工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定的位姿點(diǎn)集優(yōu)化研究

呂仲艷，溫秀蘭，崔偉祥，喬貴方

(南京工程學(xué)院自動(dòng)化學(xué)院，江蘇南京 211167)

0 引言

自2017年，國(guó)家正式啟動(dòng)并實(shí)施“智能機(jī)器人”重點(diǎn)專項(xiàng)研發(fā)計(jì)劃，推進(jìn)我國(guó)工業(yè)機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展[1]。目前，工業(yè)機(jī)器人已大規(guī)模應(yīng)用于焊接、檢測(cè)、分揀等領(lǐng)域[2-3]。為使工業(yè)機(jī)器人更多的應(yīng)用于高端制造領(lǐng)域，要求機(jī)器人具有更高的精度，工業(yè)機(jī)器人的精度主要分為重復(fù)定位精度和絕對(duì)定位精度。目前，工業(yè)機(jī)器人的重復(fù)定位精度可達(dá)到0.02～0.1 mm，而絕對(duì)定位精度僅為mm級(jí)，無(wú)法滿足高端制造領(lǐng)域的精度要求。工業(yè)機(jī)器人參數(shù)誤差主要分為關(guān)節(jié)誤差、運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差和非運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差[4]。其中，運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差占總誤差的80%以上[5]，通過(guò)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定能夠有效地提高工業(yè)機(jī)器人的絕對(duì)定位精度[6]。

運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)準(zhǔn)確性與測(cè)量位姿點(diǎn)的選擇有關(guān)[7]。M. R. Driels和U. S. Pathre[8]研究了影響機(jī)器人標(biāo)定的因素，證實(shí)了合理選擇測(cè)量位姿可以有效提高機(jī)器人標(biāo)定的魯棒性。如果所選位姿集的位置誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)不敏感，那么傳感器噪聲等非運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差就會(huì)對(duì)末端位姿誤差起主要作用，從而降低了運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的標(biāo)定精度。因此，在測(cè)量前選取最優(yōu)的位姿點(diǎn)集，可以提高末端位置誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的敏感程度，提高絕對(duì)位置精度和標(biāo)定結(jié)果的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[9]根據(jù)誤差模型的擴(kuò)展雅克比矩陣的奇異值提出可觀測(cè)指數(shù)O1～O5，可以用來(lái)衡量運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差在總誤差中的敏感度。文獻(xiàn)[10]研究表示5個(gè)可觀測(cè)指數(shù)的作用不同，其選擇方式主要與實(shí)驗(yàn)?zāi)康挠嘘P(guān)，當(dāng)以參數(shù)方差最小化為目標(biāo)時(shí)，O1是最優(yōu)準(zhǔn)則，且O1是一個(gè)在任何非奇異線性變換下都不變的指標(biāo)；當(dāng)以最小化末端執(zhí)行器位置的不確定性為目標(biāo)時(shí)，O3是最優(yōu)準(zhǔn)則?？筛鶕?jù)不同的實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，選擇合適的可觀測(cè)指數(shù)。

為優(yōu)化工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)的準(zhǔn)確性，提高標(biāo)定結(jié)果的穩(wěn)定性，需要尋找可觀測(cè)指數(shù)最大的一組位姿集。D. Daney[11]等提出了迭代位姿搜索算法(iterative one-by-one pose search，IOOPS)，該算法可用于在無(wú)限但有界或有限位姿集中搜索給定數(shù)目的最優(yōu)位姿，其主要局限性在于存在局部收斂問(wèn)題。G. Xiong[12]基于隨機(jī)搜索技術(shù)提出了改進(jìn)的序列向前浮動(dòng)搜索算法，使其能夠在狹窄的空間內(nèi)搜索最優(yōu)位姿。在實(shí)際測(cè)量工作中，測(cè)量設(shè)備的精度、測(cè)量設(shè)備與機(jī)器人之間的距離、機(jī)器人本身的精度，都有可能影響位姿點(diǎn)集優(yōu)化的實(shí)驗(yàn)效果。A. Horne和L. Notash的實(shí)驗(yàn)分別采用最優(yōu)位姿集與隨機(jī)位姿集標(biāo)定工業(yè)機(jī)器人，其標(biāo)定結(jié)果差別很小[13]。J. Zhou等的實(shí)驗(yàn)表明，選用最優(yōu)位姿標(biāo)定的效果更好[14]。由此可見(jiàn)，設(shè)計(jì)合理的實(shí)驗(yàn)條件對(duì)位姿點(diǎn)集優(yōu)化研究尤為重要。

為提高標(biāo)定結(jié)果穩(wěn)定性和絕對(duì)位置精度，本文提出采用隨機(jī)搜索算法和改進(jìn)最優(yōu)位姿點(diǎn)集選擇算法確定最優(yōu)位姿集，并通過(guò)位姿點(diǎn)集標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，分析比較最優(yōu)位姿集與隨機(jī)位姿集在標(biāo)定前后、測(cè)試前后的絕對(duì)位置精度以及辨識(shí)出的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的泛化能力，旨在優(yōu)化標(biāo)定位姿點(diǎn)集，提高標(biāo)定精度和標(biāo)定結(jié)果穩(wěn)定性。

1 機(jī)器人標(biāo)定系統(tǒng)搭建

以EFORT ER10L-C10工業(yè)機(jī)器人為研究對(duì)象，搭建如圖1所示的工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定系統(tǒng)。該系統(tǒng)主要包括：EFORT ER10L-C10機(jī)器人、激光跟蹤儀Leica AT960、Leica T-Mac、Spatial Analyzer(SA)測(cè)量軟件及計(jì)算機(jī)，其中Leica AT960激光跟蹤儀的測(cè)量精度為±(15 μm+6 μm/m)。在SA軟件中將機(jī)器人的基坐標(biāo)系作為參考坐標(biāo)系，以坐標(biāo)值(1 300，0，900)mm為中心點(diǎn)，設(shè)定操作空間為2 000 mm×1 800 mm×1 700 mm的正方體。在操作空間內(nèi)隨機(jī)生成150個(gè)標(biāo)定點(diǎn)，記為γc，組成可選位姿集U，另外生成50個(gè)測(cè)試點(diǎn)，記為γt，盡可能使位姿點(diǎn)均勻分布在操作空間內(nèi)。其空間分布情況如圖2所示，其中深色點(diǎn)為γc，淺色點(diǎn)為γt。

圖1 工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定系統(tǒng)

2 可觀測(cè)指數(shù)

2.1 位姿誤差模型建立

采用MDH正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[15]，其相鄰連桿間的運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式為

Ai=R(xi,αi)D(xi,ai)R(zi,θi)D(zi,di)R(yi,βi)

(1)

式中：αi為連桿轉(zhuǎn)角，rad；ai為連桿長(zhǎng)度,mm；θi為關(guān)節(jié)角,rad；di為連桿偏距,mm；βi為連桿扭角(相鄰兩平行關(guān)節(jié)間繞yi軸旋轉(zhuǎn)的角度)，rad。

EFORT ER10L-C10機(jī)器人共有6個(gè)關(guān)節(jié)，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，將基坐標(biāo)系建立在機(jī)器人1軸與2軸的軸線交點(diǎn)上，可以通過(guò)式(1)得到機(jī)器人的末端位姿矩陣：

T6=A1A2A3…A6

(2)

在正運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型中，機(jī)器人末端名義位姿矩陣為Tname，當(dāng)MDH參數(shù)存在誤差時(shí)，機(jī)器人末端實(shí)際位姿矩陣為Treal，末端位姿誤差為：

(3)

式中：ΔR為機(jī)器人末端的姿態(tài)誤差，ΔR=[ΔnΔoΔa]；Δp為機(jī)器人末端的位置誤差。

建立位姿誤差模型[16]：

E=HΔη

(4)

2.2 可觀測(cè)指數(shù)選擇

運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定精度和穩(wěn)定性受測(cè)量點(diǎn)的選擇和空間分布的影響，可采用可觀測(cè)指數(shù)作為優(yōu)化位姿點(diǎn)集的參考指標(biāo)。常用的可觀測(cè)指數(shù)有O1，O2，O3，O4，O5，均由擴(kuò)展雅克比矩陣H的奇異值計(jì)算得到，其計(jì)算公式如下[9]：

(5)

(6)

O3=σL

(7)

(8)

(9)

式中：n為位姿點(diǎn)個(gè)數(shù)；L為待辨識(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)個(gè)數(shù)；σi(i=1,…,L)為擴(kuò)展雅可比矩陣的奇異值，且σ1>σ2>…>σL。

在幾何意義上，擴(kuò)展雅克比矩陣H表示球體到超橢球體的映射，奇異值為超橢球體的各半軸長(zhǎng)度?？捎^測(cè)指數(shù)中，O1、O3、O5是通過(guò)增大橢球體的體積，使得末端位姿誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差越敏感，更有利于辨識(shí)。O2和O4是通過(guò)減小橢球體的偏心率，使橢球體接近于球體，那么總誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差的敏感程度越強(qiáng)，有利于提高運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)穩(wěn)定性。

可觀測(cè)指標(biāo)的選擇方式很大程度上取決于機(jī)器人的模型。在機(jī)器人誤差模型中，不同的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，其量綱可能不同，可以對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行歸一化處理?？捎^測(cè)指數(shù)O1是一個(gè)在任何非奇異線性變換下都不變的可觀測(cè)指標(biāo)[10]，因此，本文選擇O1作為優(yōu)化位姿點(diǎn)集的評(píng)價(jià)指標(biāo)。

3 位姿點(diǎn)集優(yōu)化

3.1 基于隨機(jī)搜索算法的最優(yōu)位姿點(diǎn)數(shù)確定

在位姿誤差模型中，每個(gè)測(cè)量位姿點(diǎn)的雅克比矩陣有12個(gè)分量(nx，ny，nz，ox，oy，oz，ax，ay，az，px，py，pz)，可以提供12個(gè)方程。根據(jù)Khalil[17]對(duì)雅克比矩陣進(jìn)行QR分解的方法，去除冗余參數(shù)后，EFORT ER10L-C10機(jī)器人共有24個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，標(biāo)定位姿點(diǎn)數(shù)應(yīng)滿足n≥24/12。在運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)過(guò)程中，位姿點(diǎn)數(shù)越多，參數(shù)辨識(shí)精度就越高，然而，若位姿點(diǎn)數(shù)過(guò)多，則會(huì)造成模型過(guò)度擬合，同時(shí)增加計(jì)算量。那么，確定最優(yōu)位姿點(diǎn)的數(shù)量是位姿點(diǎn)集優(yōu)化過(guò)程中首先需要解決的問(wèn)題。

采用隨機(jī)搜索算法從標(biāo)定位姿集中隨機(jī)選取n個(gè)位姿點(diǎn)，計(jì)算其可觀測(cè)指數(shù)O1，逐漸增加位姿點(diǎn)數(shù)(2≤n≤150)，觀察O1的數(shù)值變化情況，當(dāng)O1變化趨于穩(wěn)定時(shí)，對(duì)應(yīng)的位姿點(diǎn)數(shù)即為最優(yōu)位姿集的位姿點(diǎn)數(shù)目，記為m。

3.2 改進(jìn)最優(yōu)點(diǎn)集選擇算法

為優(yōu)化最優(yōu)點(diǎn)集選擇算法，提高算法的運(yùn)行效率，對(duì)IOOPS算法做出改進(jìn)，其流程如圖3所示，參數(shù)說(shuō)明見(jiàn)表1。

表1 改進(jìn)最優(yōu)點(diǎn)集選擇算法參數(shù)說(shuō)明

圖3 改進(jìn)最優(yōu)點(diǎn)集選擇算法流程圖

其中，Add算法步驟如下：從UR中依次取出位姿點(diǎn)ζi(i=1,2,…,X)，計(jì)算max{O1(γm+ζi)}，滿足條件的ζi則記為ζ+，已選位姿集γm+1=γm+ζ+；Remove算法步驟如下：從γm+1中依次移除位姿點(diǎn)ζi(i=1,2,…,m+1)，計(jì)算max{O1(γm+1-ζi)}，滿足條件的ζi記為ζ-，已選位姿集γm=γm+1-ζ-。

IOOPS算法中的初始位姿集γo是隨機(jī)選取的[13]，那么γo的O1值也是不確定的，這將會(huì)影響最優(yōu)點(diǎn)集選擇算法的運(yùn)行效率。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，以U中單點(diǎn)的O1值為依據(jù)降序排列，選取前m個(gè)點(diǎn)作為上述算法的初始位姿集γo，比較隨機(jī)初始位姿集與優(yōu)化初始位姿集下最優(yōu)點(diǎn)集選擇算法的迭代次數(shù)和運(yùn)行時(shí)間。

4 位姿點(diǎn)集優(yōu)化實(shí)驗(yàn)

4.1 算法實(shí)現(xiàn)

4.1.1 隨機(jī)搜索算法實(shí)現(xiàn)

采用隨機(jī)搜索算法在150個(gè)標(biāo)定點(diǎn)中隨機(jī)選取2個(gè)位姿點(diǎn)，計(jì)算該位姿集的可觀測(cè)指數(shù)O1。為減小選點(diǎn)的隨機(jī)性，該步驟重復(fù)50次，取平均值作為該位姿點(diǎn)數(shù)下的O1值。逐漸增大位姿點(diǎn)數(shù)n(2≤n≤150)，觀察O1值在不同位姿點(diǎn)數(shù)下的變化情況，如圖4所示。當(dāng)位姿點(diǎn)數(shù)達(dá)到55時(shí)，O1值趨于穩(wěn)定。因此，確定最優(yōu)位姿點(diǎn)數(shù)m為55。

圖4 可觀測(cè)指數(shù)O1值變化圖

4.1.2 改進(jìn)最優(yōu)點(diǎn)集選擇算法實(shí)現(xiàn)

表2 不同初始位姿集算法的運(yùn)行數(shù)據(jù)

4.2 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

4.2.1 標(biāo)定結(jié)果

在圖1的工業(yè)機(jī)器人標(biāo)定系統(tǒng)中，將激光跟蹤儀AT960放置在EFORT ER10L-C10機(jī)器人的前方3 m左右處，保證激光跟蹤儀可以對(duì)機(jī)器人進(jìn)行精準(zhǔn)測(cè)量，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中保持激光跟蹤儀的位置固定不變。在SA軟件中建立工業(yè)機(jī)器人的基坐標(biāo)系和末端坐標(biāo)系，測(cè)量150個(gè)標(biāo)定點(diǎn)和50個(gè)測(cè)試點(diǎn)的實(shí)際位姿。

表3 標(biāo)定點(diǎn)集的平均絕對(duì)位置誤差 mm

表4 測(cè)試點(diǎn)集的平均、最大絕對(duì)位置誤差 mm

圖5 標(biāo)定后、測(cè)試后的平均絕對(duì)位置誤差和O1值

圖6 各位姿集標(biāo)定后、測(cè)試后絕對(duì)位置誤差的絕對(duì)差值

4.2.2 結(jié)論驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證最優(yōu)位姿集的標(biāo)定精度和辨識(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的泛化能力，以Staubli TX60機(jī)器人為研究對(duì)象，在其操作空間內(nèi)生成150個(gè)標(biāo)定點(diǎn)和50個(gè)測(cè)試點(diǎn)。采用同樣的算法和實(shí)驗(yàn)方案，確定最優(yōu)位姿集點(diǎn)數(shù)為52，不同初始位姿集下最優(yōu)位姿集優(yōu)化算法的運(yùn)行時(shí)間和迭代次數(shù)見(jiàn)表5。由表5可知：采用優(yōu)化初始位姿集可以將算法的運(yùn)行效率提高10%。

表5 Staubli不同初始位姿集算法運(yùn)行數(shù)據(jù)

表6 Staubli標(biāo)定點(diǎn)集的平均絕對(duì)位置誤差 mm

表7 測(cè)試點(diǎn)集的平均、最大絕對(duì)位置誤差 mm

圖7 Staubli標(biāo)定后、測(cè)試后的平均絕對(duì)位置誤差和O1值

5 結(jié)論

考慮到現(xiàn)有標(biāo)定方法是在機(jī)器人設(shè)定操作空間內(nèi)隨機(jī)選擇標(biāo)定點(diǎn)，這將導(dǎo)致辨識(shí)出的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差不盡相同，標(biāo)定結(jié)果不穩(wěn)定。本文提出位姿點(diǎn)集優(yōu)化方法，通過(guò)在EFORT ER10L-C10和Staubli TX60機(jī)器人上進(jìn)行標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明：在不同型號(hào)的機(jī)器人上，采用優(yōu)化初始位姿集能夠?qū)⒏倪M(jìn)最優(yōu)點(diǎn)集選擇算法的運(yùn)行效率提高約12%；基于最優(yōu)位姿集測(cè)試后的平均絕對(duì)位置精度比隨機(jī)位姿集提高約9%；采用最優(yōu)位姿集標(biāo)定，可以辨識(shí)出全局參數(shù)，而選擇隨機(jī)位姿集標(biāo)定，只能辨識(shí)出局部參數(shù)；EFORT ER10L-C10和Staubli TX60機(jī)器人最優(yōu)位姿集辨識(shí)出的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的泛化能力比隨機(jī)位姿集分別提高了91%、53%。位姿點(diǎn)集優(yōu)化研究有利于獲得泛化能力更強(qiáng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，使標(biāo)定結(jié)果更加穩(wěn)定，進(jìn)一步提高機(jī)器人標(biāo)定精度，適于在大范圍、高精度機(jī)器人作業(yè)中推廣應(yīng)用。