汽車多材料控制臂拓?fù)鋬?yōu)化方法*

陳瀟凱，李 超，白影春，楊子發(fā)

（1.北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院，北京 100081；2.北京汽車新能源汽車股份有限公司，北京 100176）

前言

隨著新能源汽車的不斷發(fā)展，提高汽車?yán)m(xù)駛里程和操縱性能成為新能源汽車產(chǎn)品有效競(jìng)爭(zhēng)手段?？刂票圩鳛槠嚨妆P結(jié)構(gòu)的主要組成部分，其輕量化設(shè)計(jì)的重要性不言而喻。鋼和鋁合金等金屬類型控制臂的設(shè)計(jì)潛力已挖掘殆盡，新材料和新結(jié)構(gòu)成為進(jìn)一步減輕質(zhì)量和提高性能的重要途徑。

在尋求新的結(jié)構(gòu)形式方面，可以從生物界得到很多啟發(fā)。大自然億萬(wàn)年的進(jìn)化孕育了眾多比模量、比強(qiáng)度高的結(jié)構(gòu)，例如蠶絲、動(dòng)物骨骼和植物桿莖等。與傳統(tǒng)材料（如金屬、陶瓷等）不同，天然生物材料大多具有分級(jí)結(jié)構(gòu)。例如，骨骼由骨密質(zhì)、骨松質(zhì)、骨髓以及包覆的骨膜組成，是一種具有多種填充材料的殼結(jié)構(gòu)。骨骼具有較大的剛度、強(qiáng)度，能有效吸收外部沖擊，且質(zhì)量較輕。隨著對(duì)輕量化結(jié)構(gòu)的需求日益突顯，具有殼特征的結(jié)構(gòu)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于航空航天以及建筑中。具有殼結(jié)構(gòu)特征的控制臂成為了新可能，特斯拉Model 3和Model X的上控制臂使用沖壓鋼包覆PA6+GF50%工程塑料，實(shí)現(xiàn)了輕量并提高性能的目的；理想ONE的下擺臂則使用復(fù)合材料包覆高強(qiáng)鋼，這種結(jié)構(gòu)如同韌帶附著在骨骼上，增加了整體強(qiáng)度。這兩種形式的控制臂都可以看作具有殼/填充結(jié)構(gòu)，控制臂內(nèi)部復(fù)合材料加強(qiáng)筋的設(shè)計(jì)是通過巴斯夫?qū)Ｓ肅AE工具Ultrasim所開發(fā)。然而，這種將加強(qiáng)筋與其他結(jié)構(gòu)分開單獨(dú)設(shè)計(jì)的方式不可避免地縮小了整體優(yōu)化問題的可行域。為了尋求更具有普適性的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，殼/填充結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的發(fā)展將起到關(guān)鍵作用。

殼/填充結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化是近年來(lái)逐漸發(fā)展的拓?fù)鋬?yōu)化方法，具有廣闊的應(yīng)用前景。Clausen等提出了殼/填充結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的概念，通過密度空間梯度對(duì)結(jié)構(gòu)界面進(jìn)行識(shí)別，并產(chǎn)生均勻厚度的殼結(jié)構(gòu)［1］。密度空間梯度也被應(yīng)用于多相材料間的界面識(shí)別［2］和均勻填充［1］與非均勻填充結(jié)構(gòu)［3］中。除此之外，布爾運(yùn)算［4-5］、水平集法［6］和形態(tài)學(xué)算子［7］都開始應(yīng)用于求解殼/單材料填充拓?fù)鋬?yōu)化問題。為了將單材料填充問題向多材料轉(zhuǎn)化，并考慮殼/填充多材料控制臂的整體化設(shè)計(jì)，本文中提出了一種具有局部體積約束的殼/多材料填充拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法，并將其應(yīng)用于汽車復(fù)合型控制臂概念設(shè)計(jì)中，為汽車控制臂或其他類型多材料復(fù)合結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供借鑒。

1 殼/多材料填充結(jié)構(gòu)材料插值

1.1 結(jié)構(gòu)介紹

殼/多材料填充結(jié)構(gòu)是由均勻厚度的殼體和內(nèi)部多材料填充物構(gòu)成，如圖1所示。

圖1 殼/多材料填充結(jié)構(gòu)

設(shè)定殼特征的材料為C，內(nèi)部填充材料為材料A和材料B?？紤]制造上的可行性，所有殼特征應(yīng)具有相同的厚度。填充材料為各向同性復(fù)合材料、金屬材料或空材料，填充材料的結(jié)構(gòu)特征可以通過局部體積約束進(jìn)行限制，使得材料分布均勻，從而適用于多種工況。填充材料占有較大結(jié)構(gòu)體積，具有設(shè)計(jì)自由度大的特點(diǎn)。填充材料一般采用較為輕質(zhì)的材料，例如特斯拉和理想ONE采用的PA6+GF50%工程塑料。

1.2 多材料拓?fù)鋬?yōu)化實(shí)現(xiàn)

1.2.1 Helmholtz濾波

在拓?fù)鋬?yōu)化中，標(biāo)準(zhǔn)密度濾波可有效抑制棋盤格現(xiàn)象的產(chǎn)生，以及降低網(wǎng)格依賴性。而基于Helmholtz偏微分方程的濾波方法［8］，既具有標(biāo)準(zhǔn)濾波器的作用，還能夠?qū)崿F(xiàn)并行計(jì)算［9］。對(duì)于各向同性材料而言，濾波后的變量x可以表示為Helmholtz型偏微分方程的解：

式中：x和x分別為濾波前后的變量；n為設(shè)計(jì)域邊界外法線單位向量；r為濾波尺度參數(shù)。其中，r的值與標(biāo)準(zhǔn)濾波半徑的值R具有如下等價(jià)關(guān)系：

1.2.2 Heaviside映射函數(shù)

用Heaviside映射函數(shù)將灰度單元映射為黑/白單元，濾波后的單元密度x通過如下映射函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換［10］：

式中：i代表第i個(gè)單元；β為銳度；η為閾值?？蓪⑹剑?）記為xˉi=H(xi，η，β)，H表示Heaviside函數(shù)。

1.2.3 多材料插值模型

為了得到殼特征以及多材料填充，采用兩組設(shè)計(jì)變量μ1和μ2來(lái)建立材料插值模型，如圖2所示。第1組設(shè)計(jì)變量μ1經(jīng)過兩步濾波［1］，將填充區(qū)域與殼區(qū)域分離開來(lái)，第2組設(shè)計(jì)變量μ2則是用于決定填充材料的種類。

圖2 材料插值模型示意圖

第1步濾波與映射是為了降低網(wǎng)格依賴性并得到0/1設(shè)計(jì)結(jié)果，也即填充結(jié)構(gòu)的材料分布。第2步濾波使填充結(jié)構(gòu)界面處產(chǎn)生密度梯度，進(jìn)而利用歸一化密度梯度范數(shù)和Heaviside映射，識(shí)別出填充結(jié)構(gòu)邊界。歸一化密度梯度范數(shù)可以通過式（4）計(jì)算［1］：

式中α為歸一化系數(shù)，它是最大可能梯度范數(shù)的倒數(shù)，其值只與第2步濾波的濾波半徑相關(guān)：

殼結(jié)構(gòu)厚度由第2步濾波的濾波半徑?jīng)Q定：

將單材料殼/填充結(jié)構(gòu)插值公式拓展為多材料插值，可得密度、彈性模量和泊松比插值公式：

式中：p為懲罰因子；ρ3、E3、ν3分別為殼材料C的密度、彈性模量和泊松比；λm1、λE1、λν1為材料A的比例系數(shù)；λm2、λE2、λν2為材料B的比例系數(shù)。各比例系數(shù)與材料A和材料B的模量和泊松比具有如下關(guān)系：

式中：ρ1、E1、ν1分別為填充材料A的密度、彈性模量和泊松比；ρ2、E2、ν2分別為填充材料B的密度、彈性模量和泊松比。

由式（7）～式（11）可以看出，最終的材料插值模型由變量φ1、φ2和確定，極限情況下材料插值規(guī)律由表1所示?？紤]3種等于0的情況，設(shè)懲罰因子p為3，λE1為0.4，λE2為0.6，可得填充材料彈性模量中間密度插值，如圖3所示。

表1 極限情況下材料插值規(guī)律

圖3 填充材料彈性模量

2 多材料局部體積約束方法

為了使得材料分布較為均勻，可以通過局部體積約束來(lái)實(shí)現(xiàn)。Wu等將局部體積約束應(yīng)用于單材料殼-非均勻填充拓?fù)鋬?yōu)化中，通過p范數(shù)將局部體積約束整合為拓?fù)鋬?yōu)化問題的外加約束［3］。為了避免p范數(shù)近似代替無(wú)窮范數(shù)帶來(lái)的誤差，并結(jié)合Dou提出的隱式局部約束方法［11］，提出了一種改進(jìn)的多材料殼-填充結(jié)構(gòu)局部體積約束方法。

局部體積約束通過限制各個(gè)體積單元附近填充材料區(qū)域占比，避免了填充材料過度聚集的情況。假設(shè)對(duì)填充材料B的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行最大體積約束，以每個(gè)填充材料B單元i附近圓形區(qū)域?yàn)檠芯繉?duì)象，如圖4所示。

圖4 填充材料B單元i的局部約束區(qū)域

設(shè)半徑為R的圓形區(qū)域?yàn)棣竔，則圓形區(qū)域內(nèi)填充材料B所占體積分?jǐn)?shù)計(jì)算表達(dá)式為

式中：Vi為第i個(gè)單元所屬圓形區(qū)域填充材料B所占體積分?jǐn)?shù)；vj為第j個(gè)單元的體積為第j個(gè)單元材料B的相對(duì)密度。

多材料拓?fù)鋬?yōu)化局部體積分?jǐn)?shù)約束要求填充材料B單元i所屬的圓形區(qū)域內(nèi)填充材料B占比少于某一比重ε，即

設(shè)修正參數(shù)域ψ為

式中：H為映射函數(shù)；βc為銳度；ηc為閾值。其中，ηc=ε。當(dāng)銳度βc→ ∞時(shí)，修正參數(shù)域ψ可以表示為

由此可知，當(dāng)βc的值很大時(shí)，修正參數(shù)域ψ中的值可視為邏輯變量。它將對(duì)變量φ2進(jìn)行修正，從而將局部體積約束嵌入插值公式中，避免了在求解器中另外增加約束條件。修正方法為使用修正后的變量φs代替式（7）～式（9）中的φ2：

3 多材料控制臂算例分析

3.1 多工況優(yōu)化問題

控制臂作為底盤部件，其受載工況復(fù)雜，控制臂拓?fù)鋬?yōu)化問題應(yīng)包括多種工況。采用理想點(diǎn)法對(duì)控制臂進(jìn)行多工況拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，首先分別求出各個(gè)單工況下拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)的最優(yōu)值，以各單工況最優(yōu)值為理想點(diǎn)，在多工況優(yōu)化時(shí)使各個(gè)目標(biāo)盡可能接近各自的極小值來(lái)獲得它們的解。以各工況下柔度最小為優(yōu)化目標(biāo)，多工況拓?fù)鋬?yōu)化問題的描述如下：

式中：m為工況數(shù)目；ck為第k個(gè)工況中控制臂的柔度；ck*為第k個(gè)工況的單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的最優(yōu)解；g為控制臂總質(zhì)量約束條件；M為控制臂設(shè)計(jì)域總質(zhì)量 為控制臂設(shè)計(jì)域質(zhì)量上限。其中柔度c可以通過下式計(jì)算：

式中k i為第i個(gè)單元的單元?jiǎng)偠染仃?，它是關(guān)于彈性模量Ei和泊松比νi的函數(shù)。

3.2 控制臂問題簡(jiǎn)化

以某新能源車型為例，其下控制臂原型是由鋼板沖壓拼焊而成，如圖5所示。為了進(jìn)一步減輕控制臂質(zhì)量、提高強(qiáng)度，使用殼-填充多材料拓?fù)鋬?yōu)化方法對(duì)控制臂進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，其設(shè)計(jì)域和非設(shè)計(jì)域如圖6所示。

圖5 鋼制控制臂原型

圖6 殼-復(fù)合材料填充控制臂設(shè)計(jì)域和非設(shè)計(jì)域

非設(shè)計(jì)域?qū)⑹褂娩撝撇牧?，設(shè)計(jì)域使用鋼、各向同性復(fù)合材料和無(wú)材料3種單元。其中，鋼和復(fù)合材料分別選用熱軋雙相鋼BR650和PA6.6-GF50［12］，其材料屬性如表2所示。殼材料C設(shè)為熱軋雙相鋼BR650，填充材料A設(shè)為無(wú)材料，由此得材料A的彈性模量相對(duì)系數(shù)λE1、質(zhì)量相對(duì)系數(shù)λm1和泊松比相對(duì)系數(shù)λν1均為0。將填充材料B設(shè)為PA6.6-GF50，其彈性模量相對(duì)系數(shù)λE為0.15，質(zhì)量相對(duì)系數(shù)λm為0.23，泊松比相對(duì)系數(shù)λν為0.57。

表2 控制臂材料屬性

為簡(jiǎn)明起見，在算法有效性示例過程中將三維控制臂設(shè)計(jì)域簡(jiǎn)化為二維模型，工況條件僅選擇2種典型工況進(jìn)行示例，簡(jiǎn)化后的控制臂設(shè)計(jì)域和工況邊界條件如圖7所示。兩個(gè)工況都將控制臂前點(diǎn)A的X和Y兩個(gè)方向位移完全約束，并約束控制臂后點(diǎn)B的X方向位移。工況1和2分別為側(cè)向剛度工況和縱向剛度工況，工況1在控制臂外點(diǎn)C處施加Y方向的力Fy，工況2在控制臂外點(diǎn)C處施加X方向的力Fx。為了提高數(shù)值計(jì)算效率，將所有材料的彈性模量進(jìn)行如下無(wú)量綱化處理：E2=Esteel/Esteel，E1=Ecomposite/Esteel。將側(cè)向力Fy和縱向力Fx都設(shè)置為1。優(yōu)化的質(zhì)量分?jǐn)?shù)設(shè)置為11%，即控制臂設(shè)計(jì)域質(zhì)量的最大值為完全鋼材料填充的11%。設(shè)置有限元單元為2.5 mm×2.5 mm的正方形單元，濾波半徑R1、R2和R3分別為25、12.5和12.5 mm，由式（8）可知，控制臂殼特征的厚度為5 mm。

圖7 二維控制臂模型多工況和邊界條件設(shè)置

3.3 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

根據(jù)多工況優(yōu)化問題的求解步驟，首先對(duì)各個(gè)單工況下的控制臂進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，各工況下拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果如圖8所示，黑色區(qū)域?yàn)殇摬?，灰色區(qū)域?yàn)閺?fù)合材料。其中，工況1下的柔度為24.41，工況2下的柔度為588.90。工況1由于只受Y方向的力，因此，材料主要集中于圖8中工況1左側(cè)區(qū)域。而工況2受X方向的力，在3個(gè)硬點(diǎn)附近均有材料分布。

圖8 單工況條件拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

綜合兩種工況，采用理想點(diǎn)法再次對(duì)控制臂進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，所得結(jié)果如圖9所示。其中，工況1的柔度結(jié)果為42.11，工況2的柔度結(jié)果為597.81，兩種工況結(jié)果均與理想點(diǎn)較為接近，相比較而言，工況2更為接近理想情況。而對(duì)于工況1而言，其理想情況的材料分布較為集中，因此與多工況情況下柔度相差較大。整體而言，兩種工況的柔度都處于較為理想的水平。

圖9 多工況拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

由圖9可以看出，多工況結(jié)果更多偏向于縱向剛度，但與縱向剛度單工況分析相比，其中間空白部分增加了承受側(cè)向力的結(jié)構(gòu)，用于適應(yīng)側(cè)向剛度工況。

拓?fù)鋬?yōu)化為概念設(shè)計(jì)，將拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果轉(zhuǎn)換為實(shí)體三維模型時(shí)應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整，例如適當(dāng)增加結(jié)構(gòu)圓角以減少應(yīng)力集中，并且在結(jié)構(gòu)未連接的斜梁之間添加連接等。以多工況優(yōu)化結(jié)果為基準(zhǔn)，參考工程經(jīng)驗(yàn)，將拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果轉(zhuǎn)換為三維結(jié)構(gòu)模型，如圖10所示。

圖10 殼-填充型多材料控制臂

由于殼-填充型多材料控制臂拓?fù)鋬?yōu)化僅對(duì)控制臂主體部分進(jìn)行設(shè)計(jì)，因此在進(jìn)行質(zhì)量對(duì)比時(shí)僅對(duì)比主體部分的質(zhì)量。原鋼制控制臂主體部分質(zhì)量為2.19 kg，殼-填充型多材料控制臂主體部分為1.90 kg，相比于鋼制結(jié)構(gòu)輕量13.2%。

3.4 強(qiáng)度校核

整車多體動(dòng)力學(xué)分析得到轉(zhuǎn)向和制動(dòng)兩種工況下的控制臂所受載荷如表3所示，據(jù)此對(duì)控制臂進(jìn)行強(qiáng)度校核。在ANSYS軟件中進(jìn)行靜力學(xué)分析，分別對(duì)殼-填充型多材料控制臂以及原鋼制控制臂進(jìn)行有限元分析，Von Mises應(yīng)力結(jié)果如圖11和圖12所示，單位為MPa。兩種工況下最大應(yīng)力和最大變形對(duì)比結(jié)果如表4所示，對(duì)照表1中屈服強(qiáng)度可知，殼-填充型多材料控制臂在轉(zhuǎn)向和制動(dòng)兩種工況下具有足夠強(qiáng)度。轉(zhuǎn)向工況下，殼-填充型多材料控制臂相較于原鋼制控制臂應(yīng)力水平降低55%，最大變形量降低40%；而制動(dòng)工況下殼-填充型多材料控制臂相較于原鋼制控制臂應(yīng)力水平降低40%，最大變形量降低29%。因此，所提出的殼-填充型多材料控制臂概念及設(shè)計(jì)方法能夠在減輕質(zhì)量的同時(shí)，還具有更高的剛度和強(qiáng)度，具有較大輕量化潛力。

表4 多材料與原型控制臂對(duì)比分析

圖12 制動(dòng)工況應(yīng)力云圖

表3 控制臂轉(zhuǎn)向和制動(dòng)工況受力

圖11 轉(zhuǎn)向工況應(yīng)力云圖

3.5 模態(tài)分析

控制臂作為底盤部件，承受振動(dòng)沖擊，其模態(tài)對(duì)整車NVH性能起到關(guān)鍵作用，分別對(duì)所得殼-復(fù)合材料填充控制臂和原型控制臂進(jìn)行自由模態(tài)分析，其1階模態(tài)分別如圖13和圖14所示。多材料控制臂頻率為393 Hz，原型控制臂頻率為673 Hz。由于新能源汽車無(wú)發(fā)動(dòng)機(jī)共振，因而僅需考慮路面激振頻率的影響。根據(jù)工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和有關(guān)企業(yè)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，要求本車型控制臂1階模態(tài)大于200 Hz。由于采用了更為輕質(zhì)的材料，多材料控制臂1階頻率與原鋼制控制臂相比較小，但仍能避開路面激振頻率，滿足汽車NVH性能需求。

圖13 多材料控制臂1階模態(tài)振型

圖14 原型控制臂1階模態(tài)振型

4 結(jié)論

新近出現(xiàn)的復(fù)合型多材料控制臂具有良好的輕量效果和性能水平，但其整體化設(shè)計(jì)方法仍在探索階段。本文中提出了一種基于局部體積約束的殼/填充多材料拓?fù)鋬?yōu)化方法。

該方法通過密度空間梯度來(lái)識(shí)別結(jié)構(gòu)殼特征，通過兩步濾波方法和新增變量來(lái)實(shí)現(xiàn)殼/多材料填充拓?fù)鋬?yōu)化。以3種不同材料為例，建立了多材料密度、彈性模量和泊松比的插值模型，并對(duì)材料插值模型中變量的邏輯關(guān)系進(jìn)行分析。采用隱式局部體積約束施加于材料控制變量，解決了多材料問題場(chǎng)景下局部體積約束無(wú)法通過p范數(shù)施加的問題，并避免了在優(yōu)化求解器中增加額外約束條件。

為驗(yàn)證優(yōu)化方法的有效性，以具體車型的復(fù)合型控制臂開發(fā)為例，進(jìn)行多工況多材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果表明，相較于原鋼制控制臂，所優(yōu)化得到的殼-填充型多材料控制臂質(zhì)量減輕13.2%。對(duì)所得殼-填充型多材料控制臂進(jìn)行強(qiáng)度和模態(tài)校核，結(jié)果表明其強(qiáng)度滿足要求，且應(yīng)力水平大幅降低，轉(zhuǎn)向和制動(dòng)工況下應(yīng)力降幅分別達(dá)55.0%和39.7%。所提出殼-填充型多材料控制臂具有較好的輕量化潛力和應(yīng)用前景，并能夠?yàn)槠渌愋偷亩嗖牧陷p量化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化提供理論參考。