Mathematica在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用

魏章志，吳婧澤，李 杰

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽宿州,234000

Mathematica 基于具有突破性意義的 Wolfram 語言，具有強(qiáng)大的符號和數(shù)值計(jì)算能力，與Matlab和Maple構(gòu)成數(shù)學(xué)軟件三巨頭[1]。Mathematica具有大量的內(nèi)置函數(shù)，使得解決問題的過程變得很簡單，這也是Mathematica創(chuàng)始人史蒂芬·沃爾夫勒姆一直堅(jiān)持的軟件設(shè)計(jì)理念[2]。Mathematica具有良好交互式功能的Notebook，可計(jì)算的幻燈片功能，文檔資料豐富，代碼賞心悅目，越來越受到教育工作者和科學(xué)研究者的喜愛[3-6]。由于其函數(shù)式編程的優(yōu)勢、任意精度的數(shù)值計(jì)算，突出的符號計(jì)算和圖形處理能力，很多數(shù)學(xué)和物理研究者把Mathematica作為自己研究的首選程序語言[7-8]。在概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)研究中，常見的經(jīng)典問題，使用Mathematica進(jìn)行處理，結(jié)果直觀易懂，代碼簡潔，筆記本(Notebook)易于分享和修改[9]。本文利用Mathematica模擬概率統(tǒng)計(jì)的幾個經(jīng)典問題：三門問題，大數(shù)定律問題，中心極限定理。三門問題是違反一般人的直覺，大數(shù)定律和中心極限定理是符合一般人的直覺，通過Mathematica進(jìn)行隨機(jī)模擬可以讓學(xué)生對理論結(jié)果印象更深，同時(shí)掌握使用軟件解決問題的辦法，激發(fā)分析問題和解決問題的興趣。當(dāng)前教學(xué)大綱里對利用軟件處理問題并沒有要求，Mathematica軟件的使用是有益于學(xué)生應(yīng)用能力拓展。

1 三門問題

三門問題也稱蒙提霍爾問題(Monty Hall Problem)，主要是因?yàn)槌鲎悦商峄魻?Monty Hall)主持的大型游戲節(jié)目 Let′s Make a Deal?，F(xiàn)將原問題重新描述如下[10]：假設(shè)游戲者參加一個游戲，規(guī)則如下：

(1)三個關(guān)閉的門后隨機(jī)擺上獎品：一輛車,兩頭山羊；

(2)游戲目的是猜中哪個門后面有車，一旦猜中，即可獲得汽車；

(3)假設(shè)先隨機(jī)挑選一個門，不妨設(shè)為門1，其他兩個門稱為門2和門3；

(4)打開選中的門之前,主持人打開門2或3中一個后面沒有車的門來增加懸念；

(5)然后主持人給游戲者一次改變原來選項(xiàng)的機(jī)會。

現(xiàn)在的問題：游戲者最有利的選擇是堅(jiān)持最初的選擇，還是改變選擇？

這個問題可以使用全概率公式或者決策樹方法得到換到另一個門(改變選項(xiàng))是最有利的，因?yàn)楂@得汽車的概率為2/3。這個問題的答案是違反一般人的直覺，正因?yàn)槿绱耍鹆巳藗兊臉O大興趣。利用數(shù)學(xué)軟件通過隨機(jī)模擬對這個問題進(jìn)行研究，隨機(jī)模擬結(jié)果符合理論分析結(jié)果[10]?？梢酝ㄟ^Mathematica對三門問題進(jìn)行隨機(jī)模擬，代碼如下：

try=100; (*試驗(yàn)次數(shù)*)

jp0={羊,羊,汽車};(*原始獎品 ：羊，汽車*)

jp=RandomSample[jp0] ;(*隨機(jī)擺放獎品,參與游戲者不知道，只有主持人知道*)

choice1=RandomChoice[jp,1] ;(*游戲一次*)

count1=Count[RandomChoice[jp,try],汽車] ;(*不換選項(xiàng)的中獎計(jì)數(shù)。如果抽到汽車就計(jì)數(shù)一次*)

count2=Count[RandomChoice[jp,try],羊] ;

(*換選項(xiàng)的中獎計(jì)數(shù)。如果抽到羊就計(jì)數(shù)一次，抽到羊如果換，肯定中獎*)

Print["不換選項(xiàng)的中獎頻率","=",count1/try,"=",N[count1/try,3]]

Print["換選項(xiàng)的中獎頻率","=",count2/try,"=",N[count2/try,3]]

程序運(yùn)行結(jié)果如下：

不換選項(xiàng)的中獎頻率=9/25=0.36

換選項(xiàng)的中獎頻率=16/25=0.64

試驗(yàn)結(jié)果表明，改變當(dāng)初的選擇更有利于獲得汽車。可以通過增加試驗(yàn)次數(shù)得到更穩(wěn)定的結(jié)果。由于是模擬隨機(jī)事件，每次程序運(yùn)行的結(jié)果不盡相同，但可以看出換選項(xiàng)中獎的可能性較大，從而佐證了理論分析結(jié)果的正確性?？梢钥闯?，使用Mathematica的內(nèi)置函數(shù)，可以避免一般過程式編程語言的循環(huán)與判斷，比如像Matlab，C，Python等程序語言中的for循環(huán)與if判斷語句。程序中可以體現(xiàn)函數(shù)式編程的巨大優(yōu)勢：代碼很簡潔，可讀性強(qiáng)，內(nèi)置函數(shù)讓研究者更容易關(guān)注問題本身而不是程序設(shè)計(jì)。還可以看出，這里可以直接使用漢字作為字符串而不加其他任何符號，也可以作為變量名，有利于中文為母語的研究者使用，這也是Mathematica軟件的一個小亮點(diǎn)。

2 大數(shù)定律問題

很多教科書都是先利用頻率定義導(dǎo)出概率的定義，這種定義方法雖不嚴(yán)格，但直觀易懂，這種處理方式的理論依據(jù)就是大數(shù)定律。大數(shù)定律的基本思想就是大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果幾乎不再是隨機(jī)的，即大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果具有穩(wěn)定性。通過Mathematica可以多次模擬一個隨機(jī)變量的取值情況，然后取它們的平均結(jié)果，觀察平均結(jié)果是不是穩(wěn)定的？一般常見的是使用擲硬幣或者擲骰子來模擬這種情況。在這里模擬擲骰子的情形。由于擲骰子的結(jié)果服從離散均勻分布，其數(shù)學(xué)期望為3.5。模擬代碼如下

touzi={1,2,3,4,5,6};(*樣本空間*)

M=500;(*模擬次數(shù)*)

fretouzi=Table[Mean[RandomChoice[touzi,n]],{n,1,M}];(*頻率*)

g1=ListPlot[fretouzi,PlotRange->All];(*頻率作圖*)

f[x_]=3.5;(*數(shù)學(xué)期望*)

g2=Plot[f[x],{x,0,M},PlotStyle->Red];

Show[g1,g2]

模擬結(jié)果如圖1。

圖1 擲骰子500次模擬的平均結(jié)果

從圖1中可以看出，擲骰子500次的平均結(jié)果是穩(wěn)定在數(shù)學(xué)期望附近。說明大量的隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果是穩(wěn)定的?？梢愿哪M次數(shù)，得到類似的結(jié)果。對于連續(xù)型隨機(jī)變量，也可以進(jìn)行類似模擬。這里以常見的指數(shù)分布為例進(jìn)行模擬：

m=10^6;

m1=10^3;

data1=RandomVariate[ExponentialDistribution[0.01],m];

freq1=Table[Mean[RandomSample[data1,n]],{n,1,m1}];

g1=ListPlot[freq1,PlotRange->All];

g[x_]=100;

g2=Plot[g[x],{x,0,m1},PlotStyle->Red];

Show[g1,g2]

模擬結(jié)果如圖2：

圖2 1 000次隨機(jī)取數(shù)(指數(shù)分布)的平均結(jié)果

從圖2中可以看出,大量服從指數(shù)分布(數(shù)學(xué)期望為100)的隨機(jī)數(shù)的平均值穩(wěn)定在數(shù)學(xué)期望值附近。

3 中心極限定理

中心極限定理的基本思想是大量隨機(jī)變量的和近似服從正態(tài)分布。在這里引用經(jīng)典的獨(dú)立同分布的中心極限定理(Lévy-Lindberg),其一般數(shù)學(xué)描述簡述如下[11]：

設(shè)X1,X2,…Xn…為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2>0。則

一般教科書上并沒有提供中心極限定理的理論證明，因此進(jìn)行隨機(jī)模擬達(dá)到對定理的直觀理解是非常有必要的?？梢赃x取服從參數(shù)為0.01的指數(shù)分布進(jìn)行模擬，相關(guān)代碼如下:

data2=Table[Sum[RandomVariate[ExponentialDistribution[0.01]],{i,1,2 000}],{j,1,2 000}];

Histogram[data2,40,"PDF"]

代碼運(yùn)行結(jié)果如圖3。

圖3 2 000個隨機(jī)取數(shù)(指數(shù)分布)的和

由圖3可知，大量隨機(jī)變量的和近似服從正態(tài)分布。模擬的代碼較短，對比文獻(xiàn)[12]，可以看出，采取函數(shù)式編程比過程式編程的代碼簡短明了。

4 結(jié) 語

通過利用Mathematica軟件對三門問題、大數(shù)定律，中心極限定理進(jìn)行隨機(jī)模擬，從而佐證了教科書上的經(jīng)典理論，有利于學(xué)生更加形象地、深刻地理解全概率公式，大數(shù)定律，中心極限定理。可以看出，相關(guān)隨機(jī)模擬的程序代碼比較簡短，沒有復(fù)雜的循環(huán)和判斷語句，主要是因?yàn)镸athematica的函數(shù)式編程讓研究者關(guān)注于問題的本身而不是程序設(shè)計(jì)，從而更有利于去解決問題。可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)用Mathematica處理概率統(tǒng)計(jì)問題，能加深對基本概念的理解。教學(xué)中，可將更多的概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容引入Mathematica，通過軟件展示，讓更多的內(nèi)容更加直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的應(yīng)用軟件解決問題的能力。