基于激光多普勒的杯形波動(dòng)陀螺頻率裂解測(cè)量

李靖軒，孫小燕，于亞龍，林 星，胡友旺

(1.高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南長(zhǎng)沙 410083；2.中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410083)

0 引言

杯形波動(dòng)陀螺是固體波動(dòng)陀螺的一種，利用諧振子的振動(dòng)產(chǎn)生駐波，進(jìn)而敏感轉(zhuǎn)動(dòng)角度產(chǎn)生哥氏效應(yīng)，實(shí)現(xiàn)角速度的測(cè)量[1-2]。與傳統(tǒng)的機(jī)械轉(zhuǎn)子陀螺相比，杯形波動(dòng)陀螺的結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)單，具有精度高、穩(wěn)定性好、使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)。

由于杯形波動(dòng)陀螺的振動(dòng)幅度較小，且附加質(zhì)量會(huì)對(duì)陀螺的振動(dòng)特性產(chǎn)生影響，因此頻率的測(cè)量應(yīng)盡量采用非接觸式的方法。激光多普勒測(cè)振儀作為一種典型的非接觸式測(cè)量?jī)x器，具有頻率響應(yīng)范圍大、動(dòng)態(tài)范圍寬、高精度、高分辨率等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于微器件的振動(dòng)測(cè)量[3-4]。

本文設(shè)計(jì)了掃頻激勵(lì)、單頻激勵(lì)2種激勵(lì)方案，在周向不同方位對(duì)陀螺進(jìn)行激振，利用激光多普勒測(cè)振儀進(jìn)行振動(dòng)信號(hào)的采集，實(shí)現(xiàn)了陀螺頻率裂解的準(zhǔn)確測(cè)量，并對(duì)陀螺的低頻軸與高頻軸進(jìn)行了區(qū)分，為陀螺的調(diào)諧與性能表征提供了支持。

1 測(cè)試原理

1.1 陀螺基本工作原理

杯形波動(dòng)陀螺有驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)2個(gè)工作模態(tài)，如圖1所示，兩者在周向相隔45°。陀螺利用哥氏效應(yīng)實(shí)現(xiàn)角速度的測(cè)量，當(dāng)激勵(lì)位于驅(qū)動(dòng)模態(tài)方位、激勵(lì)的頻率與諧振子的固有頻率相同時(shí)，驅(qū)動(dòng)模態(tài)的駐波被激勵(lì)出來(lái)，諧振子做四波腹運(yùn)動(dòng)；當(dāng)有軸向角速度輸入時(shí)，陀螺諧振子上振動(dòng)各點(diǎn)受到哥氏力作用，檢測(cè)模態(tài)被激勵(lì)出來(lái)[5-7]。

圖1 杯形波動(dòng)陀螺工作模態(tài)

將陀螺諧振子視為只在自身平面內(nèi)振動(dòng)的薄彈性環(huán)，建立諧振子的環(huán)形模型。克里莫夫等人證明，受外分布載荷作用時(shí)，圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以表示為如下形式[8]：

(1)

假設(shè)作用于諧振子的激勵(lì)力為F=Asinωt，由于諧振子沿切向變形很小，可近似認(rèn)為pv=0，則可得到pw的表達(dá)式為[9]

pw=f(φ)Asinωt

(2)

式中

式中θ表示激勵(lì)作用范圍。

將f(φ)在[0,π]范圍內(nèi)進(jìn)行傅里葉展開，由于僅分析諧振子在工作模態(tài)下的振動(dòng)，因此只保留圓周角的二次諧波，得到激勵(lì)法向分量表達(dá)式為

(3)

代入式(1)，則圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(4)

該方程的解可以表示為以下形式：

w(φ,t)=p(t)cos2φ+q(t)sin2φ

(5)

將式(5)代入式(4)，使用布勃諾夫-加廖爾金法，可以求得諧振子在外部激勵(lì)作用下的邊緣位移為

w(φ,t)=k2sinωtcos2φ+k4sinωtsin2φ

(6)

當(dāng)沒(méi)有角速度輸入時(shí)，諧振子邊緣位移只有k2項(xiàng)，只在驅(qū)動(dòng)模態(tài)振動(dòng)；當(dāng)有角速度輸入時(shí)，諧振子的運(yùn)動(dòng)則是工作模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)振動(dòng)的合成。

理想情況下，兩工作模態(tài)的諧振頻率是一致的。但受諧振子材料不均勻性、加工誤差等因素影響，諧振子工作時(shí)驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)的固有頻率間存在差值，稱之為頻率裂解[10-11]。此時(shí)由于質(zhì)量偏差四次諧波的存在，理想諧振子中的駐波被破壞而發(fā)生進(jìn)動(dòng)，諧振子的振動(dòng)過(guò)程可以表示為2個(gè)諧波振動(dòng)和的形式[12]：

w(Φ,T)=Acos2φcos2φ0cosω1t+Asin2φsin2φ0cosω2t

(7)

式中：A是諧振子的振動(dòng)幅值；φ0是波相對(duì)于低頻軸的方位；ω1、ω2分別是兩工作模態(tài)的振動(dòng)頻率。

當(dāng)激勵(lì)不位于驅(qū)動(dòng)模態(tài)或敏感模態(tài)所在方位，而是處于兩工作模態(tài)之間時(shí)，陀螺的振動(dòng)是兩工作模態(tài)振動(dòng)的疊加，同時(shí)包含2個(gè)模態(tài)的振動(dòng)信息，通過(guò)采集此時(shí)的振動(dòng)信號(hào)并進(jìn)行頻譜分析，即可實(shí)現(xiàn)頻率裂解的測(cè)量。

1.2 激光多普勒測(cè)振原理

激光多普勒測(cè)振儀利用光的多普勒效應(yīng)測(cè)量物體表面的位移和速度[13-14]，其工作原理如圖2所示。激光源發(fā)出的激光束，由分光鏡分解為同頻率同相位的測(cè)量光束和參考光束；測(cè)量光束通過(guò)透鏡聚焦在被測(cè)物體的振動(dòng)表面，光波的頻率發(fā)生變化，經(jīng)振動(dòng)表面反射至光敏元件處；通過(guò)計(jì)算測(cè)量光束與參考光束的頻差，即可求得被測(cè)件的振動(dòng)速度：

圖2 激光多普勒測(cè)振原理

(8)

式中:Δf為測(cè)量光束與參考光束的頻差;v為被測(cè)結(jié)構(gòu)振動(dòng)速度；λ為激光波長(zhǎng)。

2 測(cè)量方案設(shè)計(jì)

2.1 激勵(lì)方式與激勵(lì)信號(hào)的選取

只有當(dāng)激勵(lì)位于兩工作模態(tài)之間時(shí)，采集的振動(dòng)信號(hào)中才同時(shí)包含2個(gè)模態(tài)的振動(dòng)信息。杯形波動(dòng)陀螺通常采用壓電驅(qū)動(dòng)的方式，且壓電片的粘貼位置與兩工作模態(tài)所在方位一致，無(wú)法實(shí)現(xiàn)2個(gè)工作模態(tài)的同時(shí)激振，因此必須選擇其他的激勵(lì)方式。

常見的非接觸式激勵(lì)方式主要有聲激勵(lì)、靜電激勵(lì)和磁激勵(lì)。由于聲激勵(lì)裝置簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)，且當(dāng)激勵(lì)源與陀螺距離較近時(shí)，可以認(rèn)為激勵(lì)源產(chǎn)生的聲波具有較好的指向性，因此本文選擇麥克風(fēng)作為陀螺的激勵(lì)源。為保證陀螺被充分激振，所選用的麥克風(fēng)應(yīng)具有充分的輸出功率，這使得麥克風(fēng)尺寸較大，因此在麥克風(fēng)前設(shè)置了一中心開有圓孔的擋板，以保證聲波準(zhǔn)確的激勵(lì)目標(biāo)位置。

常用的激勵(lì)信號(hào)有正弦激勵(lì)、沖擊激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)，其中，沖擊激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)一般用于激勵(lì)出被測(cè)件的所有振動(dòng)模態(tài)[15]。由于只關(guān)心陀螺兩工作模態(tài)的諧振頻率，無(wú)需激發(fā)其他模態(tài)，且正弦信號(hào)易于控制，因此選擇正弦信號(hào)作為陀螺的激勵(lì)信號(hào)。

2.2 實(shí)驗(yàn)裝置

激光多普勒振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)如圖3所示，主要由信號(hào)發(fā)生器、麥克風(fēng)、激光多普勒測(cè)振儀、計(jì)算機(jī)組成。信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生頻率和幅值一定的激勵(lì)信號(hào)，施加到麥克風(fēng)的兩驅(qū)動(dòng)端，使麥克風(fēng)產(chǎn)生高頻振動(dòng)。麥克風(fēng)在振動(dòng)過(guò)程中對(duì)周圍的空氣產(chǎn)生周期性壓力，傳導(dǎo)至陀螺諧振子的目標(biāo)激勵(lì)位置，實(shí)現(xiàn)諧振子的驅(qū)動(dòng)。諧振子的振動(dòng)信號(hào)由激光多普勒測(cè)振儀采集，并傳送至計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析處理，實(shí)現(xiàn)陀螺頻率的測(cè)量。

(a)原理示意圖

(b)實(shí)驗(yàn)裝置圖圖3 激光多普勒振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)

3 實(shí)驗(yàn)與討論

測(cè)量陀螺的頻率裂解時(shí)，根據(jù)激勵(lì)源與陀螺的相對(duì)位置，既可以同時(shí)激勵(lì)2個(gè)工作模態(tài)，同時(shí)測(cè)量?jī)赡B(tài)的諧振頻率，也可以單獨(dú)激勵(lì)2個(gè)工作模態(tài)，分別測(cè)量?jī)赡B(tài)的諧振頻率。針對(duì)上述兩種情況，本文采用掃頻信號(hào)、單頻信號(hào)兩種激勵(lì)信號(hào)，分別開展實(shí)驗(yàn)。

3.1 同時(shí)激勵(lì)兩工作模態(tài)

掃頻激勵(lì)是用頻率緩慢變化的正弦信號(hào)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行激勵(lì)，當(dāng)頻率變化率小時(shí)，可以認(rèn)為實(shí)際的測(cè)量數(shù)據(jù)具有穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特征；當(dāng)響應(yīng)出現(xiàn)最大幅值時(shí)，即表明是該振動(dòng)模態(tài)的固有頻率。測(cè)量時(shí)，首先在大頻率范圍內(nèi)進(jìn)行粗掃頻，確定陀螺的大致諧振頻率；然后在諧振頻率附近進(jìn)行細(xì)掃頻，實(shí)現(xiàn)頻率裂解的測(cè)量，細(xì)掃頻時(shí)主要參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 掃頻主要參數(shù)值設(shè)置

掃頻激勵(lì)所測(cè)得的時(shí)域信號(hào)及對(duì)應(yīng)頻域信號(hào)如圖4所示。隨著激勵(lì)信號(hào)頻率的增長(zhǎng)，陀螺諧振子的振動(dòng)速度不斷增大，并出現(xiàn)第一個(gè)峰值，該峰所對(duì)應(yīng)的頻率即為一個(gè)模態(tài)的諧振頻率；隨著激勵(lì)信號(hào)頻率繼續(xù)增大，由于逐漸遠(yuǎn)離第一個(gè)模態(tài)的諧振頻率，導(dǎo)致振動(dòng)速度減小；當(dāng)激勵(lì)頻率靠近第二個(gè)模態(tài)諧振點(diǎn)時(shí)，振動(dòng)速度再次增大，直至到達(dá)諧振點(diǎn)而出現(xiàn)第二個(gè)峰值。

(a)時(shí)域圖

(b)頻域圖圖4 掃頻激勵(lì)雙模態(tài)

單頻激勵(lì)信號(hào)的頻率固定、幅值不變，具有激勵(lì)功率大、信噪比高、信號(hào)穩(wěn)定的特點(diǎn)。測(cè)量時(shí)，設(shè)置單頻信號(hào)的頻率為5 100 Hz，略高于陀螺的諧振頻率；當(dāng)陀螺受激振動(dòng)一段時(shí)間后，撤除激勵(lì)信號(hào)，使陀螺作衰減振動(dòng)，并由激光多普勒檢測(cè)該過(guò)程的振動(dòng)信號(hào)。在衰減過(guò)程中，陀螺的振動(dòng)頻率會(huì)經(jīng)過(guò)兩工作模態(tài)固有頻率而發(fā)生諧振，振幅顯著增加，通過(guò)對(duì)信號(hào)進(jìn)行FFT變換，即可實(shí)現(xiàn)頻率裂解的測(cè)量。

單頻激勵(lì)所測(cè)得的時(shí)域信號(hào)及對(duì)應(yīng)頻域信號(hào)如圖5所示。初始時(shí)段，由于陀螺振動(dòng)頻率遠(yuǎn)離兩模態(tài)諧振頻率，所以振動(dòng)很微弱；隨著衰減振動(dòng)的進(jìn)行，出現(xiàn)了2個(gè)振動(dòng)速度顯著增加的峰值，這2個(gè)峰所對(duì)應(yīng)振動(dòng)頻率即為2個(gè)模態(tài)的諧振頻率。由于衰減過(guò)程中能量損耗較快，導(dǎo)致時(shí)域第二個(gè)峰值明顯小于第一個(gè)峰值。

(a)時(shí)域圖

(b)頻域圖圖5 單頻激勵(lì)雙模態(tài)

采用上述兩種激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行多次測(cè)量，所得數(shù)據(jù)如表2所示

表2 同時(shí)激勵(lì)兩模態(tài)頻率測(cè)量值 Hz

為衡量?jī)煞N激勵(lì)方案的測(cè)量穩(wěn)定性，引入標(biāo)準(zhǔn)差作為評(píng)判依據(jù)。掃頻激勵(lì)方式下，A、B模態(tài)頻率測(cè)量值的均值分別為5 005.742 Hz和5 006.935 Hz，標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.026 7Hz和0.020 6 Hz；單頻激勵(lì)方式下，A、B模態(tài)頻率測(cè)量值的均值分別為5 005.717 Hz和5 006.983 Hz，標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.068 7 Hz和0.146 2 Hz。單頻激勵(lì)較掃頻激勵(lì)的標(biāo)準(zhǔn)差更大，主要是由于陀螺在空氣中振動(dòng)衰減很快，導(dǎo)致采樣時(shí)長(zhǎng)較短，而FFT變換的分辨率與采樣時(shí)長(zhǎng)成反比，使得分辨率較低，可通過(guò)真空環(huán)境測(cè)量的方式加以改善。

掃頻激勵(lì)、單頻激勵(lì)所測(cè)頻率均值基本一致，頻率裂解分別為1.193 Hz，1.266 Hz，兩者的測(cè)量結(jié)果具有較好的一致性。

3.2 分別激勵(lì)兩工作模態(tài)

將麥克風(fēng)分別對(duì)準(zhǔn)陀螺的2個(gè)工作模態(tài)，采用掃頻信號(hào)、單頻信號(hào)分別進(jìn)行激勵(lì)，所測(cè)得的數(shù)據(jù)如圖6、圖7所示，此時(shí)，陀螺的振動(dòng)中只包含某一模態(tài)的振動(dòng)信息，因此時(shí)域圖中的振動(dòng)速度只出現(xiàn)單個(gè)峰值。

采用2種激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行多次測(cè)量，所得數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 分別激勵(lì)兩模態(tài)頻率測(cè)量值 Hz

掃頻激勵(lì)下，A、B模態(tài)頻率測(cè)量值的均值分別為5 005.877 Hz、5 006.957 Hz，標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.017 0 Hz、0.026 2 Hz；單頻激勵(lì)下，A、B模態(tài)頻率測(cè)量值的均值分別為5 005.950 Hz、5 007.067 Hz，標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.050 0 Hz、0.047 1 Hz。2種激勵(lì)方案仍具有較好的測(cè)量穩(wěn)定性。掃頻激勵(lì)、單頻激勵(lì)所測(cè)頻率均值基本一致，頻率裂解分別為1.080 Hz、1.117 Hz，頻率裂解的測(cè)量結(jié)果仍具有較好的一致性。

在上述2組實(shí)驗(yàn)中，單頻激勵(lì)方案由于采樣時(shí)間短，頻率分辨率較低，因此測(cè)量穩(wěn)定性較掃頻激勵(lì)略差，但能夠?qū)崿F(xiàn)諧振頻率與頻率裂解的快速定位；掃頻激勵(lì)方案頻率分辨率較高，測(cè)量穩(wěn)定性較好，但前期一般需多次粗掃頻以確定細(xì)掃頻的參數(shù)配置，且單次測(cè)量耗時(shí)較長(zhǎng)?？梢詫煞N激勵(lì)方案相結(jié)合，先通過(guò)單頻激勵(lì)，實(shí)現(xiàn)諧振頻率與頻率裂解的快速確定；再通過(guò)掃頻激勵(lì)，實(shí)現(xiàn)諧振頻率與頻率裂解的準(zhǔn)確測(cè)量，從而在保證測(cè)量準(zhǔn)確性的同時(shí)，使測(cè)量效率得到提高。

(a)A模態(tài)時(shí)域圖

(b)A模態(tài)頻域圖

(c)B模態(tài)時(shí)域圖

(d)B模態(tài)頻域圖圖6 掃頻激勵(lì)單模態(tài)

(a)A模態(tài)時(shí)域圖

(b)A模態(tài)頻域圖

(c)B模態(tài)時(shí)域圖

(d)B模態(tài)頻域圖圖7 單頻激勵(lì)單模態(tài)

3.3 低頻軸與高頻軸的區(qū)分

在采用去除質(zhì)量式方法對(duì)陀螺進(jìn)行調(diào)諧時(shí)，需要在陀螺諧振子的低頻軸位置進(jìn)行材料去除，使低頻軸的固有頻率增大。因此需要對(duì)低頻軸與高頻軸進(jìn)行區(qū)分，以便在調(diào)諧前明確修調(diào)位置；在調(diào)諧后判斷是否發(fā)生高低頻軸的交換，避免過(guò)修調(diào)現(xiàn)象的發(fā)生。

低頻軸與高頻軸的區(qū)分可以在3.1節(jié)掃頻方式測(cè)量頻率裂解完成后進(jìn)行。將諧振子轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度，則激勵(lì)會(huì)靠近某一工作模態(tài)并遠(yuǎn)離另一模態(tài)，根據(jù)式(7)，靠近的模態(tài)時(shí)域幅值會(huì)增大，遠(yuǎn)離的模態(tài)時(shí)域幅值會(huì)減小。由于掃頻方式為低頻率向高頻率步進(jìn)，因此，第一個(gè)峰對(duì)應(yīng)低頻軸，第二個(gè)峰對(duì)應(yīng)高頻軸；設(shè)第一個(gè)峰與第二個(gè)峰的幅值之比為β，當(dāng)β<1時(shí)，說(shuō)明激勵(lì)在靠近高頻軸；當(dāng)β>1時(shí)，說(shuō)明激勵(lì)在靠近低頻軸。按照表1的掃頻參數(shù)對(duì)諧振子進(jìn)行激勵(lì)，同時(shí)利用激光多普勒測(cè)振儀記錄諧振子的時(shí)域振動(dòng)信號(hào)，所得波形如圖8所示。

(a)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)諧振子

(b)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)諧振子圖8 低頻軸與高頻軸的區(qū)分

當(dāng)陀螺諧振子沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)一定角度時(shí)，得到圖8(a)所示波形。此時(shí)β<1，說(shuō)明激勵(lì)在遠(yuǎn)離低頻軸而靠近高頻軸，所以低頻軸在激勵(lì)的順時(shí)針?lè)较?。也可以將陀螺諧振子沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)一定角度，測(cè)量結(jié)果如圖8(b)所示。此時(shí)β>1，說(shuō)明激勵(lì)在靠近低頻軸而遠(yuǎn)離高頻軸，所以低頻軸在激勵(lì)的順時(shí)針?lè)较?。諧振子轉(zhuǎn)動(dòng)方向的不同對(duì)低頻軸與高頻軸的判斷結(jié)果沒(méi)有影響。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)杯形波動(dòng)陀螺的頻率裂解測(cè)量問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了掃頻激勵(lì)、單頻激勵(lì)兩種激勵(lì)方案，在周向不同位置實(shí)現(xiàn)陀螺的激振，并利用激光多普勒測(cè)振儀實(shí)現(xiàn)振動(dòng)信號(hào)的采集。測(cè)量結(jié)果表明，在同時(shí)激勵(lì)兩工作模態(tài)或分別激勵(lì)兩工作模態(tài)情況下，兩種激勵(lì)方案均能夠?qū)崿F(xiàn)陀螺諧振頻率與頻率裂解的穩(wěn)定測(cè)量，且測(cè)量結(jié)果具有較好的一致性；在此基礎(chǔ)上，還對(duì)陀螺的低頻軸與高頻軸進(jìn)行了區(qū)分，為陀螺的調(diào)諧與性能表征提供了保障。