行星著陸軌跡優(yōu)化技術(shù)研究進展

崔平遠，龍嘉騰，朱圣英，修文博

(1. 北京理工大學宇航學院，北京 100081；2. 深空自主導航與控制工信部重點實驗室，北京 100081；3. 飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京 100081)

0 引 言

近年來，火星探測和小天體探測成為地外天體探測的熱點領(lǐng)域?；鹦鞘翘栂抵信c地球環(huán)境最為相似的行星，是研究生命起源的理想目標[1]；小天體種類豐富，數(shù)量繁多，保留了大量太陽系形成早期的原始物質(zhì)，加之復雜的動力學環(huán)境，具有重要的科學研究價值[2-6]。

隨著探測活動的深入以及探測手段的進步，在地外目標天體高科學價值區(qū)域開展原位探測和采樣返回成為未來行星探測的重要發(fā)展方向。在地外天體表面實施精確、安全著陸是實現(xiàn)上述探測任務(wù)的關(guān)鍵。以美國“火星科學實驗室/好奇號”任務(wù)[7]和日本“隼鳥號(Hayabusa)”探測任務(wù)[3]為代表，自主導航、制導與控制技術(shù)是實現(xiàn)地外天體表面精確著陸的關(guān)鍵技術(shù)。2014年，歐洲空間局“羅塞塔/菲萊(Rosetta/Philae)”[4]探測任務(wù)中，探測器由于彈跳至彗星陰影區(qū)而難以正常開展探測工作，凸顯了高精度控制在小天體著陸任務(wù)中的重要作用[8]。從上述行星著陸任務(wù)分析表明，高精度制導與控制是實現(xiàn)地外行星表面高精度著陸的重要技術(shù)發(fā)展趨勢[9]。

著陸軌跡優(yōu)化是行星著陸探測任務(wù)分析、制導與控制系統(tǒng)設(shè)計的重要技術(shù)基礎(chǔ)。通過設(shè)計性能指標、施加約束條件，進行著陸軌跡優(yōu)化是分析著陸軌跡特性、研究約束條件和著陸環(huán)境因素影響的重要途徑，進而為著陸總體方案優(yōu)化、著陸點選取、制導與控制算法設(shè)計提供依據(jù)。此外，軌跡優(yōu)化方法也是在現(xiàn)有技術(shù)條件下，擴展地外天體探測能力的重要途徑。例如在火星著陸過程中，通過對大氣進入段的末端飛行高度進行優(yōu)化，可以顯著提高探測器最終的著陸高度范圍，進而顯著擴大探測器的可能探測區(qū)域。行星著陸軌跡優(yōu)化是基于動力學模型，通過數(shù)值優(yōu)化的方法，尋找滿足一定約束條件并使性能指標達到最優(yōu)的飛行軌跡。近年來，國內(nèi)外學者針對不同行星著陸背景、技術(shù)條件和任務(wù)需求，對行星著陸軌跡優(yōu)化問題開展了大量的深入研究工作。相關(guān)研究成果在揭示行星著陸軌跡特性，提高軌跡優(yōu)化算法的收斂性、快速性和精確性等方面具有重要的實踐意義。

本文通過總結(jié)近年來行星著陸軌跡優(yōu)化領(lǐng)域的研究成果，結(jié)合行星著陸制動方式，對著陸探測軌跡優(yōu)化問題特點和研究現(xiàn)狀進行梳理。在此基礎(chǔ)上，總結(jié)歸納出行星探測軌跡優(yōu)化的關(guān)鍵技術(shù)及發(fā)展趨勢。

圖1 小天體著陸探測任務(wù)目標天體Fig.1 Objects of small body landing exploration mission

1 著陸軌跡優(yōu)化的特點

根據(jù)行星環(huán)境的不同，行星著陸的制動方式主要分為大氣制動和動力制動。大氣制動著陸方式用于具有大氣層的行星及其衛(wèi)星(如地球、金星、火星、土衛(wèi)六等)著陸過程，是以飛行器氣動阻力作為主要制動力來源，通過設(shè)計合理的飛行器氣動外形來產(chǎn)生足夠的氣動制動阻力，并在飛行過程中調(diào)整飛行器姿態(tài)改變氣動力方向達到調(diào)整飛行軌跡的目的。依據(jù)飛行器在高超速段升阻比的不同，大氣進入飛行器可分為低升阻比飛行器(升阻比為0.3左右，如阿波羅任務(wù)返回艙、獵戶座任務(wù)返回艙、MSL任務(wù)進入飛行器等)、中升阻比飛行器(升阻比為0.5～0.9左右，如CobraMRV火星探測器、X-33飛行器等)和高升阻比飛行器(升阻比大于1.5，如航天飛機、CAV-H高超聲速飛行器等)。

動力制動著陸方式主要適用于沒有大氣的行星及其衛(wèi)星(如月球、小天體)著陸過程，或作為大氣制動的一種輔助接續(xù)制動方式(如火星著陸)，是以反推發(fā)動機推力作為主要減速制動力，通過改變推力大小和方向?qū)崿F(xiàn)對著陸軌跡的調(diào)節(jié)。這種著陸方式主要應用于月球著陸、火星動力下降段、重復運載火箭著陸回收、小天體軟著陸等著陸任務(wù)中。值得注意的是，在月球、火星、地球等類球形天體表面附近采用動力制動著陸時，通?？紤]常值引力作用；而小天體動力制動著陸過程中，不規(guī)則引力作用隨探測器位置呈現(xiàn)出復雜時變非線性特征。

結(jié)合行星環(huán)境，在現(xiàn)有技術(shù)水平下，火星著陸主要采用大氣制動減速并輔之以動力制動減速，小天體著陸采用動力制動減速。下面結(jié)合兩種制動方式在著陸動力學形式、約束構(gòu)成、不確定因素來源等方面的特點，分析著陸軌跡優(yōu)化所面臨的技術(shù)挑戰(zhàn)。

1.1 動力學呈現(xiàn)強非線性

在著陸過程中，除自身控制力作用外，探測器所受外力作用主要包含氣動力作用(大氣進入過程)、引力作用、慣性力作用。在不同的著陸背景中，探測器受上述各種外力作用的影響程度各不相同。

穩(wěn)定的大氣層僅存在于引力較強的行星(及其衛(wèi)星，如土衛(wèi)六)周圍。在行星大氣進入過程中，氣動力作用和引力作用對探測器動力學均具有較強的影響作用。其中，類球形引力場中的引力作用較為規(guī)則，而氣動力作用則十分復雜，與探測器氣動外形、飛行姿態(tài)、大氣密度等因素密切相關(guān)[10]。同時，氣動力與飛行速度、飛行高度等飛行狀態(tài)呈現(xiàn)復雜的非線性特征。同時，大氣進入過程采用調(diào)整姿態(tài)改變飛行器運動軌跡的控制方式，進而導致控制力與動力學之間的傳遞關(guān)系呈現(xiàn)高度非線性。

與此對應，由于小天體質(zhì)量小、引力弱，難以吸引足夠的氣體分子形成穩(wěn)定的大氣層。因此在小天體軟著陸過程中，探測器主要受到引力作用和慣性力作用。同時，小天體的微弱引力難以使其聚合成類球體，使小天體三維形狀和引力場空間分布極不規(guī)則。在不規(guī)則引力場環(huán)境下，引力勢與探測器位置呈現(xiàn)高度復雜的非線性特征。這種非線性特征導致探測器受空間擾動(如太陽光壓、第三體引力攝動等)的影響更為顯著[11]。此外，小天體自旋狀態(tài)復雜，存在超快自旋、極慢自旋乃至非主軸自旋等情形，更加劇了探測器動力學的復雜程度[8]。

1.2 著陸過程存在復雜約束條件

為保證著陸精確性和安全性，探測器著陸軌跡需滿足復雜的約束條件。這些約束條件可大致分為路徑約束和末端約束。其中，路徑約束主要是保障飛行過程中的安全性，末端約束主要是依據(jù)任務(wù)需要，保障著陸的精確性。在不同的著陸背景下，上述約束條件的構(gòu)成要素也不盡相同。

大氣制動過程通過借助氣動阻力(摩擦阻力、激波阻力等)完成飛行器減速。從本質(zhì)上講，大氣進入過程中，飛行器初始機械能轉(zhuǎn)化為氣動熱進行耗散實現(xiàn)減速。因此，即使火星大氣密度十分稀薄，火星大氣進入過程中也同樣會產(chǎn)生顯著的氣動熱[12]。同時，隨著飛行高度的降低，行星大氣密度呈指數(shù)形式增大，探測器因而受到巨大的氣動過載。為保證飛行安全，需對氣動吸熱和氣動過載加以約束。氣動吸熱因素主要考慮的約束條件有熱流峰值和總吸熱量約束。此外，考慮任務(wù)需要，在一些大氣進入過程中還需考慮路徑點約束和禁飛區(qū)約束等[13]。

以動力制動為主要減速方式的行星動力下降和小天體軟著陸過程中，引力作用是主要考慮的外力作用。動力制動過程中，以發(fā)動機反推作用實現(xiàn)制動減速，為防止控制力飽和，軌跡優(yōu)化中需考慮推力器控制力的幅值約束；為保障飛行安全，避免目標天體表面發(fā)生碰撞，需引入障礙規(guī)避約束[14-15]、最小飛行高度約束、滑翔角約束；為保障導航相機對目標著陸點的可見性，需考慮相機視場角約束。

上述行星著陸復雜約束條件的共同作用將直接影響到著陸軌跡可行域，進而對軌跡優(yōu)化方法的收斂性產(chǎn)生影響。

1.3 著陸環(huán)境不確定性顯著

由于近地空間附近存在大量人類活動，諸如大氣環(huán)境、引力場環(huán)境等空間環(huán)境信息已得到系統(tǒng)、深入、精確的建模。與此對應，人類對地外天體環(huán)境知之甚少，絕大多數(shù)小天體探測都是首次開展。在探測過程中，受觀測和探測手段的限制，無法全面、準確地掌握目標地外天體的大氣環(huán)境、地形環(huán)境、引力環(huán)境等環(huán)境要素。因而在著陸過程中，著陸環(huán)境的不確定性顯著，進而影響著陸精確性和安全性。

在大氣進入過程中，大氣固有屬性(大氣組分、大氣密度等)和探測器氣動外形是決定探測器氣動力作用的兩個重要方面。因此，行星大氣進入過程中存在如下不確定因素：

1)不同行星的大氣組分、大氣密度各不相同，且大氣活動隨季節(jié)變化現(xiàn)象顯著。作為氣動減速介質(zhì)，行星大氣的精確建模難度極大。以火星大氣為例，火星大氣密度十分稀薄，僅為地球大氣密度的1%(如圖2所示)，不確定性隨飛行高度變化顯著(如圖3所示)，且時常伴有陣風等不確定因素。因此，火星大氣模型的不確定性是大氣進入過程中的重要不確定因素來源。

圖2 火星與地球大氣密度對比Fig.2 Comparisons of the atmosphere density of the Mars and the Earth

圖3 火星大氣密度偏差隨高度的分布情況[17, 21]Fig.3 Distribution of the mars atmosphere density bias with respect to altitude[17, 21]

火星大氣建模需考慮高度、經(jīng)緯度、季節(jié)、理化性質(zhì)等多種因素，目前較為完備的火星全球大氣數(shù)據(jù)庫有歐空局的火星氣候數(shù)據(jù)庫(Mars climate database，MCD)[16]和美國的火星全球參考大氣模型(Mars global reference atmospheric model，Mars GRAM)[17]。在實際研究中，常用的火星大氣簡化模型為指數(shù)模型和分層指數(shù)模型[18]等。火星大氣密度指數(shù)模型給出了大氣密度隨飛行高度的解析表達形式，便于開展理論研究工作，且形式簡潔、解算效率高。但簡化指數(shù)模型在高空處對大氣密度的擬合精度較高，而在接近火星表面處存在較大的偏差。

2)氣動力作用引起的氣動彈性、氣動燒蝕效應引入較大不確定因素。行星大氣進入過程中，飛行器所受氣動力作用導致飛行器彈性形變，使得氣動外形產(chǎn)生微弱變化，進而導致氣動力作用的改變。因而氣動力與氣動力外形間呈現(xiàn)復雜的氣動彈性耦合效應。與此同時，即便在探測器設(shè)計承受范圍之內(nèi)，氣動加熱效應對探測器氣動外形的改變，進而對氣動力造成的不確定性效應依然不可忽略。在行星大氣進入三自由度動力學中，這種不確定性效應主要體現(xiàn)在探測器升阻比和彈道系數(shù)的不確定性[19]。因此，以末端高度為性能指標進行軌跡優(yōu)化并設(shè)計相應最優(yōu)制導策略是火星大氣進入軌跡設(shè)計的重要方面[20]。

在動力制動著陸過程中，行星表面形貌的不確定性對探測器著陸安全構(gòu)成極大威脅。行星表面存在大量諸如隕石坑、巨石、斜坡、裂谷等復雜形貌。這些表面形貌特征一方面可作為天然導航路標，提供豐富的圖像導航特征[22]；另一方面，也在行星著陸過程中成為表面障礙，嚴重威脅到探測器安全[14-15]。小天體表面無大氣風化等理化侵蝕作用影響，保存著大量小天體形成初期即已存在的復雜表面形貌。這些表面形貌類型眾多，特征尺度千差萬別，為建模帶來極大困難。

圖4 地外行星表面崎嶇Fig.4 Hazardous object surface

在小天體動力制動著陸過程中，小天體不規(guī)則引力場是主要的不確定因素來源之一。小天體質(zhì)量和體積微小，所形成的微弱引力不足以將其凝聚為類球形天體。由此導致小天體形狀和引力場極不規(guī)則，引力場在各個方向上呈現(xiàn)出顯著的各向異性。目前小天體引力場模型依賴大量觀測數(shù)據(jù)，在算法精度和解算效率上無法得到有效兼顧。加之小天體質(zhì)量分布不均勻，不規(guī)則引力場模型不可避免地引入建模誤差。此外，由于小天體引力場微弱，導致探測器受到的第三體引力攝動有時變得不可忽略。同時，小天體附近不存在大氣，不存在對太陽光的顯著散射現(xiàn)象，因此，太陽光壓攝動也是探測器在小天體著陸過程中所需考慮的攝動源[23]。

2 著陸軌跡優(yōu)化研究現(xiàn)狀

傳統(tǒng)軌跡優(yōu)化方法[24]分為間接法和直接法。間接法利用極小值原理，通過拉格朗日乘子法引入?yún)f(xié)態(tài)變量來求解最優(yōu)控制問題。其優(yōu)點在于求解精度高，但同時也存在初值猜測敏感這一顯著缺點，導致求解收斂域很小。由于協(xié)態(tài)變量沒有明確的物理含義，其初值難以獲得[20]。針對間接法的初值猜測敏感問題，同倫法[25-26]是一種行之有效的解決方法。直接法是將著陸軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為多種路徑約束和邊界約束下的靜態(tài)參數(shù)優(yōu)化問題，進而采用非線性規(guī)劃算法進行求解，但易陷入局部最優(yōu)。由于實現(xiàn)方便，直接法在工程實踐中被廣泛采用。下面針對不同行星著陸背景，對相應軌跡優(yōu)化方法的研究現(xiàn)狀進行分析。

2.1 非線性動力學環(huán)境下著陸軌跡優(yōu)化研究現(xiàn)狀

行星著陸過程中，探測器處于極為復雜的非線性動力學環(huán)境中。根據(jù)行星環(huán)境和制動方式的不同，動力學的非線性來源也不相同。需要指出的是，行星著陸的非線性動力學環(huán)境對著陸軌跡優(yōu)化算法的精確性和收斂性提出了較高要求，同時也導致相關(guān)飛行特征參數(shù)對著陸軌跡產(chǎn)生重要影響，進而決定著軌跡優(yōu)化性能指標的選取。

大氣制動著陸的動力學環(huán)境極為復雜，其強非線性特征主要來源于以下兩個方面：1)大氣密度與飛行高度間的非線性關(guān)系；2)氣動力與大氣密度、飛行速度、飛行高度間的非線性關(guān)系。這種強非線性關(guān)系，導致著陸飛行軌跡受飛行參數(shù)的影響顯著。例如在火星大氣進入過程中，最大末端飛行高度與氣動參數(shù)(彈道系數(shù)、升阻比)存在密切關(guān)系。目前火星大氣進入段軌跡優(yōu)化問題中，以小升阻比航天器飛行軌跡作為主要研究和設(shè)計對象。由于小升阻比飛行器所產(chǎn)生的氣動升力有限，加之火星大氣密度稀薄，提高進入段末端高度[20, 27, 28]成為火星大氣進入軌跡優(yōu)化問題的重要優(yōu)化目標。文獻[20]從理論上證明了在標稱條件下，使末端高度的最優(yōu)傾側(cè)角剖面滿足bang-bang控制形式，將傳統(tǒng)的多節(jié)點進入段軌跡優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為對bang-bang控制切換時刻的搜索問題，顯著降低了進入段軌跡優(yōu)化的復雜度。

動力制動著陸過程中的動力學非線性因素主要包含控制推力幅值的飽和約束[29]以及小天體的不規(guī)則引力影響[30]。由于動力制動著陸方式通過消耗反推發(fā)動機燃料進行減速，著陸軌跡及控制方式所對應的燃耗是分析任務(wù)可行性和安全性所需考慮的重要因素，因而燃耗最優(yōu)問題廣泛存在于月球著陸[31]、火星著陸[32]、小天體軟著陸[30]等航天各類任務(wù)中。此外，相關(guān)文獻深入研究了動力制動著陸方式的時間最優(yōu)問題[33-34]、能量最優(yōu)問題[35]和脫敏最優(yōu)問題[36]等。不同性能指標對優(yōu)化問題復雜程度各不相同，文獻[35]研究了小天體軟著陸過程中的燃耗最優(yōu)與能量最優(yōu)問題間的內(nèi)在聯(lián)系，并采用快速同倫法通過求解著陸能量最優(yōu)問題獲得燃耗最優(yōu)問題的解。同倫法的問題在于，無法構(gòu)建多種優(yōu)化問題間的普遍聯(lián)系，因此適用范圍收到限制。針對小天體不規(guī)則弱引力場所導致的動力學非線性問題，文獻[37]在采用凸優(yōu)化求解的過程中，采用局部線性化方法，對非線性動力學進行凸化處理。該方法有效解決了非線性非凸動力學條件下的凸優(yōu)化解算問題，但需考慮解算過程中的節(jié)點選取和非線性動力學近似所引入的解算偏差。

針對行星著陸的強非線性動力學環(huán)境，在著陸軌跡優(yōu)化過程中，采用相應的軌跡擬合和逼近方法是處理非線性動力學問題的有效手段，包括局部逼近技術(shù)和全局逼近技術(shù)。

局部逼近技術(shù)是以某個物理參量(通常為飛行時間或隨飛行時間單調(diào)變化的獨立變量)為依據(jù)，對整個飛行過程按一定間隔進行區(qū)間劃分得到若干節(jié)點，在各個區(qū)間上對飛行軌跡進行分段局部逼近。局部線性化技術(shù)是一種經(jīng)典的局部逼近方法。傳統(tǒng)直接法中的直接打靶法和直接配點法也屬于局部逼近的范疇由于局部逼近技術(shù)是對著陸軌跡進行分段逼近，在精確性和求解效率方面存在一定不足。

近年來，以偽譜法[38-39]為代表的全局逼近技術(shù)得到了廣泛研究。偽譜法又稱為正交配點法，采用高階正交多項式的根作為配點，以對應正交多項式作為基函數(shù)，同時離散狀態(tài)變量和控制便令，對著陸軌跡進行逼近，將著陸動力學微分約束轉(zhuǎn)化為代數(shù)約束。研究表明，偽譜法對光滑問題具有良好的收斂性，且Gauss偽譜法的KKT條件等價于極小值原理的一階最優(yōu)性條件[38]。在大氣進入[40-41]、動力下降[42]、小天體軟著陸[43]軌跡優(yōu)化中得到了成功應用。偽譜法的缺點在于節(jié)點數(shù)量的選取由于沒有明確的規(guī)則而過多依賴于設(shè)計者的經(jīng)驗。采用高階多項式在固定節(jié)點和配點處擬合狀態(tài)變量和控制變量。若系統(tǒng)包含不連續(xù)或者曲率較大的狀態(tài)/控制變量時，需增加節(jié)點數(shù)目以保證逼近精度，從而導致整個算法的計算效率下降。同時，由于行星著陸軌跡優(yōu)化存在大量復雜約束，加之動力學強非線性，且傳統(tǒng)直接法軌跡優(yōu)化解算結(jié)果沒有一階必要性條件保證，解算過程易陷入局部最優(yōu)，對優(yōu)化初值的選取有較高要求。因此，在高度復雜的非線性著陸動力學背景下，如何采用全局逼近技術(shù)對著陸軌跡進行精確逼近，并尋找合理轉(zhuǎn)化方法，保證求解問題的等價性和最優(yōu)性，是處理著陸非線性問題的有效途徑。

2.2 復雜著陸軌跡約束下著陸軌跡優(yōu)化研究現(xiàn)狀

綜合考慮飛行器安全、著陸精確性、飛行器控制能力等因素，行星著陸軌跡優(yōu)化需引入路徑約束、邊界條件約束和控制約束等復雜約束條件。這些約束條件顯著影響軌跡優(yōu)化問題的可行域，進而影響軌跡優(yōu)化算法的收斂性。

傳統(tǒng)軌跡優(yōu)化方法通常將復雜約束條件轉(zhuǎn)化為不等式約束(路徑約束)或等式約束(邊界條件約束)，進而通過罰函數(shù)法[40]、拉格朗日乘子法[30]等方法進行求解。這些方法在處理不同約束條件時具備較好的通用性和適應性，獲得了廣泛的應用。但在大量非線性約束條件的共同作用將導致軌跡優(yōu)化問題的可行域極為復雜，進而對軌跡優(yōu)化算法的收斂性和精確性帶來顯著影響。

近年來相關(guān)研究成果表明，采用凸優(yōu)化方法求解復雜約束條件下著陸軌跡優(yōu)化問題時，在求解精度和計算效率方面具有明顯優(yōu)勢，受到了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注。尤其是內(nèi)點法在求解凸優(yōu)化問題時能夠在多項式時間內(nèi)，以給定精度完成問題的求解[44]，并成功應用于不同航天任務(wù)背景的軌跡優(yōu)化與制導算法設(shè)計問題[29, 37, 45-46]。文獻[15]綜合動力下降過程中的燃料消耗、避障約束、著陸視場角約束等多種因素，依據(jù)著陸動力學，通過分析動力下降軌跡特性，設(shè)計出滿足避障約束的著陸凸軌跡。針對行星著陸過程中復雜約束條件下的軌跡優(yōu)化問題，“矢量軌跡”方法[47]通過軌跡的矢量描述、約束的矢量表達、規(guī)劃的矢量求解，將非凸幾何約束著陸軌跡優(yōu)化問題，轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題實現(xiàn)快速求解。針對小天體著陸過程中存在的非線性動力學以及復雜非凸約束(路徑約束和邊界約束)，文獻[29]通過將動力學線性化、變量代換和變量松弛技術(shù)，將小天體著陸問題轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題進行求解，顯著提高了軌跡優(yōu)化問題的解算效率和求解精度。

采用凸優(yōu)化方法進行著陸軌跡優(yōu)化時，通常將包含狀態(tài)的非凸路徑不等式約束通過局部泰勒展開轉(zhuǎn)化為線性不等式約束或者二階錐約束[46]，而對非凸控制約束采用變量松弛方法加以轉(zhuǎn)化。非凸控制約束通?？擅枋鰹?/p>

(1)

圖5 大氣制動控制變量的松弛方法[46]Fig.5 Control variable slack method for atmospheric entry[46]

圖6 動力制動控制變量的松弛方法[34]Fig.6 Control variable slack method for powered descent landing

行星著陸中存在大量狀態(tài)耦合約束。狀態(tài)變量的迭代更新將導致上述狀態(tài)耦合約束的改變，進而反作用于軌跡優(yōu)化的狀態(tài)迭代更新。因此，存在狀態(tài)耦合約束的優(yōu)化問題中，需采用序列優(yōu)化求解技術(shù)。在行星著陸軌跡優(yōu)化問題中，常見的狀態(tài)耦合約束主要有兩類，文獻[29]和文獻[37]分別針對小天體軟著陸和行星大氣進入過程中，不規(guī)則引力場、氣動加速度隨狀態(tài)的耦合約束，采用序列優(yōu)化技術(shù)對著陸軌跡進行凸優(yōu)化求解，使帶有狀態(tài)耦合約束的非凸問題得以轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題進行快速求解。但同時，采用多次迭代的序列優(yōu)化技術(shù)也顯著增大了運算量。

2.3 不確定環(huán)境下著陸軌跡優(yōu)化研究現(xiàn)狀

行星著陸過程中，著陸環(huán)境決定飛行器動力學行為和軌跡特性，主要包含大氣環(huán)境、引力場環(huán)境、地形環(huán)境等。著陸環(huán)境存在建模誤差、擾動等多種不確定因素，在軌跡優(yōu)化過程中，研究和分析環(huán)境不確定性對著陸軌跡的影響，對提高著陸精度有著重要意義。

由于大氣制動過程中存在顯著的環(huán)境不確定性，因此抑制不確定性影響[19, 48-49]是軌跡優(yōu)化的重要目標。Cui等[19]針對火星大氣進入過程中存在的復雜擾動，提出一種基于線性協(xié)方差的大氣進入軌跡優(yōu)化方法，在傳統(tǒng)的優(yōu)化進入段末端高度的基礎(chǔ)上，以減小進入過程中的環(huán)境擾動對開傘高度的影響為指標，并考慮了熱流、過載等路徑約束，采用GPOPS工具箱進行了相關(guān)的軌跡優(yōu)化工作。Li等[49]提出了一種基于脫敏最優(yōu)控制和直接配點法-非線性規(guī)劃法的火星大氣進入段軌跡規(guī)劃方法，該方法考慮了氣動參數(shù)不確定以及軌跡跟蹤性能的影響。由于該方法規(guī)劃的標稱軌跡對進入過程中的擾動和不確定性不敏感，使得對于低升阻比探測器而言，相應的軌跡跟蹤律設(shè)計難度大大降低。小天體動力制動著陸過程中存在極強的不確定性，探測器受到來自小天體引力攝動、太陽光壓攝動、第三體引力攝動、不規(guī)則引力攝動等不同攝動源影響。針對小天體著陸過程中的不確定弱引力場對精確著陸的影響，Hu等[36]將脫敏最優(yōu)控制的方法引入小天體著陸軌跡優(yōu)化中，通過誤差協(xié)方差分析構(gòu)建脫敏最優(yōu)性能指標，并采用Gauss偽譜法進行軌跡的優(yōu)化求解。以上述工作為代表的軌跡優(yōu)化研究成果，在基于傳統(tǒng)確定性動力學系統(tǒng)的優(yōu)化性能指標基礎(chǔ)上，將不確定性的影響進行定量化并引入軌跡優(yōu)化問題中，能夠在不確定條件下，提高著陸軌跡精確性。由于不確定因素的影響指標(如靈敏度、線性協(xié)方差等)與確定性系統(tǒng)的性能指標(如末端高度、燃耗等)之間存在相互權(quán)衡的問題。當側(cè)重考慮不確定性的影響時，將不可避免地導致最優(yōu)軌跡的保守性增強，進而損失原有的確定性系統(tǒng)的指標最優(yōu)性。同時，在研究中，不確定性影響因素的統(tǒng)計特性假設(shè)，對最終結(jié)果的有效性起著至關(guān)重要的影響。由于導航系統(tǒng)性能是影響參數(shù)不確定度的因素之一，導航系統(tǒng)可觀測度與大氣進入導航性能密切相關(guān)，以可觀測度性能指標優(yōu)化進入軌跡，是提高導航系統(tǒng)性能的重要手段[50]。

能控性和能達性分析方法是處理不確定環(huán)境中著陸軌跡優(yōu)化的有效途徑。能控性和能達性是反映著陸軌跡邊界條件和動力學特性的兩個重要方面[51-52]：在滿足所有動力學約束和路徑約束的條件下，反映能控性的能控集合是指給定末端狀態(tài)約束的所有初始狀態(tài)所構(gòu)成的集合；反映能達性的能達集合是指給定初始狀態(tài)約束的所有末端狀態(tài)所構(gòu)成的集合。通過能控集和能達集的求解，可直觀反映滿足邊界條件的所有進入軌跡的空間分布，進而為初始狀態(tài)/末端狀態(tài)的選取提供依據(jù)。行星大氣進入走廊就是能控集合的一個重要形式[53]。由于能控集與能達集的計算過程中涉及大量的軌跡計算，從而引出如下兩個問題：1)由于著陸動力學的非線性，滿足給定邊界條件的著陸軌跡通常不止一條，這對分析能控/能達集中的軌跡特性及相關(guān)規(guī)律帶來不便，通過采用選取相關(guān)性能指標進行軌跡優(yōu)化可有效解決這一問題[48, 51]；2)大量軌跡計算使能控/能達集的求解過程異常耗時，而通過以能控/能達集邊界作為性能指標進行優(yōu)化求解，是獲得能控/能達集的一種高效易行的方法[54]。因此，上述兩個問題的存在使得軌跡優(yōu)化方法稱為能控/能達集計算中的重要手段。

圖7 行星著陸能控集合[48]Fig.7 Controllable set for planetary landing[48]

3 著陸軌跡優(yōu)化關(guān)鍵技術(shù)

3.1 非線性動力學的等價/近似變換技術(shù)

由于大氣環(huán)境、引力場環(huán)境的特殊性，行星著陸動力學具有較強的非線性特征。依據(jù)行星著陸動力學特征，進行非線性動力學的等價/近似變換是進行軌跡優(yōu)化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。在現(xiàn)有的局部逼近和全局逼近方法的基礎(chǔ)上，進一步研究非線性動力學的變換技術(shù)，在逼近精度、解算效率、收斂條件等方面提升軌跡優(yōu)化方法的綜合性能。

3.2 復雜約束條件下的最優(yōu)軌跡快速求解技術(shù)

行星著陸軌跡優(yōu)化問題中，存在邊界約束、路徑約束和控制約束等復雜約束條件。這些約束條件對優(yōu)化問題的可行域和收斂性具有顯著影響，進而顯著影響軌跡優(yōu)化的解算效率。凸優(yōu)化方法在收斂性、快速性等方面具有顯著優(yōu)勢，但在復雜約束條件下獲得普適等效凸化模型是制約其應用的技術(shù)瓶頸。

3.3 不確定條件下的能控/能達性分析技術(shù)

在行星著陸中存在多種不確定因素，對著陸動力學和著陸軌跡的顯著擾動作用。因此，將確定性系統(tǒng)的能控/能達性分析方法引入不確定條件下的著陸軌跡問題分析，對于選擇初始狀態(tài)和著陸點，分析標稱軌跡性能、揭示不確定條件下的運動行為具有重要的應用價值。

4 結(jié)束語

隨著行星探測活動的不斷深入，著陸軌跡規(guī)劃的應用領(lǐng)域和優(yōu)化目標也隨之擴展：傳統(tǒng)軌跡規(guī)劃以飛行時間、燃料消耗、末端飛行高度等反映飛行品質(zhì)的軌跡參數(shù)為性能指標。由于地外天體著陸過程中導航信息源嚴重受限，制導控制系統(tǒng)先驗信息不確定性大，近年來，以導航系統(tǒng)可觀測度、不確定參數(shù)靈敏度等為性能指標的軌跡優(yōu)化方法逐漸受到重視，以應對地外天體著陸所特有的導航欠觀測問題和動力學不確知環(huán)境。此外，以軌跡優(yōu)化為基礎(chǔ)的能控集/能達集計算方法在著陸初始狀態(tài)、著陸目標點選擇、不確定參數(shù)影響分析等任務(wù)設(shè)計層面發(fā)揮了重要作用。

凸優(yōu)化方法由于在解算快速性與收斂性方面的優(yōu)勢，近年來在行星著陸軌跡優(yōu)化領(lǐng)域受到廣泛重視。但該方法對優(yōu)化問題的數(shù)學形式有嚴格要求。因此，結(jié)合著陸動力學、約束條件的特點，尋求軌跡優(yōu)化問題的普適等效凸化方法，是提高凸優(yōu)化方法解算適應性的重要技術(shù)途徑。