

3.2 壓電效應(yīng)對(duì)固有頻率與振型的影響

圖3 壓電效應(yīng)對(duì)雙層圓板固有頻率的影響

當(dāng)雙層壓電板的厚度為定值,壓電效應(yīng)對(duì)各階固有頻率的影響在表2中列出。并與兩層均為彈性支撐層材料的圓板的固有頻率進(jìn)行了對(duì)比。其中,保證兩組對(duì)比模型的總厚度相等,均為h=2.75×10-6m；雙層圓板的壓電層與彈性支撐層厚度比如圖3中取值h1/h2=0.7。

表2 現(xiàn)有模型與不考慮壓電效應(yīng)模型結(jié)果對(duì)比

從表2中可以發(fā)現(xiàn),相比于只含彈性支撐層材料的雙層板模型,現(xiàn)有模型的固有頻率明顯增加,壓電效應(yīng)對(duì)PMUT固有頻率的影響是非常顯著的。由表2的第四列數(shù)據(jù)可以看出,壓電效應(yīng)使PMUT雙層圓板的固有頻率大約增加了18%。同時(shí),本文給出了考慮壓電效應(yīng)的雙層圓板前四階振型,如圖4所示。

本文建立模型的有效性可通過與已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比來驗(yàn)證。在對(duì)壓電多層膜片振動(dòng)模態(tài)的實(shí)驗(yàn)研究中,Olfatnia等[15]利用反射式數(shù)字全息顯微鏡捕獲了圓形膜片各階振型,如圖5所示。通過與圖4內(nèi)的振型對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),利用本文建立的模型所得的結(jié)果與已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的。其中,(0,1) 階振型像一個(gè)單極子源,而更高階模態(tài)則存在節(jié)徑。節(jié)徑的存在會(huì)影響PMUT振動(dòng)時(shí)部分空氣的運(yùn)動(dòng),從而影響超聲能量的傳遞,造成能量的衰減,因此,使用(0,1)階模態(tài)更利于PMUT聲能量的傳遞。

注:a)m=0,n=1；b)m=1,n=1；c)m=2,n=1；d) m=0,n=2。

4 結(jié) 論

考慮壓電效應(yīng)的影響,基于Kirchhoff薄板理論,建立了包含壓電層的非對(duì)稱雙層圓板理論模型,并得到了固有頻率的數(shù)值解。得到包含壓電效應(yīng)的雙層圓板中性面位置表達(dá)式。基于壓電材料的一般本構(gòu)關(guān)系與雙層板平衡關(guān)系推導(dǎo)了適用于壓電材料彎曲變形的本構(gòu)關(guān)系。通過與已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證了本文模型的準(zhǔn)確性。通過與普通雙模量雙層圓板對(duì)比,發(fā)現(xiàn)壓電層的加入使中性面發(fā)生偏移,即壓電材料對(duì)中性面的位置會(huì)產(chǎn)生影響,且對(duì)于厚度較大的板,其影響不能忽略。通過分析壓電效應(yīng)對(duì)雙層板固有頻率的影響,發(fā)現(xiàn)與普通材料板相比,壓電材料對(duì)厚度較大的雙層圓板的各項(xiàng)力學(xué)性能影響更顯著。本文的理論模型與結(jié)果可為PMUT膜片的設(shè)計(jì)與制造提供理論支撐。

附錄A

根據(jù)文中對(duì)電場的假設(shè),壓電材料一般本構(gòu)關(guān)系可以表示為:

(A1)

基于Kirchhoff薄板理論,考慮r-θ平面內(nèi)的彎曲變形問題,既有:

(A2)

其中:

(A3)

(A4)

(A5)