軸對稱分布多集中載荷作用下的圓薄板變形①

王一鳴，宋燕平，王 輝

(中國空間技術(shù)研究院西安分院，西安 710000)

0 引言

大型可展開空間天線大多采用可展開背架+柔性金屬網(wǎng)結(jié)構(gòu)[1]設(shè)計。金屬網(wǎng)面可展開天線有徑向肋、纏繞肋、折疊肋、環(huán)柱式、構(gòu)架式和環(huán)形桁架式等多種形式。徑向肋、纏繞肋和折疊肋一般將金屬網(wǎng)張緊在拋物線型的肋上，環(huán)柱式和環(huán)形桁架式一般將金屬網(wǎng)張緊在索網(wǎng)結(jié)構(gòu)上[2]。近些年，多種混合型的可展開天線也在研發(fā)[1]。

柔性金屬網(wǎng)的力學特性類似于柔性薄膜，其抗彎剛度可以忽略不計。當承受橫向載荷時，其平衡曲面往往具有如圖1、2所示的形狀[3-5]。這與拋物面天線所需的型面相差甚遠。當需要較高的天線反射面型面精度時，一般采用增加肋的數(shù)量或者加密索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，這會降低天線的可靠性，增大加工難度。

圖1 承受集中載荷的圓薄膜

圖2 中心區(qū)域承受均布載荷的圓薄膜

碳纖維增強硅橡膠(CFRS)兼具適度的柔性和抗彎剛度，用作可展開天線反射面，可在滿足可收攏/展開功能的同時，省略橫向牽引點，從而簡化設(shè)計。但材料不具備延展性，而且反射面需要在模具上預固化成型，制造難度比較高，而且模具尺寸受多種條件約束，不能任意增大，因此反射器尺寸也受到嚴格限制[6]。

如果保持反射網(wǎng)的柔性，適當增大抗彎剛度，使網(wǎng)格密度保持在較低水平，這種結(jié)構(gòu)可以減小結(jié)構(gòu)復雜性，減輕重量，減小加工難度，增加可靠性[7]。

為了實現(xiàn)上述目的，需要研究薄板在多集中載荷作用下的彎曲問題?？梢允褂脠A薄板變形后的撓曲面與標準拋物面的均方誤差衡量天線反射面的型面精度。

1 問題描述

文章的研究對象是一種新型材料制成的圓薄板，這種材料具有一定的柔性、延展性，又有一定的抗彎剛度，可承受一定的彎矩和剪力，在計算中主要是用鐵木辛哥板殼理論[8]。天線反射面的邊界條件可以簡化為簡支。即在邊界上有：

記該圓薄板的參數(shù)為：半徑R，泊松比μ，楊氏模量E，厚度t。

本文計算中均采用軸對稱載荷，在軸對稱載荷作用下，撓度w僅與材料基本參數(shù)和中心距離r有關(guān)。即撓度為R，μ，E，t，r，外載荷P的函數(shù)，令x1=R，x2=E，x3=t，x4=μ，x5=P

則w可表示為xi(i=1，2，3，4，5)，r的函數(shù)[3]：

w=f(x1，x2，x3，x4，x5，r)

(1)

與w對應(yīng)的標準拋物面為z=g(x，y)=g(r)，記圓薄板中心撓度為w，則標準拋物面為：

(2)

在撓曲線上找到n個與標準拋物線對應(yīng)的點，記為r1，r2，r3…rn，記中心為r0，則撓曲線上的n個點與標準拋物線上對應(yīng)的點的均方誤差可以表示為：

(3)

型面精度問題可以退化為以下問題：

改變圓薄板參數(shù)R，μ，E，t，外載荷P，使s取得極小值，極小值點即為型面精度最好的位置[9]。

s取得極小值的情形[10]：

(4)

但是實際上，式(4)非常難以求解，因此本文中采用的方法主要為直接計算的方法，即設(shè)置xi(i=1，2，3，4，5)后直接求解s，然后尋找較為合適的參數(shù)優(yōu)化撓曲面。

2 撓度方程的求解

本文僅計算薄板在橫向軸對稱載荷作用下的小變形。采用了Kirchhoff薄板小變形假設(shè)：

1)變形前垂直于中面的直線變形后任然保持直線，而且長度不變。

2)垂直于中面分量的應(yīng)力分量遠小于其他應(yīng)力分量，其引起的變形可以忽略不計。

3)薄板彎曲時，中面各點只有垂直于中面的位移，沒有平行于中面的位移。

記圓薄板厚度為t，剛度為D，楊氏模量為E，泊松比為μ，由于天線反射面一般為各向異性材料，記Er，Eθ分別為圓薄板徑向和環(huán)向彈性模量，μr，μθ分別為圓薄板的徑向和環(huán)向泊松比，Dr，Dθ分別為圓薄板徑向和環(huán)向彎曲剛度。

根據(jù)Kirchhoff薄板小變形假設(shè)，可以求出圓薄板的變形基本方程為[8，10]：

(5)

(6)

根據(jù)式(5)、(6)可以求出圓薄板在小變形情形下的變形曲面。但是式(5)、(6)并未考慮剪應(yīng)力對撓度的影響。根據(jù)鐵木辛柯薄板理論可以求出剪應(yīng)力造成的變形[8]。記總變形為w0，正應(yīng)變造成的變形為w，剪應(yīng)變造成的撓度為w1。則有：

w0=w+w1

(7)

板厚度上剪應(yīng)力的分布與矩形截面桿的情形相同，最大剪應(yīng)力在中面上，距離板中心r處，最大剪應(yīng)力的大小為：

(8)

在板中面上的相應(yīng)剪應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(9)

而由于等體元的畸變引起的附加撓度為：

(10)

將沿板半徑長度的這些撓度相加并考慮到邊上撓度為0，得到[8]：

(11)

則圓薄板在小變形情形下的變形曲面可以通過式(5)、(6)、(7)、(11)寫出。

2.1 單節(jié)點加載情形

周邊簡支等剛度圓薄板受到中心半徑為a的區(qū)域均勻局部載荷p作用時，圓薄板的變形方程即為式(7)、(12)、(13)[11-15]。圓薄板的邊界條件為位移邊界條件，即圓薄板的邊界僅約束x，y，z3個方向的位移，不約束轉(zhuǎn)角。加載方式如圖3所示。

圖3 單載荷作用下的圓薄板加載方式

(12)

(13)

當圓薄板為各向同性材料時，即K=1，結(jié)合邊界條件和連續(xù)性條件：

求解得：

(14)

當圓薄板為各向異性材料時，利用變系數(shù)微分方程解法[11]，將方程寫為：

(15)

令

則得:

(16)

可以解出方程

(17)

(18)

對式(18)右側(cè)進行積分運算可得:

(19)

對式(19)積分即可求出撓度:

(20)

結(jié)合邊界條件和連續(xù)性條件，有：

本文僅討論正剛度，因此C2=0，即可求出其余積分常數(shù)同時寫出A：

(21)

求解得：

(22)

2.2 4節(jié)點加載情形

周邊簡支等剛度圓薄板受到中心半徑為a的區(qū)域均勻局部載荷p，和沿著半徑b的圓均勻分布的3個集中載荷P共同作用。R為圓薄板半徑。圓薄板的變形方程即為式(7)、(23)、(24)[11-13]。圓薄板的邊界條件為位移邊界條件，即圓薄板的邊界僅約束x，y，z三個方向的位移，不約束轉(zhuǎn)角，僅考慮圓薄板為各向同性時的情形。加載方式如圖4所示，有：

圖4 4載荷作用下的圓薄板加載方式

(23)

(24)

結(jié)合邊界條件和連續(xù)性條件

求解得：

w0=

(25)

2.3 8節(jié)點加載

周邊簡支等剛度圓薄板中心半徑為a的區(qū)域均勻局部載荷p，沿著半徑b1的圓均勻分布的3個集中載荷大小均為P，在半徑為b2的圓上施加軸對稱的4個載荷，大小均為P。R為圓薄板半徑。圓薄板的變形方程即為式(7)、(26)、(27)[11-13]。圓薄板的邊界條件為位移邊界條件，即圓薄板的邊界僅約束x，y，z3個方向的位移，不約束轉(zhuǎn)角，僅考慮圓薄板為各向同性時的情形。加載方式如圖5所示。

圖5 8載荷作用下的圓薄板加載方式

(26)

(27)

結(jié)合邊界條件和連續(xù)性條件

求解得：

(28)

2.4 天線深度

記天線的口徑為d，則d=2R，天線深度為H，則天線焦距F=d2/16H。

以美國發(fā)射的Astromesh環(huán)形桁架式天線為例，d=12.25 m，H=1.3 m，日本國家宇宙發(fā)展局發(fā)射的構(gòu)架式天線d=16 m，H=1 m。一般環(huán)形桁架式天線和構(gòu)架式的d/H一般在10～20之間。

對于R=25 mm半徑的圓薄板，深度(圓薄板在中心的撓度)為1.25 mm～2.5 mm之間時，與金屬網(wǎng)面天線展開后的情形很相似。

3 結(jié)果分析

根據(jù)式(14)、(22)、(25)、(28)，可以計算出不同載荷情況下圓薄板的變形曲面，將計算結(jié)果與標準拋物線進行對比，即可得到載荷情況、圓薄板材料等不同參數(shù)對圓薄板變形后的變形曲面與標準拋物面的型面誤差。對比不同情形，即可確定不同參數(shù)在圓薄板型面精度上的影響。

3.1 單節(jié)點加載時型面精度分析

周邊簡支等剛度圓薄板受到中心半徑為a的區(qū)域均勻局部載荷p作用時，根據(jù)鐵摩辛柯板殼理論，當圓薄板受軸對稱載荷時，其撓曲面也是軸對稱的，所以可以用過對稱軸的一個切面與撓曲面的交線作為研究對象。與撓曲面對應(yīng)的標準拋物線方程為：

(29)

在圓薄板的半徑方向取均勻分布的24個點，坐標為(0，1)，(0，2)…(0，24)，計算這24個點撓曲線與標準拋物線的函數(shù)值的均方誤差，即[7]：

隨著泊松比和楊氏模量的變化，各向同性圓薄板w(中心撓度)，s的變化如表1所示。

參數(shù)：R=25 mm，a=2 mm，p=0.025 Mpa

根據(jù)表1可以看出均方誤差s與μ和E的關(guān)系為：

表1 不同μ和E下的各向同性圓薄板均方誤差

隨著E增加，均方誤差逐漸變小。隨著μ的變化，均方誤差會出現(xiàn)極值點，大約在μ=0.2附近出現(xiàn)極小值點。因此在這種加載方式下，型面精度最好的情形會出現(xiàn)在在μ=0.2附近。隨著泊松比和楊氏模量的變化，各向同性圓薄板w(中心撓度)，s的變化如表2所示。

表2 不同μ和E下的各向異性圓薄板均方誤差

參數(shù)：R=25 mm，a=2 mm，

p=0.025 Mpa，G=0.5 Gpa

材料徑向泊松比:μr=0.2，材料徑向楊氏模量：Er=8 Gpa

材料K值：考慮7個不同K值，分別為K=0.8，0.85，0.9，1，1.1，1.15，1.2.

根據(jù)表2可以看出均方誤差s與K的關(guān)系：

在K=0.85時，受到集中載荷后撓曲線與標準拋物線誤差最小。

3.2 4節(jié)點加載型面精度分析

周邊簡支等剛度圓薄板受到中心半徑為a的區(qū)域均勻局部載荷p，和沿著半徑b的圓均勻分布的3個集中載荷P共同作用時。與撓曲面對應(yīng)的標準拋物面方程為：

(30)

在圓薄板的半徑方向取均勻分布的24個點，坐標為(0，1)，(0，2)…(0，24)，計算這24個點撓曲線與標準拋物線的函數(shù)值的均方誤差，即[9]：

參數(shù)：R=25 mm，a=2 mm，p=0.025 Mpa，P=0.031 4 N，b=10 mm

隨著泊松比和楊氏模量的變化，w(中心撓度)，s的變化如表3，4所示。

表3 不同μ和E下的均方誤差

根據(jù)表3，表4可以看出均方誤差s與μ和E的關(guān)系：

表4 不同μ和E下的均方誤差

隨著E增加，均方誤差逐漸變小。隨著μ的變化，均方誤差會出現(xiàn)極值點，大約在μ=0.2附近出現(xiàn)極小值點。因此在這種加載方式下，型面精度最好的情形會出現(xiàn)在在μ=0.2附近。

3.3 8節(jié)點加載型面精度分析

周邊簡支等剛度圓薄板中心半徑為a的區(qū)域均勻局部載荷p，沿著半徑b1的圓均勻分布的3個集中載荷大小均為P，在半徑為b2的圓上施加軸對稱的4個載荷，大小均為P時：

參數(shù)設(shè)置為：

在半徑a=2 mm的圓內(nèi)施加p=0.025 Mpa的分布載荷，在半徑為b1的圓上施加軸對稱的3個相同載荷，大小為P=0.031 4 N，在半徑為b2的圓上施加軸對稱的4個相同載荷，大小為P=0.031 4 N，R=25 mm，E=8 Gpa，μ=0.2

在圓薄板的半徑方向取均勻分布的24個點，坐標為(0，1)，(0，2)…(0，24)，計算這24個點撓曲線與標準拋物線的函數(shù)值的均方誤差s。

隨著b1和b2的變化，w(中心撓度)，s的變化如表5所示。

表5 不同b1和b2下的均方誤差

從表5中可以看出，加載時僅改變b1和b2時，s與b1和b2無明顯關(guān)系。但是可以觀察到，b2-b1較小時，s較大，因此布局牽引點時，應(yīng)當考慮盡量均勻布置牽引點，不要過于密集的布置牽引點。

當b1=9 mm，b2=20 mm時，s取得最小值：

smin=0.009 9 mm

根據(jù)表1，采用四節(jié)點加載時，若E=8 Gpa，μ=0.2，s的最小值為：smin=0.065 3 mm

相比采用4節(jié)點時，8節(jié)點加載時s有一個數(shù)量級的優(yōu)勢?？梢缘贸鼋Y(jié)論，結(jié)點越多，反射面型面精度越好，當牽引點合理分布時，可以達到對型面精度的數(shù)量級優(yōu)化。

3.4 牽引點附近增強局部剛度的4節(jié)點加載型面精度分析

考慮以下情形，周邊簡支等剛度圓薄板受到中心半徑為a的區(qū)域均勻局部載荷p，和沿著半徑b的圓均勻分布的3個集中載荷P共同作用，在載荷施加的位置改變剛度：

圓薄板整體厚度記為t，彈性模量和泊松比分別為μ和E

在中心區(qū)域r

在施加載荷位置r=b的三處牽引點改變剛度，以載荷為中心的位置給r1大小的圓內(nèi)改變彈性常數(shù)，泊松比記為μ2，彈性模量記為E2。

參數(shù)：

R=25 mm，t=0.2 mm，p=0.025 Mpa，a=2 mm，P=0.031 4 N，E=8 Gpa，b=10 mm，r1=0.5 mm，μ=0.2，μ1=0.3，E1=8 Gpa

w(中心撓度)，s隨局部剛度的變化如下表表6所示。

表6 局部剛度變化下的撓度和均方誤差

根據(jù)表6，在牽引點附近增強剛度時，s會有顯著的優(yōu)化，但是剛度過大時，s會增加，型面精度會變差。當E2=20 Gpa，μ2=0.35時，s會出現(xiàn)極小值，此時：s=0.002 56 mm

整體剛度無變化時的情況：

s=0.065 3 mm

對比兩組數(shù)據(jù)可以看出，當局部剛度增強時，在某些情形下會使s出現(xiàn)數(shù)量級的優(yōu)化。

3.5 局部加強剛度4節(jié)點加載圓薄板和等剛度4節(jié)點加載圓薄板對比

從之前的分析中可以看出，圓薄板在牽引點附近增強剛度后可以有效地改善型面精度。

對比局部加強剛度圓薄板和等剛度圓薄板的撓曲線圖形與標準拋物線，圖6為局部加強剛度圓薄板的撓曲線圖形與標準拋物線的對比圖在r～(7～13)之間的放大部分，圖7為等剛度圓薄板的撓曲線圖形與標準拋物線的對比圖在r～(4～16)之間的放大部分。

圖6 局部加強剛度圓薄板的撓曲線圖形與標準拋物線對比

圖7 等剛度圓薄板的撓曲線圖形與標準拋物線對比

根據(jù)圖6，圖7可以看出，等剛度圓薄板承受集中載荷的位置相比標準拋物面會出現(xiàn)較大的偏差。在集中載荷的牽引點附近增加局部剛度時，大大減小施加載荷位置的偏差，加載位置附近的撓曲線和標準拋物線非常相近，有效地改善了型面精度[9]。

4 結(jié)論

本文將天線反射面視為圓薄板，分析了圓薄板在軸對稱載荷下的小變形。使用圓薄板變形后的撓曲面與標準拋物面的均方誤差描述反射面的型面精度。對不同加載方式下的圓薄板的變形進行了分析，求出了撓曲線的解析解。分析了不同材料，不同加載方式的圓薄板的型面精度。

1)對于等剛度各向異性圓薄板，改變徑向和環(huán)向剛度比，對型面精度有一定的影響，均方誤差的極小值會出現(xiàn)在K=0.85。

2)對于等剛度各向同性圓薄板，改變圓薄板的泊松比，對于型面精度有一定的影響，均方誤差的極小值會在μ=0.2附近出現(xiàn)，但是僅改變材料泊松比無法對均方誤差進行數(shù)量級優(yōu)化。

3)對于等剛度各向同性圓薄板，增加牽引點數(shù)量可以有效減小均方誤差，改善型面精度，當牽引點布局合理時，會對均方誤差有數(shù)量級級別的優(yōu)化。

4)對于各向同性圓薄板，在牽引點附近增加局部剛度時會明顯改善型面精度，同時選擇合適的局部剛度，均方誤差會出現(xiàn)數(shù)量級級別的優(yōu)化，并且4個牽引點可以得到比8個牽引點型面精度更好的反射面。

文章主要分析了軸對稱載荷下的圓薄板變形曲面的小變形問題，對提高網(wǎng)狀可展開天線型面精度提供了一種新的選擇。研究結(jié)果對新型天線反射面的材料選擇和牽引點有一定的指導作用。文章的研究是基于圓薄板小變形假設(shè)，而實際的天線變形為大變形問題，研究過程應(yīng)采用圓薄板大變形理論，后續(xù)工作將針對大變形問題進行研究。