利用軟計(jì)算技術(shù)改善圓錐滾子軸承的工作性能

盧彥群，侯建偉

（河北工程大學(xué)，河北 邯鄲 057000）

1 前言

雙列圓錐滾子軸承（TRBs）用于在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)條件下支撐預(yù)緊力（P）、軸向載荷（Fa）、徑向載荷（Fr）和扭矩（T）等 4 種載荷及其組合。該類軸承由 2 個(gè)內(nèi)圈、1 個(gè)外圈和 2 組圓錐滾子組成，2 個(gè)內(nèi)圈之間由一個(gè)等寬的間隙（δ）隔開，圓錐滾子在內(nèi)、外圈之間形成兩列。δ 的作用是便于調(diào)整軸承的整體游隙和預(yù)緊力，并便于承受 P、Fa、Fr和 T 的作用。組合式載荷會(huì)在軸承滾道上產(chǎn)生接觸應(yīng)力（S）和局部變形（α），也會(huì)引起滾道自身的旋轉(zhuǎn)和 δ 的變化，這很難進(jìn)行實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)和驗(yàn)證，此外，如果軸承上承受的載荷與制造商的建議值不同，則軸承可能出現(xiàn)故障。譬如，如果 P 值較小，F(xiàn)r和 T 值很高，則可能在滾道上產(chǎn)生超過(guò) 1 000MPa 的 S 值和顯著的局部變形（αmax）。這可能會(huì)導(dǎo)致缺陷產(chǎn)生，如點(diǎn)蝕和疲勞剝落[1]。除了這些不希望的摩擦學(xué)問(wèn)題外，P 的降低可能導(dǎo)致外滾道的某些接觸區(qū)域產(chǎn)生更大的應(yīng)力，進(jìn)而導(dǎo)致滾子脫離外滾道[2]。因此，通常通過(guò)分析技術(shù)或數(shù)值方法（如有限元法——FEM）來(lái)確定此類機(jī)械裝置的最佳載荷組合。雖然使用有限元法有許多明顯的優(yōu)勢(shì)，但它的確也有一些缺點(diǎn)：比如在利用有限元模型處理機(jī)械接觸、大位移和材料非線性問(wèn)題時(shí)，會(huì)產(chǎn)生高昂的計(jì)算費(fèi)用，且在處理機(jī)械接觸問(wèn)題時(shí)的一個(gè)最大缺陷是網(wǎng)格尺寸及模型收斂問(wèn)題，也就是說(shuō)，如果圓錐滾子和滾道之間的接觸面較小，而兩個(gè)接觸體之間的單元格尺寸較大，則接觸應(yīng)力的計(jì)算將不太準(zhǔn)確[3]。一些研究人員[4]采用這種方法，分析了在若干種 P 和 Fr作用情況下的接觸體網(wǎng)格尺寸對(duì)圓錐滾子和滾道之間接觸應(yīng)力的影響。

眾所周知，單獨(dú)使用有限元（即沒(méi)有軟計(jì)算或數(shù)據(jù)挖掘——DM技術(shù)）來(lái)優(yōu)化運(yùn)轉(zhuǎn)工況或預(yù)測(cè)軸承故障的設(shè)計(jì)方法，涉及到不可接受的計(jì)算成本問(wèn)題。因而，為了預(yù)測(cè)安裝在雙列 TRB 上的輪轂的接觸應(yīng)力分布，洛斯塔多等人使用了基于 DM 技術(shù)的各種類型的回歸模型。其應(yīng)力分布由 P、Fr和摩擦系數(shù)決定，所得回歸模型可作為該類機(jī)械裝置設(shè)計(jì)階段的可行方案。此外，為了優(yōu)化這些機(jī)械裝置的運(yùn)行狀況，洛斯塔多等人[5]還采用了有限元和 DM 相結(jié)合的方法，以確定雙排 TRB 的最大承載能力。在這種情況下，研究的重點(diǎn)是找到輸入載荷（P、Fa、Fr和 T）的組合方式：當(dāng)兩排滾子的接觸應(yīng)力比都接近 25% 時(shí)，F(xiàn)r最大，即此時(shí)具有最大承載能力。其他一些研究者使用基于機(jī)器學(xué)習(xí)法的分類技術(shù)來(lái)事先預(yù)測(cè)軸承的失效與故障，這些預(yù)測(cè)滾子大多數(shù)僅僅依賴于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。例如，為了預(yù)測(cè)滾動(dòng)軸承的失效，蘇古曼等人采用了決策樹以及基于內(nèi)核的鄰域得分和多類支持向量機(jī)（SVM）等手段，其中涵蓋了狀態(tài)良好的軸承、內(nèi)圈故障的軸承、有外圈故障的軸承和有內(nèi)外圈同時(shí)存在故障的軸承。格里亞斯和安東尼亞迪斯[6]使用 SVM 方法對(duì)滾動(dòng)軸承故障進(jìn)行自動(dòng)診斷，這是一種有效的方法，在滾動(dòng)軸承故障診斷中具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。最近，康卡等人采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）和 SVW 檢測(cè)和診斷滾珠軸承的機(jī)械故障，通過(guò)對(duì)各種缺陷的振動(dòng)響應(yīng)分析，對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)進(jìn)行訓(xùn)練和測(cè)試，結(jié)果表明，上述算法可用于軸承故障的自動(dòng)診斷。蔣川等人提出了一種新穎的、基于經(jīng)驗(yàn)的小波變換和模糊相關(guān)分類的滾動(dòng)軸承故障診斷新方法，實(shí)驗(yàn)表明，該方法能有效地診斷滾動(dòng)軸承的三種不同工作狀態(tài)，且檢測(cè)率高于 SVW 和反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（BPANN）。

新近出版的文獻(xiàn)采用基于 FEM 和 DM 相結(jié)合的分類技術(shù)，來(lái)探究 TRB 的最佳運(yùn)行條件。用于對(duì)定義承載條件的明確響應(yīng)進(jìn)行分類的 DM 技術(shù)可分為有監(jiān)督數(shù)據(jù)集和無(wú)監(jiān)督數(shù)據(jù)集[7]。在有監(jiān)督數(shù)據(jù)集中，每個(gè)數(shù)據(jù)實(shí)例的類標(biāo)簽是已知的，新實(shí)例由構(gòu)建模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；然而，在無(wú)監(jiān)督數(shù)據(jù)集中，沒(méi)有實(shí)例標(biāo)簽，且可以用一組特定的相似度量對(duì)實(shí)例進(jìn)行分組。有監(jiān)督數(shù)據(jù)集和無(wú)監(jiān)督數(shù)據(jù)集技術(shù)都有應(yīng)用，但鑒于無(wú)監(jiān)督技術(shù)的結(jié)果不能令人滿意，故在該項(xiàng)工作中對(duì)有監(jiān)督技術(shù)給與了更多的關(guān)注。無(wú)監(jiān)督分類算法是基于有限正態(tài)混合模型的一種聚類算法，而有監(jiān)督分類算法數(shù)量較多，本文將其分為以下幾種：線性分類法、非線性分類法、分類樹和基于規(guī)則的分類法。

本文的主要目標(biāo)是建立精確的模型，以更高的精度自動(dòng)區(qū)分雙列 TRB 的預(yù)設(shè)運(yùn)行狀態(tài)——從幾個(gè)預(yù)先配置的 P、Fa、Fr和 T 負(fù)載組合來(lái)定義該狀態(tài)（例如：壞、差、好和優(yōu)）。分類模型可以提供運(yùn)行狀況的相關(guān)信息，包括某些不良狀況的附加信息，比如過(guò)高的接觸應(yīng)力、過(guò)大的局部變形、點(diǎn)蝕和疲勞剝落等。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，將機(jī)器學(xué)習(xí)法應(yīng)用于從雙排 TRB 的有限元模型中所得的數(shù)據(jù)集，這些若干負(fù)載下的數(shù)據(jù)集可以定義實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（DoE）后的運(yùn)行狀況。而后，創(chuàng)建了幾個(gè)模型并對(duì)其特征進(jìn)行約減、數(shù)學(xué)變換和參數(shù)整定，接下來(lái)，根據(jù)幾個(gè)魯棒性標(biāo)準(zhǔn)對(duì)所選模型進(jìn)行測(cè)試，以確定其泛化程度[8]。

2 材料與方法

2.1 雙列圓錐滾子軸承的負(fù)載組合與滾子條件

圖1a 顯示了施加在每個(gè) TRB 部件上載荷狀況（P、Fa、Fr和 T）：內(nèi)滾道上施加 P 荷載，外滾道上施加 Fa、Fr和 T 荷載。內(nèi)圈被 δ 分隔成兩邊對(duì)等的滾道，以便于軸承的拆卸和 P 的施加。由此可以理解，影響 TRB 的載荷是怎樣組合而成的，軸承是否可能會(huì)出現(xiàn)故障。例如，如果 TRB 上的組合載荷值等于制造商的建議值，則 δtop應(yīng)等于 δbottom（見(jiàn)圖 1a），此時(shí)，外滾道的頂部和底部區(qū)域的接觸應(yīng)力值不等于零（見(jiàn)圖1b），在這種情況下，所有滾子始終與內(nèi)外滾道保持機(jī)械接觸，而且局部變形量與接觸應(yīng)力也較小，這樣可以避免出現(xiàn)疲勞剝落和點(diǎn)蝕。與此相比，如果軸承承受不恰當(dāng)?shù)妮d荷（例如：過(guò)高的 Fr和 T 值，再加上較低的 P 值），那么 δtop與 δbottom則會(huì)不同，其結(jié)果會(huì)導(dǎo)致的 TRB 故障運(yùn)行（見(jiàn)圖1c）。如圖 1d 所示，只有一小部分外滾道（上部區(qū)域）承受非常高的應(yīng)力，而外滾道底部區(qū)域的接觸應(yīng)力值則為零。這將導(dǎo)致出現(xiàn)點(diǎn)蝕和疲勞剝落，進(jìn)而導(dǎo)致 TRB 故障。為了量化具有兩列滾道軸承滾子的“懸起”效應(yīng)，對(duì) TRB 的每列滾子的接觸比 S 做如下定義：

圖 1 所研究軸承的主要組成與負(fù)載

式中，Stop為各列滾子的頂部接觸應(yīng)力，Sbottom為各列滾子的底部接觸應(yīng)力。如果兩列滾子的接觸比（S1和 S2）大于 20%，則可防止 TRB 滾子懸起。

此外，為了量化軸承滾道的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，從而判斷軸承故障，將間隙差（Δδ）做如下定義：

式中，δtop為 TRB 頂部?jī)?nèi)圈間隙；δbottom為 TRB 底部?jī)?nèi)圈間隙。TRB 正確運(yùn)行的最佳條件是其Δδ 已盡可能減小。

但是，為了盡量減少外滾道的正常局部變形，以避免出現(xiàn)點(diǎn)蝕或疲勞剝落，在埃詩(shī)曼等人研究成果的基礎(chǔ)上，提出下式：

式中，αmax為最大局部變形量；dr為圓錐滾子的平均直徑（此處，其值等于 11.3 mm）。所以，作為一般規(guī)則，本案例中的 αmax的值在任何點(diǎn)都不應(yīng)超過(guò)外滾道 0.001 13mm。

一旦確定了 TRB 能夠正常工作的條件，就要考慮各工況下 δ、α、S1和 S2的取值范圍。本文將工況分為四類（壞、差、好和優(yōu)），每類工況示蹤的實(shí)例數(shù)如下：“壞”工況，試驗(yàn) 15 例，檢測(cè) 4 例；“差”工況，試驗(yàn) 16 例，檢測(cè) 14 例；“好”工況，試驗(yàn) 27 例，檢測(cè) 6 例；“優(yōu)”工況，試驗(yàn) 25 例，檢測(cè) 6 例。表 1 根據(jù)檢測(cè)結(jié)果概括了各工況下的參數(shù)范圍。

表1 各類工況下的參數(shù)取值范圍

2.2 雙排 TRB 的建模與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在本案例中，為研究不同載荷組合，建立了的軸承三維有限元模型（其中包括圓錐滾子、內(nèi)外滾道及用來(lái)安裝 TRB 的輪軸），并利用一個(gè)雙列 TRB 的一半模型進(jìn)行了模擬。為了降低仿真計(jì)算成本，本案例僅考慮對(duì)稱幾何條件和對(duì)稱加載狀況，且將 8 節(jié)點(diǎn)和 6 節(jié)點(diǎn)的三維有限元結(jié)合起來(lái)，并使用線性函數(shù)進(jìn)行完全積分，從而構(gòu)建 TRB 有限元模型。該研究所涉及的 TRB的幾何尺寸為：孔徑 78mm，外徑 130mm，寬度90mm，每列 25 個(gè)圓錐滾子。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)并結(jié)合實(shí)際情況，假設(shè)輪軸和內(nèi)圈之間的摩擦系數(shù)為0.2，滾子與內(nèi)圈之間以及滾子與外圈之間的摩擦系數(shù)為 0.001。完整的 TRB 有限元模型由 734 84個(gè)單元、84 009 個(gè)節(jié)點(diǎn)和 3 289 個(gè)自由度組成。與傳統(tǒng)的“節(jié)點(diǎn)-段”接觸檢測(cè)算法相比，“部分分隔”接觸檢測(cè)算法能夠減少計(jì)算接觸應(yīng)力的誤差，同時(shí)可以減少接觸應(yīng)力的網(wǎng)格密度[9]，為了改善 TRB 不同部分之間的機(jī)械接觸檢測(cè)質(zhì)量，本研究選擇了后者。整個(gè)有限元模型的雅可比因子始終大于 0.6，因此，沒(méi)有生成零體積的元素，此外，任何元素的縱橫比（定義為元素最長(zhǎng)邊緣與其最短邊緣之間的比率）從未超過(guò)10:1。

在材料屬性上，賦予圓錐滾子與滾道以線彈性和各向異性鋼，且滾子的楊氏模量（E）為 208GPa，泊松比（ν）為 0.29。輪轂是以E = 200GPa 和 ν = 0.29 的假設(shè)而建模。TRB 的不同組成部分如圖 2a 所示，調(diào)整后的有限元模型最終網(wǎng)格尺寸如圖 2b 所示。

圖 2 三維有限元模型

該案例對(duì)所提出的有限元模型進(jìn)行了調(diào)整和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，使所得結(jié)果盡可能真實(shí)。這一過(guò)程通過(guò)對(duì)接觸運(yùn)動(dòng)副（滾子和滾道）的網(wǎng)格尺寸以及滾道之間的相對(duì)位移的調(diào)整來(lái)實(shí)現(xiàn)，其中施加的力 P 分別為 300、400、500 和 600 N，力 Fr為 2 000N。

2.2.1 滾子與滾道網(wǎng)格尺寸的匹配

眾所周知，機(jī)械接觸問(wèn)題中的非線性是有限元法求解實(shí)際接觸應(yīng)力的主要難點(diǎn)之一。就這類非線性問(wèn)題而言，有些有限元模型只具有有限的接觸面，而網(wǎng)格尺寸很大，這很可能產(chǎn)生不切實(shí)際的接觸應(yīng)力。這一問(wèn)題往往通過(guò)使接觸副之間的網(wǎng)格更小化來(lái)解決，即增加接觸節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，或增加有限元模型函數(shù)的多項(xiàng)式次數(shù)[10]。為此，德米漢和坎伯對(duì)圓柱滾子軸承的有限元模型進(jìn)行了調(diào)整。該案例研究了單元格大小對(duì)滾道與滾子接觸應(yīng)力的影響以及內(nèi)外滾道的相對(duì)位移等情況，同時(shí)還對(duì)滾子和滾道之間不同網(wǎng)格尺寸的接觸應(yīng)力與理論數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較，其間，當(dāng)有限元模型所得結(jié)果與理論和實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果之間的差異不顯著時(shí)，模型調(diào)整完成。類似于德米漢的工作方式，本案例逐漸遞減網(wǎng)格尺寸，相繼構(gòu)建出含局部精細(xì)網(wǎng)格接觸區(qū)域的有限元模型。這種通過(guò)使用漸小化網(wǎng)格尺寸來(lái)創(chuàng)建連續(xù)網(wǎng)格的方法需經(jīng)過(guò)不斷改進(jìn)，直到這些有限元模型外滾道上的接觸應(yīng)力與理論模型上的接觸應(yīng)力幾乎沒(méi)有差異為止。本案例以赫茲[11]圓柱體理論模型為基礎(chǔ)，對(duì)所提出的有限元模型的不同網(wǎng)格尺寸進(jìn)行了比較，并使用平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）來(lái)確定有限元模型的網(wǎng)格大小何時(shí)有效。MAPE 的定義如下：

式中，YyiFEM為每個(gè)有限元模型在不同擬用網(wǎng)格尺寸時(shí)的接觸應(yīng)力；

YyiFEM為理論模型中的接觸應(yīng)力；m 為各尺寸網(wǎng)格下的節(jié)點(diǎn)總數(shù)；

k 為局部接觸區(qū)各節(jié)點(diǎn)的接觸應(yīng)力之一；

yi 是調(diào)整參數(shù)，在本案例中對(duì)應(yīng)于接觸面積元素的網(wǎng)格大小。當(dāng)接觸元素（包括滾子和滾道）接觸區(qū)尺寸分別為 5.1、1.0 和 0.2 mm時(shí)，網(wǎng)格尺寸調(diào)整所獲得的 MAPE 如表 2 所示，它顯示了預(yù)加載 P 分別等于 300、400、500 和 600 N 和

表2 調(diào)整網(wǎng)格密度時(shí)，有限元模型的MAPE及其計(jì)算成本

Fr等于 2 000 N 時(shí)的 MAPE，此外還對(duì)每個(gè)網(wǎng)格所需的平均計(jì)算時(shí)間進(jìn)行了探討。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng) MAPE 小于 6% 時(shí)，才被認(rèn)為是合理的，當(dāng)然還要考慮計(jì)算成本，因?yàn)閷?duì)任何使用 FEM 解決的問(wèn)題，其 MAPE 和計(jì)算成本都要達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)，以此為準(zhǔn)則，本案例中滿足此要求的要素是那些網(wǎng)格尺寸為 0.2 mm 的單元格（對(duì)所有的 P 進(jìn)行預(yù)加載和模擬，其 MAPE 和計(jì)算成本均低于閾值）。

2.2.2 基于滾道相對(duì)位移的 TRB 的調(diào)整

在有限元模型的驗(yàn)證中，但凡對(duì)網(wǎng)格尺寸做出調(diào)整，都要考慮內(nèi)外滾道的相對(duì)位移的變化，因?yàn)閮?nèi)外滾道的相對(duì)位移主要用于檢驗(yàn)有限元模型的網(wǎng)格尺寸、摩擦系數(shù)和彈性特征（E 和 v）的是否恰當(dāng)。實(shí)驗(yàn)中，用圖 3a 中所示的、帶有 2 只紅色鉛筆的比較儀來(lái)測(cè)量該相對(duì)位移，在有限元模型中，該位移在屬于模型本身對(duì)稱平面的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間進(jìn)行測(cè)量，如圖 2a 所示。在網(wǎng)格尺寸調(diào)整過(guò)程中，載荷 P 值分別為 300、400、500 和 600 N，F(xiàn)r值為 2 000 N。Fr通過(guò)加載單元（型號(hào)為 HBM U3，加載能力為 5kN）施加于 TRB，P 由一個(gè)螺絲通過(guò)一個(gè)鋼質(zhì)套管施加在軸承內(nèi)圈上，用一個(gè)安裝在套管上的應(yīng)變儀來(lái)測(cè)量 P 值，在擰動(dòng)螺絲時(shí)，套管壓向內(nèi)圈。圖 3b 顯示了不同 P 值和 Fr值下，從試驗(yàn)臺(tái)獲得的相對(duì)位移與從有限元模型獲得的相對(duì)位移之間的差異：虛線表示實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的相對(duì)位移，實(shí)線表示有限元模型產(chǎn)生的相對(duì)位移。這些成對(duì)兒的曲線表明，所獲得的這兩種相對(duì)位移之間的差異較小，此外，圖 3b 也表明，無(wú)論是有限元模型還是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，當(dāng)施加最低的 P 時(shí)，相對(duì)位移較大，當(dāng)施加最高的P時(shí)，相對(duì)位移最小，同時(shí)圖 3b 還表明，隨著預(yù)緊力的增加，滾道與滾子接觸剛度增加，TRB 變形減小。圖 3c 表達(dá)了通過(guò)實(shí)驗(yàn)和有限元模型得出的不同相對(duì)位移值的詳情，這種剛度變化與考茲拉絲和卡尼亞[12]之前報(bào)道的荷載-撓度關(guān)系非常吻合，這表明 TRB 中的預(yù)載值越高，其剛度越大。從圖 3b 還可以推斷出：如果網(wǎng)格尺寸有效，那么與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和有限元模型的預(yù)設(shè)參數(shù)（Ebearing= 200 Gpa，Ehub= 208 GPa，ν = 0.29，摩擦系數(shù) = 0.001 和 0.2）相一致。雖然優(yōu)化過(guò)程中使用的荷載比網(wǎng)格調(diào)整過(guò)程中使用的荷載高（見(jiàn)表 4），但在 2.2.1的預(yù)設(shè)參數(shù)和網(wǎng)格尺寸描述中，已經(jīng)為優(yōu)化過(guò)程中的所有有限元模擬做了設(shè)置。這主要是因?yàn)樵趦?yōu)化過(guò)程中 TRB 所承受的載荷始終在廠家規(guī)定的范圍內(nèi)，所以，TRB 的所有部件都不會(huì)發(fā)生永久性變形。

圖 3 內(nèi)外圈相對(duì)位移監(jiān)測(cè)

2.3 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

因?yàn)樾枰紤]的變量和因子的數(shù)量及每個(gè)變量的級(jí)差非常多，所以，所取樣本數(shù)無(wú)法覆蓋整個(gè)可能性空間，因此，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)在這項(xiàng)工作中的應(yīng)用，大大減少了取樣組合，在模型所需的樣本數(shù)量和有限元模擬實(shí)際需求之間，提供了一個(gè)很好的折衷。本案例實(shí)施了 3 個(gè)層級(jí)的 3k 全因子DoE，其層級(jí)與因子數(shù)值見(jiàn)表 3。

在建立了如表 3 所示的因子和層級(jí)后，生成了設(shè)計(jì)矩陣和荷載組合。該案例必需要進(jìn)行 81次實(shí)驗(yàn)或有限元模擬，以盡量涵蓋所有可能性，并隨之優(yōu)化預(yù)設(shè)負(fù)載，以改善雙排 TRB 的工作條件。表 4 給出了所實(shí)施實(shí)驗(yàn)或有限元模擬的次數(shù)，以及要模擬的負(fù)載值。

表3 基于各因子和3K全因子法的DOE參數(shù)、范圍、等級(jí)選擇

表4 設(shè)計(jì)矩陣及擬模擬的載荷組合

?

2.4 數(shù)據(jù)的多變量與聚類分析

為了平衡變量的權(quán)重并改善統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果，首先，在使用分類方法之前，對(duì)所有數(shù)據(jù)集中的變量，都在 0 和 1 之間進(jìn)行了規(guī)范化處理，然后，對(duì)差異性和相關(guān)性進(jìn)行了探索性分析，對(duì)方差進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析。方差統(tǒng)計(jì)涵蓋參數(shù)性分析和非參數(shù)性分析，包括方差分析、巴特利特檢、布朗-福賽斯分析以及弗萊格-凱琳檢測(cè)[13]等。這些分析旨在確定每個(gè)特征的意義，確定這四類方法之間是否存在顯著差異，是否包含任何冗余特性，此外，主成分分析（PCA）生成了一個(gè)具有新特征的新的數(shù)據(jù)集，并在隨后對(duì)其進(jìn)行了研究。差異和相關(guān)性分析是一種流行的方法，成功地運(yùn)用于該課題[14]，它產(chǎn)生變量初始空間的正交變化，以創(chuàng)建一組稱為主成分（PCs）的變量。正交投影捕捉數(shù)據(jù)中的大部分方差，并將一組相關(guān)成分轉(zhuǎn)換成一組非線性相關(guān)的成分。此外，為了最終應(yīng)用所提出的分類方法，對(duì)所提出的DoE中的數(shù)據(jù)進(jìn)行了聚類分析，以確定輸入變量是否能夠便捷地定義分類問(wèn)題。

2.5 監(jiān)督分類法

該課題采用了幾種監(jiān)督分類技術(shù)，按照所研究的四個(gè)類別對(duì)雙排 TRB 的呈現(xiàn)條件進(jìn)行分類。

表5 采用的分類技術(shù)

為完成這一過(guò)程，將包含選定特征的數(shù)據(jù)集用作輸入，而這些特征定義了預(yù)設(shè)條件（P、Fa、Fr和 T）。為了簡(jiǎn)化模型，建立了魯棒性更好的分類模型，對(duì)其進(jìn)行了特征約簡(jiǎn)和參數(shù)調(diào)整，而后，對(duì)這一階段的模型進(jìn)行了測(cè)試，以確定它們的實(shí)際推廣能力，此外還對(duì)模型的性能測(cè)試結(jié)果進(jìn)行了比較，以確定和選擇最準(zhǔn)確的模型，最后，對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，以確保模型能夠在不經(jīng)過(guò)量訓(xùn)練的情況下，盡量解決更多問(wèn)題。

整個(gè)分類過(guò)程按照以下方法進(jìn)行：把數(shù)據(jù)集分成 2 組——第 1 組叫做訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，由計(jì)劃 DoE 的 81 個(gè)樣本組成；第 2 組叫做實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集，由在 DoE 中所建議范圍內(nèi)的一些隨機(jī)實(shí)例所形成（32 個(gè)樣本）。選擇訓(xùn)練數(shù)據(jù)集并使用重復(fù) 10 次的交叉驗(yàn)證來(lái)構(gòu)建和培訓(xùn)模型。由于某些方法（例如，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或支持向量機(jī)）在學(xué)習(xí)過(guò)程中使用隨機(jī)初始值，因此該培訓(xùn)有必要多次重復(fù)（本案例重復(fù)了 50 次），以提高結(jié)果的準(zhǔn)確性。在培訓(xùn)過(guò)程中，設(shè)法調(diào)整每種算法的最重要的參數(shù)，以獲得更好的結(jié)果，對(duì)于每種算法，選擇最精確的模型進(jìn)行測(cè)試，而且在此期間使用了尚未用于培訓(xùn)的數(shù)據(jù)集。這種測(cè)試可以選擇最精確的模型，因?yàn)樗鼈兊木_性是通過(guò)以前未使用的實(shí)例來(lái)確定的。對(duì)于每種分類技術(shù)，在選擇了最精確的模型后，對(duì)該選擇過(guò)程進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明，所選模型能夠成功地解決各個(gè)方面的問(wèn)題，最后，根據(jù)這些最精確的模型，對(duì)最優(yōu)預(yù)設(shè)值進(jìn)行了最佳分類，確保了 TRB 的正確的工作條件。

2.6 魯棒性準(zhǔn)則

模型的魯棒性是模型選擇中一個(gè)實(shí)用的參數(shù)，而其作為一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，通常情況下需要通過(guò) 95% 置信水平下的整體分類來(lái)驗(yàn)證其精度。當(dāng)總體分類準(zhǔn)確度相似（比如：靈敏性、非加權(quán)卡巴統(tǒng)計(jì)、特異性、檢出率、發(fā)病率、陽(yáng)性預(yù)測(cè)值、陰性檢出率、預(yù)測(cè)值和平衡精準(zhǔn)度等）時(shí)，也考慮其他標(biāo)準(zhǔn)（見(jiàn)表 6）。

表6 優(yōu)化分類模型準(zhǔn)確性且可以選擇最佳分類模型指標(biāo)

在 v3.4.1 統(tǒng)計(jì)軟件環(huán)境下，用 R 語(yǔ)言對(duì)提議的方法進(jìn)行編程，并開發(fā)分類模型[15]。

3 結(jié)果與討論

3.1 FE 模型結(jié)果

一旦 FE 模型通過(guò)驗(yàn)證，自動(dòng)程序則會(huì)根據(jù)表 4 中所建議的 DoE 進(jìn)行 81 次有限元模擬，其結(jié)果如表 7 所示（S1、S2、αmax和Δδ）。

表7 基于表4定義的DoE的81次有限元模擬結(jié)果

?

圖 4 表達(dá)了根據(jù)施加荷載（見(jiàn)表 1）情況和從有限元模擬（見(jiàn)表 7）結(jié)果中獲得的數(shù)據(jù)集分布，其中圖 4a 顯示了αmax、S1和 S2的三維圖形數(shù)據(jù)集分布，圖 4 b 顯示了Δδ，S1和 S2的三維圖形數(shù)據(jù)集分布。在這兩個(gè)圖中，都可以看到與優(yōu)、好、差和壞條件相關(guān)的圖案結(jié)構(gòu)。

圖 4 載荷與模擬數(shù)據(jù)集分布

此外，32 個(gè)新的有限元模型被用于新的荷載組合測(cè)試分類程序（見(jiàn)表 8），同樣，用一個(gè)自動(dòng)程序來(lái)運(yùn)行 32 個(gè)新的有限元模擬，其結(jié)果見(jiàn)表 9。

表8 新荷載組合模擬

表9 按表8輸入的有FE模擬結(jié)果

?

?

3.2 多元分析與無(wú)監(jiān)督分類

實(shí)驗(yàn)進(jìn)行期間，按照提議四種方法的對(duì)數(shù)據(jù)集的四個(gè)變量進(jìn)行了方差同質(zhì)性的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，表 10 所列的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)以及 P 值均為計(jì)算值。此外，還進(jìn)行了相關(guān)分析，其結(jié)論是：盡管 Fr是最重要的特征，但在當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)條件下，四個(gè)特征都具有重要意義。

表10 各變量方差均勻性檢驗(yàn)結(jié)果

隨后，將數(shù)據(jù)集引入 PCA 中，結(jié)果表明，所有新的 PCs 所闡釋的數(shù)據(jù)方差比例（見(jiàn)表 11）與原始特征大致相同。鑒于此，人們認(rèn)為使用原始特性是更好的選擇，因?yàn)槭褂靡阎獙傩远皇撬鼈兊木€性組合將構(gòu)建更容易理解的模型。

表11 PCs的重要性

從這一點(diǎn)出發(fā)，采用無(wú)監(jiān)督聚類方法，根據(jù) 4 個(gè)原始特征得到 4 組分類。依據(jù) DoE 信息和實(shí)例的相似性度量，使用 EM 算法擬合而成高斯有限元混合模型，確定數(shù)據(jù)的累加是否可以定義和如何定義 4 個(gè)集群。對(duì)這種無(wú)監(jiān)督算法進(jìn)行多元混合評(píng)價(jià)（見(jiàn)圖 5），可以看到，貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）在絕對(duì)值上隨著集群數(shù)量的增加而顯著增加。進(jìn)一步的分析結(jié)果表明，采用簡(jiǎn)單的聚類技術(shù)，不能將數(shù)據(jù)按照誤差較小的類劃分為 4 組。對(duì)于一個(gè)集群和接下來(lái)的 3 個(gè)多元混合物（EII、VII、EEI）來(lái)說(shuō)，最好的 BIC 值為343.45。

圖 5 集群數(shù)與BIC的關(guān)系

多元混合體如下：EII（球形、等體積）、VII（球形、等體積）、EEI（對(duì)角線、等體積、等形狀）、VEI（對(duì)角線、變體積、等形狀）、EVI（對(duì)角線、等體積、變形狀）、VVI（對(duì)角線、變體積、變形狀）、EEE（橢圓體、等體積、等形狀、同方向）、EVE（橢圓體、等體積、同方向）、VEE橢圓體、等形狀、同方向）、VVE（橢圓體、同方向）、EEV（橢圓體、等體積、等形狀）、VEV（橢圓體、等形狀）、EVV（橢圓體、等體積）和VVV（橢圓體、變體積、變形狀、變方向）。

3.3 分類技術(shù)結(jié)果

至此，由于采用 PCA 對(duì)變量進(jìn)行特征約簡(jiǎn)，以及使用聚類技術(shù)對(duì)群組進(jìn)行分類都沒(méi)有使分類方法得到改善，因此對(duì)所有原始特征進(jìn)行了監(jiān)督分類，并利用該方法建立了多個(gè)模型，而且利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)集進(jìn)行了訓(xùn)練，同時(shí)，在此階段對(duì)算法的定義參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，提高了算法的精度。表 12 顯示了技術(shù)方法、在分析期間已調(diào)優(yōu)的參數(shù)、參數(shù)的調(diào)優(yōu)范圍以及為最終模型的選用值。一個(gè)重復(fù) 50 次的十倍交叉驗(yàn)證過(guò)程決定了模型的分類精度，而分析該精度的主要準(zhǔn)則為總體精度。但是，如果對(duì)誤差百分比有任何疑問(wèn)，則也要對(duì)其他魯棒性準(zhǔn)則進(jìn)行審視。

表12 各項(xiàng)技術(shù)最重要參數(shù)的調(diào)整及研究值的選定

?

對(duì)每種技術(shù)而言，在其最精確模型的訓(xùn)練階段，都要進(jìn)行測(cè)試，而測(cè)試數(shù)據(jù)集可用來(lái)確定每一種方法的實(shí)際泛化能力，培訓(xùn)和測(cè)試階段的結(jié)果見(jiàn)表 13。這些測(cè)試表明，非線性分類方法中的 ANN 和 SVM、分類樹中的 C4.5 和 evTree 以及基于規(guī)則的方法等方法在訓(xùn)練階段都能得到非常準(zhǔn)確的結(jié)果。然而，當(dāng)將新的實(shí)例應(yīng)用于模型時(shí)，精度要低得多。這一現(xiàn)象說(shuō)明，在訓(xùn)練階段，一些模型存在過(guò)度擬合，所以測(cè)試數(shù)據(jù)集對(duì)分析模型的真實(shí)泛化能力非常有用。

表13 使用所有數(shù)據(jù)集時(shí)，訓(xùn)練和測(cè)試階段的結(jié)果（最精確的模型由斜體字表示）

這一具有所有的原始特征并基于 FDA 的模型，在對(duì)最佳預(yù)設(shè)條件進(jìn)行分類的過(guò)程中，提供了最大的準(zhǔn)確性，且基于判別分析的不同非線性技術(shù)的精度差異也不太顯著，此外，為確定哪個(gè)FDA 是最準(zhǔn)確，我們可以采用其他建議的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判別（例如，對(duì)于未加權(quán)的 kappa 統(tǒng)計(jì)，使用FDA 的價(jià)值大于使用 MDA）。

表 14 顯示了使用所選 FDA 模型的測(cè)試數(shù)據(jù)集的混合矩陣，該矩陣表明，“優(yōu)秀”級(jí)別的預(yù)測(cè)是相當(dāng)準(zhǔn)確的，該級(jí)別必須確保 TRB 的正確工作條件。這個(gè)預(yù)測(cè)顯示出每一個(gè)被標(biāo)記為“優(yōu)秀”的級(jí)別是如何被預(yù)測(cè)為“優(yōu)秀”的。然而，由于 16 個(gè)實(shí)例中有 6 個(gè)預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，所以級(jí)別被標(biāo)記為“差”的實(shí)例較難分類，而“壞”和“好”級(jí)預(yù)測(cè)了所有標(biāo)記的實(shí)例，只有一個(gè)例外。此外，表 15 顯示了分類模型性能的更多統(tǒng)計(jì)信息。

表14 基于FDA的模型在測(cè)試階段的混淆矩陣

表15 測(cè)試階段基于FDA的模型統(tǒng)計(jì)

雖然在 FDA 模型中使用測(cè)試數(shù)據(jù)集時(shí)總準(zhǔn)確率為 75%，但當(dāng)對(duì)這些結(jié)果進(jìn)行分析時(shí)，可以看出該準(zhǔn)確度可以得到提高。本案例中，可以把所定義的 4 種級(jí)別的問(wèn)題簡(jiǎn)化為 2 類，第一類涵蓋原來(lái)的“壞”和“差”，它使得 TRB 在不恰當(dāng)?shù)臈l件下運(yùn)行；另一類包括了“優(yōu)”和“好”，意味著 TRB 在合適的條件下工作。在本例中，表16 中顯示的混淆矩陣表明，只有兩個(gè)實(shí)例被預(yù)測(cè)為與其標(biāo)簽不同的類。這意味著當(dāng)合并相關(guān)類以減少類的數(shù)量時(shí)，模型的總精度可以提高到 93.75%。

表16 測(cè)試階段僅為“壞-差”和“好-優(yōu)”兩各級(jí)別的基于FDA模型的混淆矩陣

FDA 是基于 LDA 的線性技術(shù)，但有一個(gè)額外的懲罰策略，該懲罰模型采用彈性網(wǎng)絡(luò)技術(shù)：L1懲罰實(shí)際上消除了預(yù)測(cè)因子，而 L2懲罰降低了判別函數(shù)的系數(shù)。判別空間構(gòu)造模型的維數(shù)等于 3（θ1，θ2，θ3），解釋模型的方差百分比在各個(gè)維度上分別為 66%、29.46%、4.54%，此外，得到的三向維度與原始特征的關(guān)系如表 17 所示，它表明在四個(gè)原始特征中，只使用了 P、Fr和Fa，沒(méi)有使用 T，其中，h（·）為鉸鏈函數(shù)，如式（5）所示。表 18 給出了用于判別空間各維度的預(yù)測(cè)結(jié)果。

表17 所得3D模型與原始特征的關(guān)系

表18 各維和全維度的預(yù)測(cè)結(jié)果

4 結(jié)論

本文驗(yàn)證了一種基于數(shù)據(jù)分析和機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)的兩步方法，該方法既可應(yīng)用于有限元模型分析，也可應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘。其目標(biāo)是創(chuàng)建一個(gè)可以自動(dòng)分類的組合載荷模型，該載荷可以界定一個(gè)雙排 TRB 的、與其穩(wěn)定的工作狀態(tài)相關(guān)的預(yù)置條件。為此，建立了雙排 TRB 的三維有限元模型，并成功地對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值模擬，且模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。在此模型的基礎(chǔ)上，按照所提出的DoE方法，執(zhí)行了一個(gè)將負(fù)載與定義工作條件的類別相結(jié)合的數(shù)據(jù)集，隨后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，其中包括探索性分析以及方差和相關(guān)性分析，以消除不重要的變量，同時(shí)建立了幾種分類模型，并通過(guò)特征約簡(jiǎn)和參數(shù)調(diào)優(yōu)技術(shù)對(duì)它們進(jìn)行了優(yōu)化。為了確定方法的性能，使用了新的實(shí)例測(cè)試和驗(yàn)證了優(yōu)化的模型，結(jié)果表明，一些方法在定義可能性空間時(shí)產(chǎn)生了過(guò)度擬合，但在生成模型時(shí)所使用新的實(shí)例沒(méi)有降低模型的性能。最后，可以看出最精確的模型是在非線性分類方法組內(nèi)，更具體地說(shuō)，它是在柔性的判別分析的基礎(chǔ)上產(chǎn)生了 93.75% 的、非常準(zhǔn)確的結(jié)果，而最初的四個(gè)類被減少到只有兩個(gè)。結(jié)果表明，將有限元法與機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)相結(jié)合，可以成功地確定機(jī)械裝置的工作狀態(tài)。