基于斐波那契數(shù)列的雙通道絕對(duì)式時(shí)柵設(shè)計(jì)

瞿寶華，王陽(yáng)陽(yáng)，2，張?zhí)旌?，?敏

(1.重慶理工大學(xué)機(jī)械檢測(cè)技術(shù)與裝備教育部工程中心，重慶 400054；2.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

0 引言

隨著工業(yè)自動(dòng)化的不斷深入發(fā)展，時(shí)柵測(cè)量技術(shù)日益廣泛應(yīng)用于控制和測(cè)量系統(tǒng)，測(cè)量技術(shù)的進(jìn)步在一定程度上標(biāo)志著一個(gè)國(guó)家工程質(zhì)量的提高，對(duì)現(xiàn)代發(fā)展具有深遠(yuǎn)的意義[1]。絕對(duì)式軸角傳感器由于自身的原理特性使其具備了位置信息可實(shí)現(xiàn)直接讀取和斷電保護(hù)等功能。目前的絕對(duì)式角位移傳感器有光電式、磁電式和時(shí)柵。

光電式絕對(duì)式軸角編碼器[2]原理為在圓周方向等量均分為一定量的區(qū)域。每個(gè)區(qū)域都只存在唯一區(qū)號(hào)代碼，采用A/D模數(shù)轉(zhuǎn)換器實(shí)現(xiàn)每個(gè)分區(qū)的中心位置精確定位。但是，由于光電式絕對(duì)式編碼器需要對(duì)黑白條紋進(jìn)行分別識(shí)別，在油污嚴(yán)重的狀況下，很難實(shí)現(xiàn)對(duì)白色條紋的光學(xué)采樣，從而降低了光電式編碼器的精度等級(jí)。

絕對(duì)式磁電編碼器[3-4]采用雙通道形式，即在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上安裝同軸的粗機(jī)和精機(jī)，通過測(cè)量粗通道和精通道的轉(zhuǎn)動(dòng)角度反應(yīng)真實(shí)轉(zhuǎn)子位置角度。郝雙暉[5]等提出一種新型多極磁電軸角編碼器模型，基于雙碼道來(lái)實(shí)現(xiàn)角位移的絕對(duì)檢測(cè)和高分辨率細(xì)分。Y.Deguchi[6]等提出通過改變磁極數(shù)由兩極變?yōu)樗臉O和傳感器磁鐵的偏心旋轉(zhuǎn)，為絕對(duì)角檢測(cè)提供了新的方法。但是，絕對(duì)式磁電編碼器也存在缺點(diǎn)，比如在工況中產(chǎn)生脈沖式?jīng)_擊載荷、結(jié)構(gòu)尺寸大和硬件軟件價(jià)格昂貴。

針對(duì)上述的兩種絕對(duì)式編碼器很難滿足惡劣環(huán)境的需求，深化研究非調(diào)制式的低精度、低分辨力的增量式時(shí)柵傳感器[7-8]，按照調(diào)制式的工作原理，將兩組傳感器按照一定的“精機(jī)+精機(jī)”方案組合成高精度的絕對(duì)式時(shí)柵位移傳感器[9]。目前的絕對(duì)式時(shí)柵傳感器的組合方式仍以經(jīng)驗(yàn)方式建立，缺少理論依據(jù)的推導(dǎo)模型，科學(xué)性不強(qiáng)。

因此，絕對(duì)式時(shí)柵傳感器的精度也會(huì)受到組合結(jié)構(gòu)限制，如何確定“精機(jī)”的組合形式便成為了關(guān)鍵性問題。為了解決這個(gè)問題，文中提出了一種基于斐波那契數(shù)列的絕對(duì)式時(shí)柵位移傳感器。斐波那契數(shù)列具有不斷接近于黃金分割點(diǎn)的特性，因此按照斐波那契數(shù)列構(gòu)造兩組絕對(duì)式時(shí)柵位移傳感器，其組合形式為“5X-3X”和“8X-5X”。然后對(duì)兩組絕對(duì)式時(shí)柵位移傳感器進(jìn)行有限元仿真分析，通過數(shù)學(xué)分析軟件進(jìn)行分解。越趨近黃金分割點(diǎn)的絕對(duì)式時(shí)柵位移傳感器誤差越小，轉(zhuǎn)角更接近于真實(shí)值。

1 絕對(duì)式時(shí)柵傳感機(jī)理

根據(jù)時(shí)柵傳感技術(shù)的理論，在研究對(duì)象中建立一套時(shí)空坐標(biāo)轉(zhuǎn)換體系，將空間位移量轉(zhuǎn)換為測(cè)量離散時(shí)間脈沖信號(hào)，從而實(shí)現(xiàn)位移的準(zhǔn)確測(cè)量。絕對(duì)式時(shí)柵傳感器基于時(shí)柵傳感技術(shù)，通過構(gòu)造對(duì)極數(shù)互質(zhì)的組合式傳感器實(shí)現(xiàn)絕對(duì)式傳感機(jī)理。

2組傳感單元的輸出信號(hào)為：

Em(t,x)=Acos(ωt-mμx),m=1,2,3,…

(1)

En(t,x)=Acos(ωt-nμx),n=1,2,3,…

(2)

式中：A為輸出信號(hào)幅值；μ為角位移和直線位移轉(zhuǎn)化因子；m和n分別為2組定子極對(duì)數(shù)。

2 斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)列被認(rèn)為是種具有非常嚴(yán)格的和諧性、比例性、藝術(shù)性的數(shù)字，是一種天然合理的最奇妙的形式比例，其中蘊(yùn)藏著經(jīng)典的協(xié)作組合[10]。

根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義，如果某一數(shù)列滿足：

F1=F2=1,Ft=Ft-1+Ft-2(t=3,4,5,…)

(3)

即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…。我們將這一數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列。

其中，斐波那契數(shù)列表示為

(4)

斐波那契數(shù)列在工程上具有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，石河子大學(xué)的吳雪飛[11]等采用黃金分割法對(duì)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)并確定最佳傳動(dòng)角。從結(jié)論可以明顯看出黃金分割法優(yōu)化設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)相比,既能提高機(jī)構(gòu)的力傳遞性能,又能使機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)更加緊湊。長(zhǎng)沙理工大學(xué)的李珊珊[12]在基于特征模型設(shè)計(jì)了滾珠絲杠傳動(dòng)系統(tǒng)的誤差控制研究中，采用自適應(yīng)黃金分割控制器可使系統(tǒng)具有一定的魯棒性，并且對(duì)提高誤差和機(jī)械傳動(dòng)精度提供可靠的理論依據(jù)。湖南大學(xué)的蔣增華[13]使用黃金分割法對(duì)閾值的設(shè)置進(jìn)行了優(yōu)化。與傳統(tǒng)方法相比較，彌補(bǔ)了信號(hào)特征值閾值在設(shè)置上存在的缺陷。

斐波那契數(shù)列在工程應(yīng)用上具有很深遠(yuǎn)的研究意義，其在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和傳動(dòng)精度上，甚至在測(cè)量精度上都有研究?jī)r(jià)值。文中采用斐波那契數(shù)列方法對(duì)模型組合優(yōu)化，從而實(shí)現(xiàn)高精度絕對(duì)位置的測(cè)量。

3 基于斐波那契數(shù)列的絕對(duì)式時(shí)柵

3.1 模型設(shè)計(jì)及傳感機(jī)理

為了構(gòu)建基于斐波那契數(shù)列的絕對(duì)式優(yōu)化模型，其機(jī)械零件采用表1的同一套模型設(shè)計(jì)參數(shù)。

表1 模型設(shè)計(jì)參數(shù)表 mm

圖1 3X仿真結(jié)構(gòu)模型

圖2 5X仿真結(jié)構(gòu)模型

圖3 8X仿真結(jié)構(gòu)模型

僅通過仿真模型的建立不能夠滿足時(shí)柵傳感原理，因此，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)時(shí)間正交的信號(hào)，繞線方式是構(gòu)建時(shí)間正交重要技術(shù)方法。線圈繞線方式如圖4所示，三行線圈分別為正弦、余弦和感應(yīng)繞組，每行線圈通過串聯(lián)構(gòu)建。

圖4 激勵(lì)和感應(yīng)繞線方式

為了建立時(shí)間正交的電信號(hào)，將Vmaxsin(ωt)和Vmaxcos(ωt)通入2組激勵(lì)線圈中，根據(jù)與之相對(duì)應(yīng)的m和n對(duì)極分別可以得到2駐波信號(hào)公式：

(5)

(6)

式中：Wm和Wn分別為m、n對(duì)極的極距；x為相對(duì)應(yīng)的位移量。

將2組絕對(duì)式時(shí)柵傳感器感應(yīng)得到的駐波信號(hào)經(jīng)過疊加原理，得到2列感應(yīng)行波電信號(hào)：

(7)

(8)

式中：φm和φn分別為m、n對(duì)極的初相位。

3.2 模型仿真及數(shù)據(jù)分析

將定轉(zhuǎn)子齒數(shù)比為4：1的時(shí)柵傳感器三維模型分別導(dǎo)入有限元仿真軟件。充分考慮到仿真的參數(shù)對(duì)仿真結(jié)果的影響，線圈既不能緊貼定子齒槽，又不能太遠(yuǎn)離定子齒槽，否則定子的磁場(chǎng)將被極大的削減。模型的屬性參數(shù)見表2。

表2 模型仿真參數(shù)表

建立如圖5和圖6所示的對(duì)比性仿真實(shí)驗(yàn)。傳感器的駐波信號(hào)通過信號(hào)調(diào)制，最終構(gòu)建時(shí)間測(cè)量位移的脈沖波形。由于兩 “精機(jī)”具有不同的對(duì)極數(shù)，采集到不同精度的脈沖，即“精+精”組合的絕對(duì)測(cè)量系統(tǒng)。因此，在滿足精度的要求下實(shí)現(xiàn)絕對(duì)位置測(cè)量。

圖5 5X-3X組合絕對(duì)式傳感器理論模型

圖6 8X-5X組合絕對(duì)式傳感器理論模型

通過上一節(jié)的建立結(jié)構(gòu)模型和仿真機(jī)理，得要3組電行波信號(hào)，如圖7、圖8、圖9所示。

圖7 3X感應(yīng)線圈的輸出電動(dòng)勢(shì)

圖8 5X感應(yīng)線圈的輸出電動(dòng)勢(shì)

圖9 8X感應(yīng)線圈的輸出電動(dòng)勢(shì)

經(jīng)過仿真軟件采集到時(shí)空正交的電信號(hào)。通過數(shù)學(xué)分析工具軟件，將2組絕對(duì)式時(shí)柵傳感所得到的基波相位信息經(jīng)過計(jì)算繪制出組合測(cè)量的誤差曲線。如圖10、圖11所示。

圖10 5X-3X絕對(duì)位置測(cè)量誤差

圖11 8X-5X絕對(duì)位置測(cè)量誤差

Error=|ysimulation-ytheory|

(9)

式(9)即為仿真相位差與理論相位差的真實(shí)誤差值。

根據(jù)式(9)，可以計(jì)算出max{Error}。其中，

max{Error5X-3X}=1.402 136°

max{Error8X-5X}=0.319 324°

通過2組絕對(duì)式傳感位置測(cè)量誤差表明，“8X-5X”組合的“精機(jī)+精機(jī)”組合式傳感器誤差精度得到了一定的提高。根據(jù)斐波那契數(shù)列特征，數(shù)列越往后，參數(shù)結(jié)構(gòu)越趨于最優(yōu)解。因此，“8X-5X”絕對(duì)式傳感器參數(shù)優(yōu)化符合斐波那契數(shù)列特征。

4 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步證實(shí)本論文所提出來(lái)的滿足黃金分割點(diǎn)的“精機(jī)+精機(jī)”絕對(duì)時(shí)柵傳感器具有組合優(yōu)化的依據(jù)。將采用“13X-8X”組合的絕對(duì)式時(shí)柵傳感器，通過仿真軟件仿真、數(shù)據(jù)分析處理，其結(jié)果如圖12、圖13、圖14所示。

圖12 13X仿真結(jié)構(gòu)模型

圖13 13X感應(yīng)線圈的輸出電動(dòng)勢(shì)

圖14 13X-8X絕對(duì)位置測(cè)量誤差

根據(jù)式(9)，max{Error13X-8X}=0.283 686°。

max{Error13X-8X}

即，相位誤差滿足黃金分割優(yōu)化特性。

5 結(jié)論

絕對(duì)式時(shí)柵位移傳感器不僅能實(shí)現(xiàn)位置信息直接測(cè)量和斷電保護(hù)，還具有優(yōu)秀的抗干擾能力。文中通過引入斐波那契數(shù)列旨在尋找一種可以為雙通道絕對(duì)式時(shí)柵的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供一種準(zhǔn)則和有效的理論途徑實(shí)現(xiàn)傳感器的結(jié)構(gòu)優(yōu)化與精度提升。文中通過開展一系列仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果表明基于斐波那契數(shù)列的組合方式對(duì)絕對(duì)式時(shí)柵傳感器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有一定的成效，通過幾組對(duì)比論證進(jìn)一步驗(yàn)證了斐波那契數(shù)列對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化的指導(dǎo)意義。